Числа Фибоначчи и их применение

Размещено на http://www.allbest.ru/

СОДЕРЖАНИЕ

• Введение
• I.Последовательность Фибоначчи и его особенности
• 1.1 Из истории возникновения последовательности Фибоначчи
• 1.2 Книга - энциклопедия
• 1.3 Определение последовательности Фибоначчи
• II. Использование последовательности Фибоначчи

2.1 История золотого сечения

2.2 Золотое сечение в нашей жизни

2.2Золотое сечение в природе

• Заключение
• Список используемой литературы
• Приложение
• ВВЕДЕНИЕ
• В математике существует много задач, часто трудных и интересных, которые не связаны с чьим-либо именем. А скорее носят характер своего рода
• “Математического фольклора'. В каждой из таких задач мы имеем дело с маленькими математическими теориями, имеющею свою история, свою проблематику и свои методы. Такой теорией является и теория чисел Фибоначчи, выросшая из знаменитой « задачи о кроликах» (см. в приложении), имеющею почти семисот пятидесятилетнею давность. Числа Фибоначчи до сих пор остаются одной из самых важных и интересных глав математики.
• Большой интерес представляет для нас сочинение “ Liber abaci “
• (“Книга об абаке”), записанная знаменитым итальянским математиком Леонардо из Пизы, который известен больше по своему прозвищу Фибоначчи. Сообщаемый в книге материал поясняется на большом числе задач, составляющих значительную часть этого трактата.
• Актуальность проблемы заключается в необходимости исследования последовательности Фибоначчи, которая имеет многочисленные и разнообразные применения во многих математических вопросах, в частности в геометрии.
• В своей работе я рассмотрела вопрос алгебры и теории чисел “Числа Фибоначчи” и подробно остановилась на теме “ Последовательность Фибоначчи”.
• Основная цель работы - на основе комплексного исследования печатных источников изучить основные свойства последовательности Фибоначчи и некоторые её применения.
• Поставленная цель предполагает решение следующих задач:
• · Ознакомиться с историей возникновения чисел Фибоначчи;
• · Рассмотреть решение некоторых задач по теме;
• Объект исследования: процесс решения некоторых задач с помощью чисел Фибоначчи
• Предмет исследования: влияние научного аппарата теории чисел на процесс решения задач.
• Методы исследования: анализ научной литературы, анализ школьных учебников.
• Научная новизна и практическое значение: данную тему можно применять при решении занимательных задач на кружковых занятиях в школе.
• I. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ФИБОНАЧЧИ И ЕГО ОСОБЕННОСТИ
• 1.1 Из истории возникновения последовательности Фибоначчи
• Итальянский купец Леонардо из Пизы (1180-1240 года), более известный под прозвищем Фибоначчи был, безусловно, самым значительным математиком средневековья. Роль его книг в развитии математики и распространении в Европе математических знаний трудно переоценить.
• В век Фибоначчи возрождение было ещё далеко, однако история даровала Италии краткий промежуток времени, который вполне можно было назвать репетицией надвигающейся эпохи Ренессанса. Этой репетицией руководил Фридрих II, император (с 1220 года) Священной Римской Империи. Воспитанный в традициях южной Италии Фридрих был внутренне глубоко далёк от европейского рыцарства.
• Столь любимые его дедом рыцарские турниры Фридрих II совсем не признавал. Вместо этого он культивировал гораздо менее кровавые математические соревнования, на которых противники обменивались не ударами, а задачами.
• На таких турнирах и заблистал талант Леонардо Фибоначчи. Этому способствовало хорошее образование, которое дал сыну купец Боначчи, взявший его с собой на Восток и приставивший к нему арабских учителей.
• Покровительство Фридриха и стимулировало выпуск научных трактатов Фибоначчи:
• · “Книга абака” (Liber abaci ),написанная в 1202 году, но дошедшая до нас во втором своём варианте, который относится к 1228 году.
• · “Практики геометрии” (1220 г.)
• · ”Книга квадратов” (1225 г.)
• По этим книгам, превосходящим по своему уровню арабские и средневековые европейские сочинения, учили математику, чуть ли не до времён Декарта (XVII век).
