Решения дифференциального уравнения методом Эйлера

1.Делим отрезок [a,b] на n-равных частей точками а=Xo<X1<X2<…<Xn=b или Xi=a+ih

2.Последовательно, при i=0,1,2,…,(n-1) осуществляем переход от точки (Хi,Yi) к точке (Хi+1,Yi+1) по формуле Yi+1=Yi+Уi, где на каждом отрезке величина Уi вычисляется по одному и тому же закону, задающему метод решения уравнений.

Метод Эйлера, который мы рассматривали как графический, легко интерпретировать и как численный метод. Из описания этого метода сразу же видно, что приращение Yi вычисляется как линейное приращение функции. На отрезке длины h формула для приращения функции примет вид Yi=h f(Xi,Yi), откуда и получаем закон перехода в методе Эйлера: Y i+1=Yi+hf(Xi,Yi).

Как уже отмечалось, погрешность этого метода очень велика, она достигает величин порядка h, т.е. метод Эйлера -первого порядка точности. Для улучшения точности вычислений применяют многошаговую систему перехода от точки (Xi,Yi) к следующей.

дифференциальный уравнение эйлер

Метод Эйлера (метод ломанных Эйлера)

Этот метод для решения начальной задачи

y' = f(x,y) , a Ј x Ј b

y(a) =y0

был описан Эйлером (1768) в его "Интегральном исчислении" (раздел второй, гл.VII). Метод является одношаговым. Он прост для понимания и программирования.

Будем полагать, что f - заданная функция, x - независимая переменная. Надо найти функцию y, являющуюся решением задачи (1)-(2) на отрезке a Ј x Ј b.

Интересующий нас метод определяется формулами

yk+1= yk + h f(xk,yk ) , k= 0,1,…,N-1

Вывод метода Эйлера очевиден. Из разложения Тейлора функции y в окрестности точки xk имеем

y(x k+1)= y(xk)+ h y'(xk)+ h2 y''(zk)/2 =

= y(xk)+ h f(xk,y(xk))+ h2 y''(zk)/2

где zk лежит внутри отрезка [xk, x k+1]. Мы будем считать, что все выписываемые производные действительно существуют. Если производная y'' ограниченна, а шаг h мал, то можем отбросить последний член, и написать

y(x k+1)» y(xk)+ h f(xk,yk).

Это и служит основой для (3). Геометрический смысл метода Эйлера заключается в аппроксимации решения на отрезке [xk, x k+1] отрезком касательной, проведённой к графику решения в точке xk

Приведём теперь простой пример использования этого метода. Рассмотрим задачу

y'(x)= y2(x)+ 2x - x4 , y(0)=0

Легко проверить, что точным решением этой задачи является функция y(x)= x2. Здесь f(x,y)= y2+2x - x4 и, следовательно, формулы метода Эйлера для (5) с учётом того, что xk=kh , принимают вид

yk+1= yk + h (yk2 + 2kh - k4h4) , k=0,1,…, y0=0

В Таблице 1 некоторые значения, вычисленные по формулам (6) при h =1 и соответствующие значения точного решения.

Таблица 1

Как видно из Таблицы 1, численное решение сильно отличается от точного и главный вопрос при использовании метода Эйлера или любого другого численного метода состоит в оценке точности приближенных значений yk. Вообще говоря, существуют два источника погрешности этих приближений: первый - ошибка дискретизации, возникающая в результате замены дифференциального уравнения (1) разностной аппроксимацией (3); второй источник погрешности - ошибка округления, накопившаяся при выполнении арифметических операций по формулам (3). Мы ошибки округления рассматривать не будем (подробно эта тема рассмотрена в книге Дж. Ортега, У. Пул "Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений"), а сейчас будем считать, что значения yk в (3) вычисляются точно, так что погрешности обусловлены только ошибкой дискретизации. Введём величину

E(h)= max1Ј kЈ N | yk -y(xk)|

называемую глобальной ошибкой дискретизации (иногда эту величину называют глобальной ошибкой усечения). Отметим, что E(h) зависит от величины шага h , поскольку предполагается, что приближения вычисляются при заданном значении h . Интуитивно ожидаем и определённо надеемся, что при уменьшении h ошибка дискретизации будет убывать и, в частности, при стремлении h к нулю также будет стремиться к нулю.

