Блочные матрицы

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Факультет математики и информатики

Кафедра алгебры, геометрии и методики преподавания математики

Блочные матрицы

Курсовая работа

студентки 2 курса

очного отделения

Гродно,2013



Содержание

Введение

Глава 1. Блочные матрицы

1.1 Блочные матрицы

1.2 Виды блочных матриц

Глава 2. Операции над блочными матрицами

2.1 Сложение блочных матриц

2.2 Умножение блочных матриц

2.3 Кронекеровские произведение и сумма матриц

2.4 Формула Фробениуса

2.5 Нахождение полуобратной матрицы

2.6 Обращение «возмущенных» матриц

Заключение

Список используемой литературы



Введение

Целью исследования данной курсовой работы является рассмотрение блочных матриц и их особенностей.

Постановка задач данной курсовой работы:

§ понять что же такое блочные матрицы.

§ понять чем же блочные матрицы отличаются от обычных.

§ узнать какие виды блочных матриц существуют.

§ рассмотреть все возможные варианты их решений.

В первой главе данной работы мы рассматриваем что же такое блочные матрицы.

Во второй главе рассматриваем все возможные операции над блочными матрицами.



Глава 1. Блочные матрицы

1.1 Блочные матрицы

Если разделить некоторую матрицу А на части вертикальными и горизонтальными прямыми, то получаются прямоугольные ячейки, являющиеся сами по себе матрицами. Эти ячейки называются блоками матрицы. Сама матрица А может рассматриваться как таблица, элементами которой являются более мелкие матрицы При таком построении матрица А составляется из блоков, и поэтому ее называют блочной. Например, матрицу

А=

разобьем на следующие блоки:

и обозначим их

, ,

, .



Тогда матрицу А можно записать в виде блочной матрицы, элементами которой будут эти матрицы :

А = () = .

Для составления блочной матрицы из серии матриц необходимо, чтобы подмножества матриц из серии с одинаковым значением индекса имели одинаковое количество строк, а подмножества матриц с одинаковым значением индекса - одинакововое количество столбцов. Эти подмножества образуют соответственно « блочные» строки и «блочные» столбцы (соответствующие нескольким строкам или столбцам обычной записи матрицы).

Пример 1.1.

Указанным требованиям удовлетворяют следующие четыре матрицы:

Поэтому из них можно составить блочную матрицу

А= =



1.2 Виды блочных матриц

Существуют также и различные виды блочных матриц. Блочно-диагональная (квазидиагональная) матрица, Квазитреугольная матрица, Блочно-трёхдиагональная матрица , Блочно-теплицева матрица.

Остановимся на каждом виде по подробнее.

Блочно-диагональная (квазидиагональная) матрица.

У блочно-диагональной матрицы, все блоки, кроме расположенных на главной диагонали являются нулевыми матрицами. Матрица выглядит, как

где каждый элемент является ненулевой матрицей.

Определитель квадратной квазидиагональной матрицы равен произведению определителей диагональных клеток.

Квазитреугольная матрица.

Квазитреугольной называется блочная квадратная матрица A у которой блоки при i >j (или i < j):

Определитель квазитреугольной матрицы равен произведению определителей диагональных блоков. Легко заметить, что блочно-диагональная матрица является частным случаем квазитреугольной.

Блочно-трёхдиагональная матрица.

Трёхдиагональной матрицей или матрицей Якоби называют матрицу следующего вида:

Системы линейных алгебраических уравнений с такими матрицами встречаются при решении многих задач математики и физики. Краевые условия и , которые берутся из контекста задачи, задают первую и последнюю строки. Так краевое условие первого рода определит первую строку в виде , , а условие второго рода будет соответствовать значениям , .

Блочно-теплицева матрица.

В линейной алгебре, матрица Тёплица, или диагонально-постоянная матрица, названная в честь немецкого математика Отто Тёплица -- это матрица, в которой на всех диагоналях, параллельных главной, стоят равные элементы.