• Как указано в документе 1240 года, восхищённые граждане Пизы говорили, что он был ` рассудительный и эрудированный человек', а не так давно Жозеф Гиз (Joseph Gies), главный редактор Британской Энциклопедии заявил, что будущие учёные во все времена « будут отдавать свой долг Леонардо Пизанскому, как одному из величайших интеллектуальных первопроходцев мира». Его работы после долгих лет только сейчас переводятся с латинского языка на английский. Для тех, кто интересуется - книга, названная Леонардо Пизанский и новая математика Средних веков Жозеф Гиз (Joseph and Frances Gies) является прекрасным трактатом по веку Фибоначчи и его работам.
• Хотя он и был величайшим математиком средних веков, единственные памятники Фибоначчи - это статуя напротив Пизанской башни через реку Арно и две улицы, которые носят его имя, одна - в Пизе, а другая - во Флоренции. Кажется странным, что так мало посетителей к 179-ти футовой Падающей башни когда-либо слышали о Фибоначчи или видели его статую. Фибоначчи был современником Бонанна (Bonanna), архитектора Пизанской башни, строительство которой тот начал в 1174 году. Оба они сделали вклад в мировую историю, но один, чей вклад намного превосходит другого, почти неизвестен.
• 1.2 Книга - энциклопедия
• Наибольший интерес представляет для нас сочинение “Книга абака” (Liber abaci ). В “ Liber Аbaci “ Фибоначчи приводит свою последовательность чисел как решение математической задачи - нахождение формулы размножения кроликов. Числовая последовательность такова: 1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144 (далее до бесконечности).
• На странице 123-124 данной рукописи, Фибоначчи поместил следующую задачу: “ некто поместил пару кроликов а некоем месте, огороженном со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течении года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а рождают кролики со второго месяца после своего рождения “( см. Приложение, рис.1)
• Из приведенной задачи становиться ясно, что Фибоначчи вывел особый ряд чисел. Примечательно, что первые два члена этой последовательности равны 1, следующие же члены равны сумме двух предыдущих.
• Из предисловий автора к трактату “ Liber abaci ”
• “ Отец мой, роддом из Пизы, служил синдиком на таможне в Бужи, в Африке, куда он меня взял с собою для изучения искусства считать. Удивительное искусство считать при помощи только девяти индусских знаков мне понравилось, что я непременно захотел познакомиться с тем, что известно об этом искусстве в Египте, Греции, Сирии, Сицилии и Провансе. Объехав все эти страны, я убедился, что индусская система счисления есть самая совершенная…Изучив основательно эту систему и всё к ней относящееся, прибавив свои собственные исследования и почерпнутое из
• “ Начал” Евклида, я решился написать это сочинение”
• Эта книга представляет собой объёмный труд, содержащий почти все арифметические и алгебраические сведения того времени и сыгравший значительную роль в развитии математики в Западной Европе в течении нескольких следующих столетий. Работа написана на латыни и считается первым сочинением такого рода, автор которого был христианином.
• “ Liber abaci ”, или трактат по арифметике (а именно так можно истолковать название, поскольку под “ абаком “ Леонардо понимал не счетную доску, а арифметику), отличалась полнотой охвата и глубиной изложения. В ней подробно разъяснялись не только азы науки о числах и действиях над ними, но и основы учения об уравнениях, т.е. алгебры. Кроме, того в “ Liber abaci ” имелось большое количество задач практического содержания, иллюстрировавших различные приёмы решения, как арифметические - тройное правило, правило товарищества, метод ложного положения и др., так и алгебраические, приводящие к одному или нескольким уравнениям.
• Трактат Леонардо приобщил к достижениям индийских и арабских математиков европейских ученых и оказал существенное влияние на дальнейшее развитие алгебры и теории чисел. “ Liber abaci ” была востребована математиками эпохи Возрождения и Нового времени, сумевшими оценить её по достоинству, ведь книга отличалась не только богатством и разнообразием рассмотренных в ней примеров и методов, но и строгостью, доказательностью изложения.