Мы не будем давать полный анализ глобальной ошибки дискретизации, а удовлетворимся лишь тем, что покажем, как такой анализ обычно проводится. Во-первых предположим, что точное решение y имеет на отрезке [a,b] ограниченную вторую производную y'' :

maxaЈ xЈ b | y''(x)| = M

Далее рассмотрим величину

L(x,h)= (1/h)[y(x+h)- y(x)]- f(x,y(x)),

которая называется локальной ошибкой дискретизации метода Эйлера в точке x и служит мерой того, насколько разностная аппроксимация y'(x) отличается от f(x,y(x)). Предположим теперь, что yk равно значению точного решения y(xk). Тогда разность между аппроксимацией по Эйлеру yk+1 и точным решением y(xk+1) выражается формулой

y(xk+1)-yk+1=y(xk+1)-y(xk)-h f(xk,y(xk))=h L(xk,h)

Таким образом умноженная на h локальная ошибка дискретизации равна ошибке на одном шаге метода Эйлера, стартовавшего с точного решения.

Нас интересует максимум L(x,h) по x ,так что определим локальную ошибку дискретизации метода Эйлера как

L(h)= maxaЈ xЈb-h|L(x,h)|

Отметим, что величина L(h) зависит, как от величины шага h , так и от вида правой части дифференциального уравнения и от отрезка [a,b]. Мы, однако, выделили явно только зависимость от h , поскольку в предположении (8) с помощью разложения Тейлора, аналогичного(4), можно получить оценку

L(h)ЈMh/2 = O(h)

Мы здесь воспользовались стандартным обозначением O(h) для величины стремящейся к нулю при h® 0 с той же скоростью, что и h. В общем случае будем говорить, что функция g(h) равна <O(h p), если при h® 0 величина g(h)/ h p ограничена.

Задача теперь состоит в том, чтобы связать локальную ошибку дискретизации с глобальной ошибкой дискретизации. Если обозначить ошибку y(xk)-yk через ek, то, согласно (3) и (10), получим

ek+1= y(xk+1)-yk+1 = y(xk)+ h f(xk,y(xk))+h L(xk,h)- yk -h f(xk,yk)=

= ek+h[f(xk,y(xk))-f(xk,yk)]+h L(xk,h)

Предположим теперь, что функция f имеет ограниченную частную производную по второй переменной:

|¶f(x,y)/¶y|ЈM1 , a ЈxЈb , |y|<Ґ

Тогда по теореме Лагранжа о среднем значении при некотором 0<q <1 имеем

| f(xk,y(xk))-f(xk,yk)| =

=| ¶ f(xk ,q y(xk)+(1-q )yk)/¶ y *( y(xk)- yk)| Ј M1ek .

Используя эту оценку и заменяя L(xk,h) на L(h), из (13) получаем

|ek+1|Ј (1+h M1)|ek|+h|L(h)|

Полагая здесь c=1+h M1 и раскрывая последовательность в (15) получаем

|ek+1|Ј c|ek+1| +h|L(h)|Јс2|ek -1| +ch|L(h)|+h|L(h)| Ј …

…Ј сk |e1| +ck-1 h|L(h)| +…+ ch|L(h)| +h|L(h)|

В частности, оценка ошибки eN в конечной точке интервала будет содержать сумму N членов каждый из которых равен O(h 2) . Так как N=(b-a)/h , то сумма будет равна O(h).Таким образом, у нас есть основания ожидать, что будет справедлива следующая

Теорема (ошибка дискретизации метода Эйлера).

Если функция имеет ограниченную частную производную по второй переменной и если решение задачи (1)-(2) имеет ограниченную вторую производную, то глобальная ошибка дискретизации метода Эйлера E(h)=O(h).

Чтобы эта теорема была доказана полностью, следует доказать, что величина cN=(1+h M1)N ограничена при k® 0 . Доказательство этого известного факта мы опускаем.

Размещено на Allbest.ru