Прямая на плоскости
Уравнения прямой на плоскости, его тождественное преобразование и основные понятия. Взаимное расположение прямых. Расстояние от точки до прямой. Семейство прямых на плоскости. Геометрический смысл линейного неравенства и системы линейных неравенств.
| Рубрика | Математика |
| Вид | реферат |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 16.05.2013 |
| Размер файла | 106,5 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Содержание
- Глава I. Прямая на плоскости
- § 1. Прямая на плоскости
- 1.1 Уравнения прямой на плоскости
- 1.2 Взаимное расположение прямых
- 1.3 Расстояние от точки до прямой
- 1.4 Семейство прямых на плоскости
- 1.5 Упражнения
- § 2. Геометрический смысл линейного неравенства и системы линейных неравенств
- 2.1 Геометрический смысл линейного неравенства
- 2.3 Упражнение
Глава I. Прямая на плоскости
§ 1. Прямая на плоскости
1.1 Уравнения прямой на плоскости
1.1.1 Если прямая l на плоскости проходит через точку N (x0, y0) перпендикулярно вектору = (A, B) (рис.1.1), то общее уравнение прямой l имеет вид:
A (xx0) +B (yy0) =0. (1.1)
Как правило, общее уравнение (1.1) прямой приводят к виду
Ax+By+C=0, (1.2)
где C=Ax0By0.
Вектор = (A, B) называется вектором нормали (или нормалью) прямой l.
1.1.2 Если прямая l не параллельна оси Oy, то явное уравнение прямой имеет вид
y=kx+b, (1.3)
где k=tg, угол наклона прямой к оси Ox, b ордината точки пересечения прямой с осью Oy. k называется угловым коэффициентом прямой l, уравнение (1.3) уравнением прямой с угловым коэффициентом.
1.1.3 Если прямая l проходит через точку N (x0, y0) параллельно вектору = (, ) (рис.1.3), то параметрические уравнения прямой l имеют вид
(1.4)
Вектор = (, ) называется направляющим вектором прямой l.
1.1.4 Кроме общего, явного и параметрического уравнений прямой также рассматриваются другие виды уравнений:
каноническое:
=, (1.5)
где (, ) направляющий вектор прямой, (x0, y0) некоторая точка прямой;
уравнение прямой, проходящей через точки N (x0, y0), M (x1, y1):
=, (1.6)
уравнение прямой в отрезках: +=1, (1.7)
при условии, что прямая не параллельна ни одной из осей координат.
1.1.5 Замечания. 1) С помощью тождественных преобразований из одного вида уравнений можно прийти к другому. Например, если B?0, то из общего уравнения можно прийти к уравнению с угловым коэффициентом:
y=x.
Обратно, из уравнения (1.3) получается общее: kx+yb=0. Далее, исключая параметр t из (1.4), можно прийти к (1.5), И т.д.
2) В частных случаях, когда прямая параллельна одной из осей, общее уравнение (1.2) записывается в виде x=a (если прямая параллельна оси Oy) или y=b (если прямая параллельна оси Ox) (рис.1.4).
3) В каноническом уравнении (1.5) допускается, чтобы =0 или =0 (но не одновременно!). В этом уравнении дроби не обозначают операцию деления. Например, уравнение = означает, что прямая проходит через точку (2; 3) параллельно вектору (0;4).
4) По сути уравнение (1.6) является каноническим уравнением прямой с направляющим вектором (x1x0; y1y0).
прямая плоскость уравнение неравенство
5) Геометрический смысл параметров a и b в уравнении (1.7) следующий: a и b соответственно абсцисса и ордината точек пересечения прямой с осями соответственно Ox и Oy (рис.1.5).