• На протяжении нескольких столетий по труду Фибоначчи ученые знакомились с двумя важнейшими разделами математики - арифметикой и алгеброй и черпали из него задачи и оригинальные методы решения, благодаря чему уже в XV-XVI вв., те разошлись по многочисленным итальянским, французским, немецким, английским, а позже и русским рукописям, печатным книгам и учебникам.
• Заслуги и достижения Леонардо Пизанского.
• Каково же было содержание написанной Фибоначчи книги - энциклопедии, в которой насчитывалось целых пятнадцать глав? Оказывается, в ней рассматривался весьма обширный круг вопросов:
• · индусская система нумерации;
• · правила действий над целыми числами;
• · дроби и смешанные числа;
• · разложение чисел на простые множители;
• · признаки делимости;
• · учение об иррациональных величинах;
• · способы приближенного вычисления квадратных и кубических корней;
• · свойства пропорции;
• · арифметическая и геометрическая прогрессия
• · линейные уравнения и их системы.
• 1.3 Определение последовательности Фибоначчи
• Рассмотрим следующую числовую последовательность:
• ( 1),
• в которой каждый член равен сумме двух предыдущих членов, то есть при всяком n > 0
• ( 2).
• Определение 1: Последовательности, в которых каждый член определяется как некоторая функция предыдущих, часто встречается в математике и называется рекуррентными или возрастными последовательностями.
• Определение 2: Процесс последовательного определения элементов таких последовательностей называется рекуррентным процессом, а ( 2) - возвратным (рекуррентным) уравнением.
• Замечание 1: Можно составить сколько угодно различных числовых последовательностей, удовлетворяющих этому условию, например,
• 2,5,7,12,19,31……
• 1,3,4,7,11,18,…….
• -1,-5,-6,-11,-17….. и т.д.
• Замечание 2: Для однозначного построения последовательности (1) и условия ( 2) явно не достаточно, и следует указать некоторые дополнительные условия. Например, можно указать несколько первых членов последовательности (1).
• Начнём с того, что не всякий член последовательности ( 1) может быть получен при помощи (2) уже хотя бы по тому, что первым членом последовательности вообще не стоит ни одного члена, а перед вторым её членом стоит только один.
• Значит, вместе с условием (2) определение последовательности (1) нужно знать два её первых члена.
• Этого, очевидно уже достаточно для того, что бы иметь возможности вычислить любой член последовательности ( 1). В самом деле можно вычислить как сумму заданных нами и ; - как сумму заданных нам уже вычисленного ранее ; как сумму уже вычисленных ранее ;и т.д. по порядку до бесконечного числа членов.
• Обратимся к важному частному случаю последовательности ( 1), когда и , условие ( 2),как было отмечено, даёт возможность вычислить последовательно один за другим все члены этого ряда. Не трудно проверить, что в этом случае первыми четырнадцатью его членами будут числа
• 1,1,2,3,5,13,21,34,55,89,144,233,377,............
• Определение: Вся последовательность (1) при , называется рядом Фибоначчи, а члены её числами Фибоначчи.
• Определение: если некоторая последовательность чисел начинается с двух единиц, а каждая из следующих получается сложением двух предыдущих, то эта последовательность является последовательностью чисел Фибоначчи.
• 4. 1. Особенности последовательности Фибоначчи:
• 1. Сумма любых двух соседних чисел равна следующему числу в последовательности. Например: 3+5=8; 5+8=13 и т.д.
• 2. Отношение любого числа последовательности к следующему приближается к 0,618 (после первых четырёх чисел). Например:1 : 1 = 1; 1 : 2 = 0,5; 2 : 3 = 0,07; 3 : 5 = 0,6; 5 : 8 = 0,625; 8 : 13 = 0,615; 13 : 21 = 0,619 и т.д. Обратите внимание, как значение соотношений колеблется вокруг величины 0,618, причём размах флуктуаций постепенно сужается; а также на величины: 1,00; 0,5; 0,67.
• 3. Отношение любого числа к предыдущему приблизительно равно 1,618 (величина обратная 0,618). Например: 13 : 8 = 1,625; 21 : 13 = 1,615; 34 : 21 =1,619. Чем выше числа, тем более они приближаются к величине 0,618 и 1,618.
• 4. Отношение любого числа к следующему за ним через одно приближается к 0,382, а к предыдущему через одно - 2,168.Например: 13 : 34 = 0,382; 34 : 13 = 2,615.
• II. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ФИБОНАЧЧИ

