Место высшей математики в экономике
Знакомство с основными этапами составления уравнений касательных. Общая характеристика способов нахождения экстремумов и интервалов монотонности функции. Рассмотрение особенностей вычисления определенного интеграла и площади фигуры, ограниченной линиями.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 23.04.2013 |
| Размер файла | 433,0 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
1. Вычислить определитель матрицы разбитием по второй строке,
уравнение касательный вычисление фигура
где , Е - единичная матрица.
Решение:
Найдем произведение матриц:
.
Вычислим .
.
2. Найти предел:
Решение:
, имеем неопределенность, которая раскрывается с помощью второго замечательного предела:
3. Найти производную функции:
Решение:
Применим формулы:
,
,
,
,
5. Составить уравнения касательных к графику функции , перпендикулярных прямой, пересекающейся с осью Ox в точке x=6 и с осью Oy в точке у=3. Сделать чертеж.
Решение:
Уравнение касательной к графику функции имеет вид , где - координаты точки касания, - угловой коэффициент касательной.
Так как по условию задачи искомая касательная и заданная прямая перпендикулярны, их угловые коэффициенты связаны соотношением
.
Найдем уравнение прямой , для этого решим систему:
уравнение прямой примет вид:
следовательно, угловой коэффициент прямой . Тогда .
Найдем
С одной стороны , с другой стороны . Из этого условия сможем составить уравнение, из которого найдем координаты точки касания:
.
Значит в двух точках при и имеем касание с графиком. Рассмотрим каждую точку отдельно:
1) .
Найдем соответствующие значения: .Запишем уравнение касательной и приведем его к виду .
2) .
Найдем соответствующие значения: .Составим уравнение касательной и приведем его к виду .
Подготовим данные для построения функций:
Исследуем :
Область определения .
Условие выполняется, следовательно, функция нечетная.
Нули функции (точки пересечения с осями координат):
oy:,
ox: или , т.е.
Т.к. при
то получаем, что функция возрастает на промежутке , и убывает на промежутке .
Точка с координатами , является точкой максимума; а точка минимума.
Рис.
6. Исследовать функцию и схематично построить график.
Решение:
1. Область определения .
2. Условие и не выполняется, следовательно, функция общего вида.
3.Нули функции (точки пересечения с осями координат):
oy:,
ox: или , т.е.
4. Вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции. Т.к. точек разрыва нет вертикальных асимптот тоже нет.
5. Рассмотрим поведение функции при .
Вычислим , отсюда следует, что горизонтальных асимптот нет, нужно искать наклонные асимптоты :
.
Наклонной асимптоты также нет.
6. Экстремумы и интервалы монотонности.
Найдем
при
Точка являются точкой минимума .
На интервале функция убывает, а на интервале возрастает.
Рис.
Контрольная работа №2
1. Найти неопределенный интеграл:
Решение:
2. Вычислить определенный интеграл:
Решение:
3. Вычислить определенный интеграл:
Решение:
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
,,,.
Решение:
Изобразим графики:
Графиком функции является гипербола:
Условие выполняется, следовательно, функция нечетная.
Область определения , т.е. .
С осями координат нет точек пересечения.
и , т.к. пределы бесконечны, то прямая есть вертикальная асимптота.
Вычислим , отсюда следует, что y=0 горизонтальная асимптота.
Т.е. функция убывает на всем промежутке.
Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх.
Координаты вершины параболы:
,
Рис.
Следовательно, согласно формуле , имеем:
кв.ед.
5. Экспериментальные данные о значениях переменных x и y приведены в таблице:
В результате их выравнивания получена функция:
. Используя метод наименьших квадратов, аппроксимировать эти данные линейной зависимостью (найти параметры a и b). Выяснить, какая из двух линий лучше (в смысле метода наименьших квадратов) выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертеж.
Решение:
Для определения коэффициентов линейной зависимости составим систему нормальных уравнений:
.
Вычисление необходимых сумм проведем в таблице:
Таблица
Запишем систему => =>
=> => =>
=>
Таким образом, требуемая линейная зависимость построена:
Таблица
Таблица
функция лучше описывает эмпирические данные, чем функция т.к. сумма квадратов невязок для функции меньше, чем сумма квадратов невязок для функции .
Область определения .
Точки пересечения с осями:
x=0: y=-2,1; y=0: x=0,0353.
Т.е. функция возрастает на всем промежутке.
Рис.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Поиск площади фигуры, ограниченной графиками функций с помощью двойного интеграла. Получение вращением объема тела вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной указанными линиями. Пределы интегрирования в двойном интеграле по области, ограниченной линиями.
контрольная работа [166,9 K], добавлен 28.03.2014Вычисление пределов функций. Нахождение производные заданных функций, решение неопределенных интегралов. Исследование функции и построение ее графика. Особенности вычисления площади фигуры, ограниченной линиями с использованием определенного интеграла.
