Задачи, решаемые по графику функции, производной, первообразной в текстах ЕГЭ по математике
Определение и сущность производной и ее геометрический смысл. Содержание теоремы о достаточном условии экстремума. Признаки монотонности функций. Определение первообразной, формула Ньютона – Лейбница и геометрический смысл определенного интеграла.
| Рубрика | Математика |
| Вид | доклад |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 23.04.2013 |
| Размер файла | 480,7 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Задачи, решаемые по графику функции, производной, первообразной в текстах ЕГЭ по математике
Ежегодно в текстах ЕГЭ встречается задача, которую следует решать, используя график функции, график производной функции. Впервые в этом году в тренировочные задачи для подготовки к ЕГЭ помимо названных задач были включены задачи по графику первообразной функции. В последние годы это была задача под номером В8.
1. На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к этому графику в точке. Найдите значение производной этой функции в точке.
2. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке. Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
3. На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.
Рассмотрим, какие знания необходимы для решения такого рода задач.
Определение 1: Пусть функция у = f(х) определена в точке x и в некоторой ее окрестности. Дадим аргументу х приращениеДx, такое, чтобы не выйти из указанной окрестности. Найдем соответствующее приращение функцииДу и составим отношение. Если существует предел этого отношения при Дx> 0, то указанный предел называют производной функции y=f(x) в точке х и обозначают f' (x).
Геометрический смысл производной состоит в следующем. Если к графику функции у = f(х) в точке с абсциссой х=x0 можно провести касательную, непараллельную оси у, то f' (x0) выражает угловой коэффициент касательной
Поскольку , то верно равенство
Рис. 2 Геометрический смысл производной функции
Теорема 1: Возрастание и убывание функции y = f(x) характеризуется знаком ее первой производной: если в некотором промежутке первая производная больше нуля, то функция возрастает, а если первая производная меньше нуля, то функция убывает в этом промежутке, т.е. если f' (x)>0, то f(x), при f' (x)<0 функция f(x).
Определение 2: Точку х = х0 называют точкой минимума функции y = f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой, кроме самой точки х = х0, выполняется неравенство.
Теорема 2: (достаточное условие экстремума). Пусть функция y=f(x) непрерывна на промежутке Х и имеет внутри промежутка стационарную или критическую точку х=х0. Тогда:
1) если у этой точки существует такая окрестность, в которой при x<x0 выполняется неравенство f' (x)<0, а при x>x0 - точка минимума функции y=f(x);
2) если у этой точки существует такая окрестность, в которой при x<x0 выполняется неравенство f' (x)>0, а при x>x0 - неравенство f' (x)<0, то х=х0 - точка максимума функции y=f(x);
3) если у этой точки существует такая окрестность, что в ней и слева, и справа от точки x0 знаки производной одинаковы, то в точке x0 экстремума нет.
Определение 3: Функциюназывают первообразной для функции на заданном промежутке X, если для всех х из Х выполняется равенство
Если заданы границы интегрирования, то мы получаем определенный интеграл:
Здесь число - нижний предел интегрирования, число - верхний предел интегрирования.
Определение 4: Определенный интеграл - это число, значение которого вычисляется по формуле Ньютона - Лейбница:, где - это значение первообразной функции в точке , и, соответственно, - это значение первообразной функции в точке .
Геометрический смысл определенного интеграла: Определенный интеграл - это число, равное площади криволинейной трапеции - фигуры, ограниченной сверху графиком положительной на отрезке функции , слева прямой , справа прямой , и снизу осью ОХ.
В задаче В8 ЕГЭ дается график функции, график производной функции, по которому требуется определить одну из следующих величин:
1. Значение производной в некоторой точке x0,
2. Точки максимума или минимума (точки экстремума),
3. Интервалы возрастания и убывания функции (интервалы монотонности),
4. Наибольшее, наименьшее значение функции на отрезке,
5. S фигуры,
6. Значение определенного интеграла.
Рассмотрим решения задач.
1. На рисунке изображен график функции y = f (x), и касательная к нему в точке с абсциссой х0. Найдите значение производной функции y = f (x) в точке х0.
Решение
Ответ: 3.
2. На рисунке изображен график производной функции y = f (x), определенной на интервале (-11; 3). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
Решение:
В нашем случае их три: (-11; -10), (-7; -1) и (2; 3), наибольшую длину из них, очевидно, имеет промежуток (-7; -1), его длина равна: 6
Ответ: 6.
3. На рисунке изображён график некоторой функции .Дана ее первообразная
Найдите площадь закрашенной фигуры.
Решение:
, где - первообразная функции .
По условию задачи , поэтому, чтобы найти площадь фигуры, нам нужно найти значение первообразной в точке -8, в точке -10, и затем из первого вычесть второе.
=4
Ответ: 4
4. На рисунке изображён график функции , одной из первообразных некоторой функции , определённой на интервале (-3,5). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения на отрезке .
Решение:
Поскольку - первообразная функции - это функция, производная которой равна :=f(x)
Отметим на рисунке сам отрезок и точки экстремума на графике функции:
производная геометрический интеграл первообразная
Точки экстремума выделены красным цветом. На отрезке их 10.
Ответ: 10.