2.1 История золотого сечения

С золотым сечением косвенно связано имя итальянского математика Леонардо .

Золотое сечение (гармоническое деление, деление в крайнем и среднем отношении) - деление отрезка на две части таким образом, что большая его часть является средней пропорциональной между всем отрезком и меньшей его частью.

Золотое сечение (золотая пропорция) -- пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему a : b = b : c или с : b = b : а.

Рис. 1. Геометрическое изображение золотой пропорции.

фибоначчи золотой сечение последовательность

Принципы «золотого сечения» используются в математике и др. науках, в архитектуре и др. искусствах. Они лежат в основе архитектурных пропорций многих замечательных произведений мирового зодчества, главным образом античности и Возрождения.

«В геометрии существует два сокровища - теорема Пифагора и деление отрезка в крайнем и среднем отношении. Первое можно сравнить с ценностью золота, второе можно назвать драгоценным камнем». Эти слова сказал четыре столетия назад немецкий астроном и математик Иоганн Кеплер. Гениальный ученый поставил пропорцию «золотого сечения» на один уровень с самой знаменитой геометрической теоремой.

Однако «золотому сечению» повезло меньше, чем теореме Пифагора - «классическая» наука и педагогика его игнорируют, а «официальная» математика не признаёт.

В математике принцип «золотого сечения» впервые был сформулирован в «Началах» Эвклида, самом известном математическом сочинении античной науки, написанном в III веке до н.э. Переводчик Дж. Kампано из Наварры (III в.) сделал к переводу комментарии. Секреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне. Они были известны только посвященным.

2.2 Построение точки, делящей отрезок единичной длины золотым сечением

Рис. 2.

Дано: отрезо АВ=1

Построить: т.-точки делящие отрезок золотым сечением.

Построение:

1. Пусть отрезок АВ равен единичному отрезку;

2. Восстановим из т.А перпендикуляр и возьмем точку Е, , для которой .

3. Соединим т.Е и т. В и получим прямоугольный треугольник, и найдем сторону ЕВ по т. Пифагора ;

4. Проведя из т.Е, как из центра, дугу через т.А до пересечения со стороной ЕВ в т.Д, мы получим;

5. Проведя через т.Д дугу с центром в т.В мы находим искомую точку - точка внутреннего деления;

6. Точку внешнего деления мы найдем из условия, что .

После Евклида исследованием золотого деления занимались Гипсикл (II в. до н.э.), Папп (III в. н.э.) и др.В целом все первые геометрические системы - эвклидова геометрия, теорема Пифагора - свидетельствуют о том, насколько волновали древних греков проблемы гармонии, поиск идеальных пропорций и форм. Однако есть предположение, что первыми к принципу золотого сечения пришли все же египтяне. Наиболее известная пирамида Хеопса построена с использованием т.н. золотого треугольника, в котором соотношение гипотенузы к меньшему катету равно золотому сечению. Храмы, барельефы, предметы быта и украшения из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании. Эстетическим каноном древнегреческой культуры этот принцип стал благодаря Пифагору, который изучал в стране пирамид тайные науки египетских жрецов. Их результат воплощен в фасаде древнегреческого храма Парфенона, где присутствуют золотые пропорции. При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. В Помпейском циркуле (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления.

Ри с. 2. Античный циркуль золотого сечения.

Также с использованием золотого сечения созданы Афродита Праксителя и театр Диониса в Афинах. Платон (427-347 гг. до н.э.) также знал о золотом делении. Его диалог «Тимей» посвящен математическим и эстетическим воззрениям школы Пифагора и, в частности, вопросам золотого деления.

Во времена средневекового Ренессанса гениальный итальянский математик Лука Пачоли написал первую книгу о золотом сечении, назвав ее «Божественной пропорцией». По его мнению, даже Бог использовал принцип золотого сечения для создания Вселенной. Эта идея была позже использована Кеплером, последняя книга которого так и называлась - «Гармония Вселенной». Пачоли считают творцом начертательной геометрии.

Систематизировать знания по золотому сечению и придать им четкую арифметическую форму фундаментальной пропорции мироздания удалось уже только в наше время. Большая роль в исследовании золотого сечения принадлежит украинскому учёному Алексею Стахову, в 80-х годах прошлого века обосновавшему базис нового учения о гармонии систем, должного стать, по его мнению, основной интегрирующей наукой XXI века. Книги винницкого ученого «Введение к алгоритмической теории измерения», «Коды золотой пропорции», «Компьютерная арифметика на числах Фибоначчи и золотом сечении», «Новый тип элементарной математики и компьютерной науки на основе золотого сечения» изданы за рубежом и не остались без внимания западных производителей информационных и компьютерных технологий. Канадский университет Торонто признал автора «мыслителем XXI века».

Благодаря исследованиям американских ученых Эллиота, Пречтера и Фишера числа Фибоначчи вошли в сферу бизнеса как основа оптимальных стратегий.

Наиболее перспективным направлением применения новой математики считаются компьютерные технологии. Сегодня эти разработки защищены 65 патентами США, Японии, Англии, Германии и других стран. По одной из таких технологий известная американская фирма недавно запустила в серийное производство т.н. аналоговый микропроцессор для цифровой обработки сигналов.

2.2 Золотое сечение в нашей жизни

Золотое сечение тесно связано с числами Фибоначчи. Числа 0.618 и 0.382 являются коэффициентами последовательности Фибоначчи. На этой пропорции базируются основные геометрические фигуры.

Рассмотрим взаимосвязь «золотого сечения с числами Фибоначчи.

Числа, образующие последовательность 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,... называются «числами Фибоначчи», а сама последовательность - последовательностью Фибоначчи. Суть последовательности Фибоначчи в том, что начиная с 1, 1 следующее число получается сложением двух предыдущих.