В общем виде матрица Теплица размера имеет вид:

То есть выполняется соотношение:



Глава 2. Операции над блочными матрицами

2.1 Сложение блочных матриц

Суммой двух матриц A = || a _ij || , где (i = 1, 2, ..., т, j=1, 2, ..., n) и

В = || b _ij ||, где (i = 1, 2, ..., т, j=1, 2, ..., n) одних и тех же порядков т и п называется матрица С = || c _ij || (і =1,2, ..., т; j = 1, 2, ...., п) тех же порядков т и п, элементы с_ij которой определяются по формуле

, где (i = 1, 2, ..., т, j=1, 2, ..., n) . (1)

Для обозначения суммы двух матриц используется запись

С = А + В. Операция составления суммы матриц называется их сложением. Итак, по определению:

+

Из определения суммы матриц, а точнее из формулы (1) непосредственно вытекает, что операция сложения матриц обладает теми же свойствами, что и операция сложения вещественных чисел, а именно:

1) переместительным свойством: А + В = В + А,

2) сочетательным свойством: (A + B) + С = А + (В + С).

Эти свойства позволяют не заботиться о порядке следования слагаемых матриц при сложении двух или большего числа матриц.

Замечание 3.1. Разностью двух матриц А и В одинаковых порядков т и п естественно назвать такую матрицу С тех же порядков т и п, которая в сумме с матрицей B дает матрицу A. Для обозначения разности двух матриц используется естественная запись: С = A -- В.

Очень легко убедиться в том, что разность С двух матриц А и В может быть получена по правилу С = A + (-1) В.

Пример 3.1. Даны блочные матрицы

Найти матрицы .

Решение. Матрицы и имеют блоки одинаковых размеров: блоки и имеют размеры ; блоки и -- ; блоки и -- ; блоки и -- . Матрица будет иметь такие же по размерам блоки

.

Для каждого блока находим

Следовательно, матрица будет следующая



2.1 Умножение блочных матриц

Рассмотрим операцию умножения блочных матриц и . Блочные матрицы и называются согласованными, если разбиение матрицы на блоки по столбцам совпадает с разбиением матрицы по строкам, т.е. блоки имеют размеры , а блоки -- . У согласованных блочных матриц блоки и являются согласованными матрицами.

Произведением согласованных блочных матриц и называется блочная матрица , блоки которой вычисляются по следующей формуле

Это означает, что блочные матрицы, разделенные на блоки надлежащим образом, можно перемножать обычным способом. Чтобы получить блок произведения, надо выделить i-ю строку блоков матрицы и j-й столбец блоков матрицы . Затем найти сумму попарных произведений соответствующих блоков: первый блок i-й строки блоков умножается на первый блок j-го столбца блоков, второй блок i-й строки блоков умножается на второй блок j-го столбца и т.д., а результаты умножений складываются.

Пример 4.1. Даны блочные матрицы



Найти произведение блочных матриц

Решение. Матрица разбита на блоки: размеров -- -- -- . Матрица разбита на блоки: размеров -- -- -- . Блочные матрицы и согласованы. Матрица разбита по столбцам на два и один (считая слева), матрица разбита по строкам на две и одну (считая сверху). Поэтому произведение определено. Матрица будет иметь блоки

.

Для каждого блока находим

Следовательно, матрица будет иметь вид



Замечания 4.1

1. Операции сложения, умножения на число и произведения блочных матриц выполняются по тем же правилам, что и для обычных матриц, только вместо элементов в формулах используются блоки.

2. Выполняя операции над блочными матрицами, всегда можно их рассматривать как числовые, и проводить указанные операции по обычным правилам для числовых матриц. При этом результат операций (числовая матрица) будет один и тот же. Действия с блочными матрицами предпочтительнее, чем с числовыми, в том случае, когда в результате вычислений требуется искать не всю матрицу, а только ее часть -- блок.

3. Матрица, у которой большинство элементов отличны от нуля, называется плотной матрицей. Матрица, большинство элементов которой -нули, называется разреженной матрицей. Для разреженных матриц, подавляющее количество элементов которых равно нулю, полезно выделять нулевые блоки с целью уменьшения вычислительных операций.