Таким образом, мы увидели, что для выполнения задач В8 ЕГЭ нужно знать: определение производной, геометрический смысл производной, теорему о достаточном условии экстремума, признаки монотонности функций, также определение первообразной, формула Ньютона - Лейбница и геометрический смысл определенного интеграла.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл, как предел интегральной суммы. Связь между определенным и неопределенным интегралами. Формула Ньютона-Лейбница. Геометрический и механический смысл определенного интеграла.
реферат [576,4 K], добавлен 30.10.2010Определение производной функции, геометрический смысл ее приращения. Геометрический смысл заданного отношения. Физический смысл производной функции в данной точке. Число, к которому стремится заданное отношение. Анализ примеров вычисления производной.
презентация [696,5 K], добавлен 18.12.2014Понятие первообразной функции, теорема о первообразных. Неопределенный интеграл, его свойства и таблица. Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл и основные свойства. Производная определенного интеграла и формула Ньютона-Лейбница.
курсовая работа [232,5 K], добавлен 21.10.2011Сущность и методы определения первообразной в математическом анализе. Особенности вычисления первообразной как нахождение неопределённого интеграла. Анализ техники интегрирования. Формула Ньютона–Лейбница. Основные положения дифференциальной теории Галуа.
контрольная работа [71,8 K], добавлен 05.11.2011Необходимое и достаточное условие существования определенного интеграла. Равенство определенного интеграла от алгебраической суммы (разности) двух функций. Теорема о среднем – следствие и доказательство. Геометрический смысл определенного интеграла.
презентация [174,5 K], добавлен 18.09.2013Предел отношения приращения функции к приращению независимого аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Обозначения производной. Понятие дифференцирования функции производной и ее геометрический смысл. Уравнение касательной к кривой.
презентация [246,0 K], добавлен 21.09.2013Понятие и геометрический смысл определенного интеграла, его свойства. Формула Ньютона–Лейбница. Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям. Объем тела вращения. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.
курс лекций [514,0 K], добавлен 31.05.2010Производная функция. Касательная к кривой. Геометрический смысл производной. Производные от элементарных функций. Изучение функций с помощью производной. Максимум и минимум функции. Точки перегиба. Дифференциал.
статья [122,0 K], добавлен 11.01.2004Понятие производной, правила её применения, геометрический и физический смысл производной. Применение производной в науке и технике и о решении задач в этой области. Актуальность дифференциального исчисления в связи с научно-техническим прогрессом.
реферат [458,8 K], добавлен 17.05.2009Геометрический смысл производной. Анализ связи между непрерывностью и дифференцируемостью функции. Производные основных элементарных функций. Правила дифференцирования. Нахождение производной неявно заданной функции. Логарифмическое дифференцирование.
презентация [282,0 K], добавлен 14.11.2014Правило нахождения производной произведения функций. Формулы нахождения производных для функций, заданных параметрически. Геометрический смысл производной. Приращение и дифференциал функции. Наибольшее и наименьшее значения на замкнутом множестве.
контрольная работа [75,5 K], добавлен 07.09.2010Функция одной независимой переменной. Свойства пределов. Производная и дифференциал функции, их приложение к решению задач. Понятие первообразной. Формула Ньютона-Лейбница. Приближенные методы вычисления определенного интеграла. Теорема о среднем.
конспект урока [147,7 K], добавлен 23.10.2013Теорема Ферма: содержание, доказательство, геометрический смысл. Теорема Ролля: производная функции, отсутствие непрерывности Отсутствует и дифференцируемости. Доказательство теоремы Лагранжа, общий вид, геометрический смысл, содержание следствия.
презентация [199,4 K], добавлен 21.09.2013Алгоритм и логика решения задач категории B8 из раздела "математический анализ" Единого государственного экзамена. Определение точек максимума и минимума. Нахождение интервалов возрастания и убывания функции. Геометрический смысл определенного интеграла.
методичка [350,9 K], добавлен 23.04.2013Определение двойного интеграла, его геометрический смысл, свойства, область интегрирования. Условия существования двойного интеграла, его сведения к повторному; формула преобразования при замене переменных, геометрические и физические приложения.
презентация [1,5 M], добавлен 18.03.2014Теоремы, позволяющие связать значение первой производной данной функции с характером ее монотонности. Понятие экстремума функции и его значение в исследовании поведения. Интервалы выпуклости и вогнутости функции, определение ее асимптот и схема изучения.
реферат [255,0 K], добавлен 12.08.2009Сущность предела функции, ее производной и дифференциала. Основные теоремы о пределах и методы их математического вычисления. Производная, ее физический и геометрический смысл. Связь непрерывности и дифференцируемости, основные правила дифференцирования.
презентация [128,4 K], добавлен 24.06.2012Понятие интеграла Римана, анализ его определений. Интеграл как предела интегральных сумм Римана, единственное число, разделяющее верхние и нижние суммы Дарбу. Интеграл от непрерывной функции как приращение первообразной (формула Ньютона-Лейбница).
курсовая работа [2,2 M], добавлен 30.10.2015Особенности выражения производной неизвестной функции. Общий вид дифференциального уравнения первого порядка, его решение. Сущность теоремы Коши (о существовании и единственности решения), её геометрический смысл. Общее и частное решение уравнения.
презентация [77,7 K], добавлен 17.09.2013Понятие непрерывности функции. Понятие, физический и геометрический смысл производной. Локальный экстремум и теорема Ферма. Теорема Ролля о нулях производных. Формула конечных приращении Лагранжа. Обобщенная формула конечных приращении (формула Коши).
курсовая работа [812,7 K], добавлен 17.03.2015