Фибоначчи так же занимался решением, практических нужд торговли:

с помощью какого наименьшего количества гирь можно взвесить товар? Фибоначчи доказал, что оптимальной является такая система гирь: 1, 2, 4, 8, 16... Ряд Фибоначчи (1, 1, 2, 3, 5, 8) и «двоичный» ряд гирь 1, 2, 4, 8, 16... на первый взгляд совершенно разные. Но алгоритмы их построения весьма похожи друг на друга: в первом случае каждое число есть сумма предыдущего числа с самим собой 2 = 1 + 1; 4 = 2 + 2..., во втором - это сумма двух предыдущих чисел 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2....

Ряд Фибоначчи мог бы остаться только математическим казусом, если бы не то обстоятельство, что все исследователи золотого деления в растительном и в животном мире, не говоря уже об искусстве, неизменно приходили к этому ряду как арифметическому выражению закона золотого деления.

Присутствие золотой пропорции и чисел Фибоначчи в живой природе позволяют говорить о некотором едином механизме их возникновения. Числа Фибоначчи и золотое сечение являются математическим описанием некоторого формообразующего процесса. На микроуровне (целочисленном) количественная характеристика этого процесса проявляется как числа Фибоначчи, а на макроуровне (статистическом) как основание золотой пропорции - число б. Если такой формообразующий процесс является законом живой природы, то с его помощью можно объяснить наличие золотой пропорции в соотношении частей тела человека и животных.

Художники, ученые, модельеры, дизайнеры делают свои расчеты, чертежи или наброски, исходя из соотношения золотого сечения. Они используют мерки с тела человека, сотворенного также по принципу золотой сечения. Леонардо Да Винчи и Ле Корбюзье перед тем как создавать свои шедевры брали параметры человеческого тела, созданного по закону Золотой пропорции. Пропорции различных частей нашего тела составляют число, очень близкое к золотому сечению. Если эти пропорции совпадают с формулой золотого сечения, то внешность или тело человека считается идеально сложенными. Принцип расчета золотой меры на теле человека можно изобразить в виде схемы представленной ниже.

M/m=1,618

Первый пример золотого сечения в строении тела человека:

Если принять центром человеческого тела точку пупа, а расстояние между ступней человека и точкой пупа за единицу измерения, то рост человека эквивалентен числу 1.618.

Кроме этого есть и еще несколько основных золотых пропорции нашего тела:

· расстояние от кончиков пальцев до запястья и от запястья до локтя равно 1:1.618

· расстояние от уровня плеча до макушки головы и размера головы равно 1:1.618

· расстояние от точки пупа до макушки головы и от уровня плеча до макушки головы равно 1:1.618

· расстояние точки пупа до коленей и от коленей до ступней равно 1:1.618

· расстояние от кончика подбородка до кончика верхней губы и от кончика верхней губы до ноздрей равно 1:1.618

· расстояние от кончика подбородка до верхней линии бровей и от верхней линии бровей до макушки равно 1:1.618

· расстояние от кончика подбородка до верхней линии бровей и от верхней линии бровей до макушки равно 1:1.618

Золотое сечение в чертах лица человека как критерий совершенной красоты.

В строении черт лица человека также есть множество примеров, приближающихся по значению к формуле золотого сечения. Однако не бросайтесь тотчас же за линейкой, чтобы обмерять лица всех людей. Потому что точные соответствия золотому сечению, по мнению ученых и людей искусства, художников и скульпторов, существуют только у людей с совершенной красотой. Собственно точное наличие золотой пропорции в лице человека и есть идеал красоты для человеческого взора.

К примеру, если мы суммируем ширину двух передних верхних зубов и разделим эту сумму на высоту зубов, то, получив при этом число золотого сечения, можно утверждать, что строение этих зубов идеально.

На человеческом лице существуют и иные воплощения правила золотого сечения. Приведем несколько таких соотношений:

· Высота лица / ширина лица,

· Центральная точка соединения губ до основания носа / длина носа.

· Высота лица / расстояние от кончика подбородка до центральной точки соединения губ

· Ширина рта / ширина носа,

· Ширина носа / расстояние между ноздрями,

· Расстояние между зрачками / расстояние между бровями.

Рука человека

Достаточно лишь приблизить сейчас вашу ладонь к себе и внимательно посмотреть на указательный палец, и вы сразу же найдете в нем формулу золотого сечения. Каждый палец нашей руки состоит из трех фаланг.

Сумма двух первых фаланг пальца в соотношении со всей длиной пальца и дает число золотого сечения (за исключением большого пальца).