Пример 4.2. Найти произведение матриц четвёртого порядка

Решение. Разобьем данные матрицы на блоки размеров

где E= -- единичная, -- нулевая. Запишем сначала произведение блочных матриц



где C= -единичная, O= нулевая. Запишем сначало произведение блочных матриц.

AB== =

Следовательно вместо умножения матриц А и В достаточно определить только один блок сложив матрицы C и D:

C+D=

Осталось записать результат:

АВ=

2.3 Кронекеровские произведение и сумма матриц

Пусть даны матрицы и размеров и соответственно. Числовая матрица размеров , составленная из блоков

A=



называется правым кронекеровским произведением матриц и (или правым прямым произведением матриц).

Пусть и квадратные матрицы n-го и m-го порядков соответственно. Кронекеровскои суммой матриц и называется квадратная матрица mn-го порядка

AB=()+(B)

где -- единичные матрицы соответствующих порядков.

Пример 5.1. Даны матрицы

Найти кронекеровское произведение и кронекеровскую сумму .

Решение. По определению находим

AC=(E+ (C E) = +

=+

2.4 Формула Фробениуса

Установим формулу Фробениуса для обращения блочной матрицы. Пусть неособенная квадратная матрица разбита на блоки



,

и пусть А- также неособенная квадратная матрица. Требуется определить

Применим к матрице М обобщенный алгоритм Гаусса. Из второй блочной строки вычтем первую, предварительно помноженную слева на -. Эта операция равносильна умножению матрицы М слева на матрицу, где . Поэтому

. (1)

Введем обозначение

H=

и заметим, что из равенства (1) следует:

(2)

Поэтому, поскольку , то и . Переходя к обратным матрицам в равенстве (1), получим

(3)

Обратную матрицу для матрицы будем искать в виде .



Тогда из равенства

,

находим, что . Таким образом,

(4)

Но тогда из равенства (3) находим

(5)

Выполняя умножение блочных матриц в правой части равенства (5), приходим к формуле Фробениуса

(6)

Где

H= (7)

Формула Фробениуса (6) сводит обращение матрицы порядка n+q к обращению двух матриц порядка n и q и к операциям сложения и умножения матриц с размерами nЧn, qЧq, nЧq, qЧn.

Если предположить, что (вместо) и поменять ролями матрицы A и D , то можно получить другой вид формулы Фробениуса:



(8) где

(9).

Пример 6.1.

Требуется найти элементы обратной матрицы для матрицы

M=

Решение: Полагаем

Находим последовательно

,

H= ,

,

=,

Поэтому по формуле (6) находим:



=

2.5 Нахождение полуобратной матрицы

Пусть -- произвольная матрица размеров . Матрица размеров называется полуобратной для матрицы , если выполняется условие:

(1)

Если, кроме того, выполняется условие

(2)

то матрицу называют взаимной полуобратной. Далее будут рассматриваться только взаимные полуобратные матрицы, поэтому термин взаимные будем опускать для краткости.

Заметим, что если матрица имеет обратную , то она также является и полуобратной , так как условия (1) и (2) для обратной матрицы выполняются:

Замечание 7.1. Из определения следует, что . В самом деле, находя сопряженные матрицы для обеих частей равенств (1), (2), получаем



Следовательно, матрица -- полуобратная к сопряженной матрице .

Алгоритм нахождения полуобратной матрицы

Пусть дана ненулевая матрица размеров . Для нахождения полуобратной нужно выполнить следующие действия.

1. Составить блочную матрицу

,

приписывая к матрице слева и снизу единичные матрицы соответствующих размеров. Правый нижний блок этой матрицы может быть произвольным, так как не участвует в дальнейших преобразованиях.

2. Элементарными преобразованиями над первыми строками и первыми n столбцами привести блочную матрицу к виду матрица размеров простейшего вида , .

3.Записать полуобратную матрицу

(3)

где и -- произвольные матрицы размеров и соответственно.