контрольная работа [283,1 K], добавлен 01.03.2011Вычисление производной функции. Угловой коэффициент прямой. Интервалы монотонности, точки экстремума и перегиба функции. Вычисление интегралов с помощью универсальной тригонометрической подстановки. Нахождение площади фигуры, ограниченной линиями.
контрольная работа [696,1 K], добавлен 05.01.2013Вычисление площадей плоских фигур. Нахождение определенного интеграла функции. Определение площади под кривой, площади фигуры, заключенной между кривыми. Вычисление объемов тел вращения. Предел интегральной суммы функции. Определение объема цилиндра.
презентация [159,1 K], добавлен 18.09.2013Вычисление площади фигуры, ограниченной заданными линиями, с помощью двойного интеграла. Расчет двойного интеграла, перейдя к полярным координатам. Методика определения криволинейного интеграла второго рода вдоль заданной линии и потока векторного поля.
контрольная работа [392,3 K], добавлен 14.12.2012Способы определения точного значения интеграла по формуле Ньютона-Лейбница и приближенного значения интеграла по формуле трапеций. Порядок нахождения координаты центра тяжести однородной плоской фигуры ограниченной кривой, особенности интегрирования.
контрольная работа [459,6 K], добавлен 16.04.2010Дифференциальное исчисление функции одной переменной: определение предела, асимптот функций и глобальных экстремумов функций. Нахождение промежутков выпуклости и точек перегиба функции. Примеры вычисления неопределенного интеграла, площади плоской фигуры.
задача [484,3 K], добавлен 02.10.2009Определение определенного интеграла, его свойства. Длина дуги кривой. Площадь криволинейной трапеции. Площадь поверхности вращения. Площади фигур, ограниченных графиками функций, ограниченных линиями, заданными уравнениями. Вычисление объемов тел.
контрольная работа [842,6 K], добавлен 10.02.2017Общая характеристика примеров нахождения точки пересечения двух прямых. Знакомство с условиями параллельности и перпендикулярности прямых, рассмотрение особенностей решения уравнений. Анализ способов нахождения углового коэффициента искомой прямой.
презентация [97,6 K], добавлен 21.09.2013Из всех прямоугольников с площадью 9 дм2 найдите тот, у которого периметр наименьший.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями (сделав рисунок). Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.
задача [20,9 K], добавлен 11.01.2004Исследование функции на четность и периодичность. Нахождение вертикальных, горизонтальных (или наклонных) асимптот, а также экстремумов и интервалов монотонности. Определение интервалов выпуклости и точки перегиба. Построение графика исследуемой функции.
презентация [134,7 K], добавлен 21.09.2013Расчет неопределенных интегралов, проверка результатов дифференцированием. Вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница. Нахождение площади фигуры, ограниченной заданной параболой и прямой. Общее решение дифференциального уравнения.
контрольная работа [59,8 K], добавлен 05.03.2011Введение в анализ и дифференциальное исчисление функции одного переменного. Нахождение локальных экстремумов функции. Интегральное исчисление функции, пределы интегрирования. Практический пример определения площади плоской фигуры, ограниченной кривыми.
контрольная работа [950,4 K], добавлен 20.01.2014Исследование заданной функции и построение ее графика. Расчет объема тела, полученного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями и осями координат. Вычисление интеграла при заданной силе. Работа, которую нужно совершить для сжатия пружины.
контрольная работа [425,4 K], добавлен 18.10.2010Вычисление производной функции и ее критических точек. Определение знака производной на каждом из интервалов методом частных значений. Нахождение промежутков монотонности и экстремумов функции. Разложение подынтегральной функции на простейшие дроби.
контрольная работа [134,7 K], добавлен 09.04.2015Разложение функции в ряд Фурье, поиск коэффициентов. Изменение порядка интегрирования, его предел. Расчет площади фигуры, ограниченной графиками функций, с помощью двойного интеграла, объема тела, ограниченного поверхностями, с помощью тройного интеграла.
контрольная работа [111,8 K], добавлен 28.03.2014Общая схема применения определенного интеграла, правила и принципы реализации данного процесса. Вычисления координат центра тяжести плоских фигур. Решения задач на вычисление силы взаимодействия двух материальных тел, вращающихся вокруг неподвижной оси.
методичка [195,5 K], добавлен 15.06.2015Рассмотрение основных способов решения задач на вычисление неопределенных и определенных интегралов по формулам Ньютона-Лейбница и Симпсона. Ознакомление с примерами нахождения области, ограниченной линиями, и объема тела, ограниченного поверхностями.
контрольная работа [194,2 K], добавлен 28.03.2014Необходимое и достаточное условие существования определенного интеграла. Равенство определенного интеграла от алгебраической суммы (разности) двух функций. Теорема о среднем – следствие и доказательство. Геометрический смысл определенного интеграла.
презентация [174,5 K], добавлен 18.09.2013Понятие первообразной функции, теорема о первообразных. Неопределенный интеграл, его свойства и таблица. Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл и основные свойства. Производная определенного интеграла и формула Ньютона-Лейбница.
курсовая работа [232,5 K], добавлен 21.10.2011