Кроме того, соотношение между средним пальцем и мизинцем также равно числу золотого сечения. 4

У человека 2 руки, пальцы на каждой руке состоят из 3 фаланг (за исключением большого пальца). На каждой руке имеется по 5 пальцев, то есть всего 10, но за исключением двух двухфаланговых больших пальцев только 8 пальцев создано по принципу золотого сечения. Тогда как все эти цифры 2, 3, 5 и 8 есть числа последовательности Фибоначчи.

Золотое сечение присутствует в строении всех кристаллов, но большинство кристаллов микроскопически малы, так что мы не можем разглядеть их невооруженным глазом. Однако снежинки, также представляющие собой водные кристаллы, вполне доступны нашему взору. Все изысканной красоты фигуры, которые образуют снежинки, все оси, окружности и геометрические фигуры в снежинках также всегда без исключений построены по совершенной четкой формуле золотого сечения.

Во Вселенной все известные человечеству галактики и все тела в них существуют в форме спирали, соответствующей формуле золотого сечения. Принципу Золотого Сечения подчинены и периоды обращения планет Солнечной системы.

2.3 Золотые фигуры

«Золотой треугольник» - это равнобедренный треугольник, у которого отношение длины боковой стороны к длине основания равняется 1.618.

Проводим прямую АВ. От точки А откладываем на ней три раза отрезок О

произвольной величины, через полученную точку Р проводим перпендикуляр к линии АВ, на перпендикуляре вправо и влево от точки Р откладываем отрезки О. Полученные точки и соединяем прямыми с точкой А. Отрезок откладываем на линию A, получая точку С. Она разделила линию A в пропорции золотого сечения. Линиями A и пользуются для построения «золотого» прямоугольника.

2.4 Золотое сечение в природе

Интерес человека к природе привёл к открытию её физических и математических закономерностей. Красота природных форм рождается во взаимодействии двух физических сил - тяготении и инерции. Золотая пропорция - это математический символ этого взаимодействия, поскольку выражает основные моменты живого роста: стремительный взлёт юных побегов сменяется замедленным ростом «по инерции» до момента цветения.

Рассматривая расположение листьев на общем стебле многих растений, можно заметить, что между каждыми двумя парами листьев третья расположена в месте «золотого сечения».

«Золотую спираль» также можно заметить в созданиях природы.

Например, расположение семечек в корзине подсолнечника. Они выстраиваются вдоль спиралей, которые закручиваются как слева направо, так и справа налево. В одну сторону у среднего подсолнечника закручено 13 спиралей, в другую - 21. Отношение 13: 21 - отношение Фибоначчи.У более крупных соцветий подсолнечника число соответствующих спиралей больше, но отношение числа спиралей, закручивающихся в разных направлениях также равно числу ?.

Похожее спиральное расположение наблюдается у чешуек сосновых шишек или ячеек ананаса. По золотой спирали свёрнуты раковины многих моллюсков, некоторые пауки, сплетая паутину, закручивают нити вокруг центра по золотым спиралям. Рога архаров закручиваются по золотым спиралям.

Природа повторяет свои находки, как в малом, так и в большом. По золотым спиралям закручиваются многие галактики, в частности и галактика Солнечной системы.

Одним из первых проявлений золотого сечения в природе подметил разносторонний наблюдатель, автор многих смелых гипотез немецкий математик и астроном Иоганн Кеплер (1571 - 1630). С XVII в. наблюдения математических закономерностей в ботанике и зоологии стали быстро накапливаться.

В 1850 г. немецкий учёный А. Цейзинг открыл так называемый закон углов, согласно которому средняя величина углового отклонения ветки растения равна примерно 138°. Величина среднего углового отклонения ветки соответствует меньшей из двух частей, на которые делится полный угол при золотом сечении.

В каждой науке есть т.н. «метафизические» знания, без которых невозможно существование самой науки. Например, если исключить из математики понятия натурального и иррационального чисел или аксиомы геометрии, математика сразу же перестанет существовать. С таким же правом к разряду «метафизических» знаний может быть отнесено и «золотое сечение», которое считалось «каноном» античной культуры, а затем и эпохи Возрождения. Однако, как это ни парадоксально, в современной теоретической физике и математике «золотая пропорция» никак не отражена. Ныне делаются попытки показать, что «золотое сечение» является одной из важнейших «метафизических» идей, без которой трудно представить дальнейшее развитие науки, в частности, теоретической физики и математики.