В первых двух пунктах алгоритма фактически находится скелетное разложение матрицы A:



не вычисляя, однако, самих множителей и . Учитывая , матрицу (3) можно представить в виде

Докажем, что матрица (4) является полуобратной. Нужно проверить равенства (1) и (2). Подставляя матрицы и в (1) и (2), убеждаемся в справедливости этих равенств.

Следовательно, матрица (4) (или, что то же самое, (3)) является полуобратной.

Замечания 7.1.

1. Из алгоритма следует, что любая матрица имеет хотя бы одну полуобратную матрицу. Если матрица обратима, то обратная матрица , как следует из (1), является полуобратной, т.е. . Если исходная матрица = нулевая размеров , то любая матрица размеров удовлетворяет условию (1), т.е. является полуобратной (но не взаимной полуобратной). Взаимная полуобратная матрица для нулевой матрицы это нулевая матрица размеров .

2. Первые два пункта алгоритма совпадают с алгоритмом нахождения элементарных преобразующих матриц.

Пример 7.1. Используя полуобратную матрицу, решить уравнение



где

Решение. Определитель матрицы равен нулю, следовательно, обратная матрица не существует. Пусть матрица полуобратная для . Уравнение запишем, используя равенство (1):

Заменяя в левой части произведение матрицей , получаем

Отсюда следует, что матрица является одним из решений уравнения , т.е. . Получим это решение, используя алгоритм нахождения полуобратной матрицы.

1. Составим блочную матрицу

2. При помощи элементарных преобразований приводим левый верхний блок (матрицу ) к простейшему виду:



Следовательно,

.

3. Определим размеры матриц и . Так как и , то матрица имеет размеры , матрица - . Обозначим единственные элементы этих матриц через и . По формуле (3) запишем полуобратную матрицу:

Умножая ее справа на матрицу , получаем решение уравнения

Таким образом, для любого значения параметра полученная матрица будет решением уравнения. Все решения этого уравнения:

где параметры и могут принимать любые значения. Сравнивая эту матрицу с полученной при помощи полуобратной матрицы, видим, что найдены не все решения уравнения, а лишь соответствующие нулевому значению параметра .



2.6 Обращение «возмущенных» матриц

блочный матрица обратный фробениус

Довольно часто ставится задача нахождения обратной к матрице при условии, что известна матрица и доступна некоторая дополнительная информация о «возмущении» -- о матрице .

Следующий результат формулируем только для случая вещественных матриц, хотя существует его обобщение для комплексных.

Теорема (Шерман, Моррисон).

Пусть матрицы

таковы, что существуют

и .

Тогда существует

Особенно полезен этот результат для случая возмущения матрицы посредством матриц ранга 1:

Если , то

Пример8.1.Вычислить для



если известно, что

Решение. Имеем: и, следовательно, матрица может быть представлена в виде суммы двух матриц ранга :

Будем производить обращение матрицы по схеме:

На основании следствия к теореме имеем последовательно:



Заключение

В данной курсовой работе по теме «Блочные матрицы» мною было разобрано изучение таких матриц .Были рассмотрены все возможные виды таких матриц такие как, блочно-диагональная (квазидиагональная) матрица, квазитреугольная матрица, блочно-трёхдиагональная матрица, блочно-теплицева матрица.

Мною были также рассмотрены операции над блочными матрицами. Мы узнали, что основное свойство блочных матриц состоит в том , что операции над блочными матрицами совершаются по те же правилам, что и операции над обычными матрицами. Это в достаточной степени очевидно для суммы матриц и произведения матриц на число. Также были рассмотрены кронекеровские произведение и сумма матриц. Для нахождения обратной матриц мы использовали формулу Фробениуса. Узнали способ нахождения полуобратной матрицы обращение «возмущенных» матриц.

А также были приведены и рассмотрены различные примеры в каждом параграфе.



Список используемой литературы

1. Гантмахер Ф.Р. «Теория матриц»

2. http://ru.wikipedia.org/wiki/Блочная_матрица

3.http://mathhelpplanet.com

4.http://rudocs.exdat.com/docs/index-80630.html

Размещено на Allbest.ru

...