В настоящее время исследуются математические теории связанные с принципами «золотого сечения»: новая теория гиперболических функций, новая теория чисел, новая теория измерения, теория матриц Фибоначчи и так называемых «золотых» матриц, новые компьютерные арифметики, новая теорию кодирования и новая теория криптографии. Суть новой науки, в пересмотре с точки зрения золотого сечения всей математики, начиная с Пифагора, что, естественно, повлечет в теории новые и наверняка очень интересные математические результаты. В практическом отношении - «золотую» компьютеризацию. А поскольку «математика гармонии» существенно дополнит классическую математику, вполне возможно придется пересмотреть и всю систему современного математического образования.

Заключение

На основании исследования необходимых печатных материалов по теме “ Числа Фибоначчи “ мною была изучена последовательность Фибоначчи, её определения и особености, рассмотрено её применение в области алгебры и геометрии.

Фибоначчи разработал цифровой ряд ( ряд Фибоначчи), состоящий из последовательности чисел ( числа Фибоначчи) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, и т.д., между которыми установлены постоянные соотношения, в часности, отношение каждого из этих чисел к последующему члену ряда, которое асимптотически стремится к величине 0,618 и отношение каждого члена ряда к предыдущему члену, , которое асимптотически стремится к 1,618 ( коэффициент Фибоначчи, или “ Золотое сечение “)

Золотое сечение (золотая пропорция) -- пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему a : b = b : c или с : b = b : а. Так же было рассмотрено:

· Построение точки, делящей отрезок единичной длины “золотым сечением”;

· Рассмотрено строение “ золотых фигур “.

Знакомство с принципами “золотого сечения”, помогает видеть гармонию и целесобразность окружающих нас творений природы и человека.Так же оно наблюдается в структуре многих природных объектов и явлений - от строения раковин моллюсков до формы вихрей ураганов и галактики.

На основе проделанной работы можно сделать следующие выводы:

- Числа Фибоначчи обладают важными свойствами, которые необходимы при решении многих математических задач в частности, “ задача о кроликах “;

- Числа Фибоначчи имеют широкое применение при решеии геометрических задач. Мною были рассмотрены и описаны примеры задач по геометрии с непосредственным использованием последовательности Фибоначчи. Примечательно то, что в природе мы так же встречаемся с применением чисел Фибоначчи. А именно, природа - дает нам многочисленные примеры расположений однородных предметов, описываемых числами Фибоначчи( спиральное расположение у цветков и т.д.)

Список используемых источников

1. Д. Пидоу. “Геометрия и искусство”. - М.: Мир, 1979г.

2. Макрушевич А.И."Возрастные последовательности"- М.: Наука, 1975г.

3. Журнал “Квант”, 1973, № 8.

4. Журнал ”Математика в школе”, 2008, № 3; № 4.

5. Ковалев Ф.В. “Золотое сечение в живописи”. 1989г.

6. Васютинский Н.Н. “Золотой пропорции” - М.,1990г.

7.Воробьев Н.Н. “Числа Фибоначчи” - М.: Наука, 1964 г.

Приложение 1

Задача 1."Сколько пар кроликов в один год от одной пары рождается?

“Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон стеной, дабы узнать, сколько пар кроликов родится в течение этого года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов воспроизведет другую, а рождают кролики со второго месяца после своего рождения. Так как первая пара в первом месяце дает потомство, удвой, и в этом месяце окажутся 2 пары; из них одна пара, а именно первая, рождает и в следующем месяце, так что во втором месяце оказывается 3 пары; из них в следующем месяце 2 пары будут давать потомство, так, что в третьем месяце родятся ещё 2 пары кроликов, и число пар кроликов в этом месяце достигнет 5; из них в этом месяце будут давать потомство 3 пары, и число пар кроликов в четвертом месяце достигнет 8; из них 5 пар произведут другие 5 пар, которые, сложенные с 8 парами, дадут в пятом месяце 13 пар; из них 5пар, рожденные в этом месяце, не дают в том же месяце потомства, а остальные 8 пар рождают, так что в шестом месяце оказывается 21пара; сложенные с 13 парами, которые родятся в седьмом месяце, они дают в этом месяце 55 пар; сложенные вновь с 55 парами, которые рождаются в десятом месяце, они дают в этом месяце 144 пары; снова сложенные с 89 парами, которые рождаются в одиннадцатом месяце, они дают в этом месяце 233 пары; сложенные вновь с 144 парами, рожденными в последнем месяце, они дают 377 пар; столько пар произвела первая пара в данном месяце к концу одного года. Действительно, здесь мы видим, как это делается; а именно, складывается первое число со вторым, т.е. 1 и 2; и второе с третьим; и третье с четвертым; и четвертое с пятым; и так одно за другим пока не сложим десятое с 11-м, т.е. 144 с 233; и мы получим общее число упомянутых кроликов, т.е.377; и так можно делать по порядку до бесконечного числа месяцев”

Решение:

Рассмотрим старинную задачу Фибоначчи о числе кроликов. В ней требуется определить число пар зрелых кроликов, образовавших от одной пары в течение года, если известно, что каждая пара зрелых кроликов ежемесячно рождает новую пару, причём новорожденные достигают полной зрелости в течение месяца. В этой задаче интересен отнюдь не результат, получить который совсем не трудно, а последовательность, члены которой выражают общее число зрелых кроликов в начальный момент , через месяц , через два месяца и, вообще, через месяцев .Очевидно, что.Через два месяца прибавиться пара новорожденных, но число зрелых пар будет прежнее: .Через два месяца крольчата достигнут зрелости и общее число зрелых пар будет равно двум: .Пусть мы вычисляли уже количество зрелых пар через месяцев -, и через месяцев -. Т.к. к этому времени ранее имевшихся зрелых пар дадут ещё пар приплода, то через месяцев общее число зрелых пар будет:

(1)

Отсюда:

, , ,.

Мы получаем таким образом последовательность:

(2)

В которой каждый последующий член равен сумме двух предыдущих.

Ответ: 377 пар.

Даже одной этой задачи хватило бы, чтобы оставить след в истории науки. Именно в связи с ней сегодня чаще всего и упоминается имя ученого. Решая задачу о размножении кроликов, Леонардо описал бесконечную числовую последовательность , любой член которой, начиная с третьего, выражается через предыдущие члены , где . Из приведенной задачи становиться ясно, что Фибоначчи вывел особый ряд чисел. Примечательно, что первые два члена этой последовательности равны 1, следующие же члены равны сумме двух предыдущих.

Задача 2. Найти число, которого равны квадрату самого числа.

Ответ очевиден каждому, кто знаком с понятием квадратного числа. Решая задачу с помощью квадратного уравнения , мы получим ещё одно удовлетворяющее условию задачи число - 0. Автор задачи , имел в виду число отличное от нуля. Что вообще неудивительно. Во времена Леонардо Пизанского нуль не признавался за корень уравнения, т.е. за число. Впрочем, это не мешало некоторым математикам и до, и после Фибоначчи выполнять простейшие операции с нулем, который воспринимался ими как символ, обозначавший “ ничто“. Ответ:

Задача 3. Семь старух отправляются в Рим. У каждой по семь мулов, каждый мул несёт по семь мешков, в каждом мешке по семь хлебов, в каждом хлебе по семь ножей, каждый нож в семи ножнах. Сколько всего предметов?

Перед нами хорошо известная, встречающаяся у разных народов задача - шутка, как её часто называют историки математики, полагая, что в былые времена она была всего лишь нехитрой забавой для учеников. А ведь эта восходящая еще к древним египтянам задача, вернее ее решение, служит прекрасной наглядной иллюстрацией построения геометрической прогрессии и нахождения суммы первых n ее членов по известному первому члену и знаменателю. И именно в таком качестве ее вполне можно использовать в обучении детей математике.

От аналогичной задачи из папируса Ахмеса Нарайана ( индийский математик) задача из трактата Фибоначчи по сути отличается лишь тем, что в ней суммируются не пять, а шесть чисел :

Задача 4.Прыгун может прыгать в одном направлении вдоль разделенной на клетки полосы, перемещаясь при каждом прыжке либо в соседнюю клетку, либо через клетку. Сколькими способами может он сдвинулся на клетку и, в частности, переместиться из первой клетки в ю? ( способы прыгания считаются одинаковыми, если в ходе каждого из них прыгун побывает в одних и тех же клетках).

Решение: Обозначим искомое число через . Очевидно ( ибо переход из первой клетки в первую же осуществляется только одним способом - отсутствием прыжков) и (переход из первой клетки во вторую также единствен: Он состоит в одном непосредственном прыжке на соседнюю клетку). Пусть целью прыгуна является достижением й клетки. Общее число способов осуществления этой цели в наших обозначениях равно . Но с самого начала эти способы разбиваются на два класса: начинающиеся с прыжка во вторую клетку и начинающиеся с прыжка в третью клетку. Из второй клетки прыгун может переместиться в ю, способами, а из третьей переместиться способами. Таким образом, последовательность чисел , …. удовлетворяет реккурентному соотношению и поэтому совпадает с последовательностью чисел Фибоначчи.

Приложение 2

Цикорий.

Ящерица живородящая.

Размещено на Allbest.ru