1.1.6. Упражнения. 1) Написать различные уравнения прямой и изобразить прямые в системе координат:
а) проходящей через точку N (3; 2) перпендикулярно вектору = (4; 2);
б) проходящей через точку N (2;
4) перпендикулярно вектору = (3;8);
в) проходящей через точку N (4;
2) параллельно вектору = (3; 1);
г) проходящей через точку N (5; 8) параллельно вектору = (2;3);
д) проходящей через точку N (2; 1) и M (3; 4);
е) проходящей через точку N (3;
2) и M (4; 5).
Решение. а) По формуле (1.1) имеем 4 (x3) 2 (y+2) =0. Преобразуем его к виду (1.2): 4x2y16=0. Это общее уравнение прямой. Его можно сократить на 2: 2xy8=0.
Приведём к уравнению с угловым коэффициентом: y=2x8.
Напишем параметрические и каноническое уравнения. Для этого заметим, что вектор = (1;
2) будет направляющим, так как
(, ) =14+2 (2) =0,
то есть и поэтому параллелен l. Отсюда по (1.4)
=
параметрические и каноническое уравнения соответственно.
Для получения уравнения в отрезках применим к общему уравнению тождественные преобразования:
2xy8=0 2xy=8 =1 +=1,то есть +=1 уравнение прямой в отрезках.
в) Напишем сначала каноническое уравнение прямой: =. Для написания общего уравнения применим тождественные преобразования к этому равнению:
= (1) (x4) =3 (y4) x+4=3y6
x3y+10=0 x3y+10=0 x+3y10=0,то есть x+3y10=0
общее уравнение прямой (как правило, коэффициент при х приводят к знаку "+". Остальное как в а) (довести до конца!).
д) Напишем уравнение прямой, проходящей через две точки:
= =.
Остальное как и выше (довести до конца).
Ответ: а) 2xy8=0 общее уравнение прямой,
y=2x8 уравнение прямой с угловым коэффициентом,
параметрические уравнения прямой,
= каноническое уравнение прямой,
+=1 уравнение прямой в отрезках.
2) Известны угол наклона прямой к оси Ox и точка N, через которую проходит прямая. Написать уравнение прямой:
а) =, N (4;
2);
б) =, N (2; 1);
в) =, N (3; 8).
Решение. а) Напишем уравнение с угловым коэффициентом: y=kx+b, где k=tg=, то есть y=x+b. Так как N (4;
2) принадлежит прямой, то её координаты удовлетворяют уравнению прямой: 2=4+b, откуда b=24. Окончательно имеем y=x+24.
Ответ: а) y=x+24 уравнение прямой с угловым коэффициентом.
1.2 Взаимное расположение прямых
1.2.1 Пусть прямые l1: A1x+B1y+C1=0 и l2: A2x+B2y+C2=0 заданы своими общими уравнениями.
Тогда:
а) они параллельны тогда и только тогда, когда =, при этом они совпадают тогда и только тогда, когда это отношение равно и не совпадают тогда и только тогда, когда это отношение не равно ;
б) они перпендикулярны тогда и только тогда, когда A1A2+B1B2 =0.
1.2.2 Из 1.2.1 следует, что если ?, то прямые l1 и l2 пересекаются в единственной точке (x1, y1), которая является решением системы
1.2.3 Если прямые l1 и l2 заданы своими общими уравнениями (см.1.2.1), то угол между ними можно найти из соотношения
cos () =, (1.8)
где = (A1, B1), = (A2, B2).
1.2.4 Упражнение. Выяснить взаимное расположение прямых:
а) l1: 2x3y+4=0; l2: 4x6y+8=0; l3: 6x9y12=0; l4: 3x+2y5=0;
l5: x+2y+1=0;
б) l1: 4x3y9=0; l2: 3x+4y8=0; l3: 2x+y4=0; l4: 8x+4y+12=0;
l5: 8x+4y16=0.
В случае, когда прямые ни параллельны, ни перпендикулярны, найти угол между ними. Если прямые не параллельны, то найти точку их пересечения.
Решение. а) l1 и l2: ==. Поэтому прямые l1 и l2 совпадают.
l1 и l3: =?. Поэтому прямые l1 и l3 параллельны, но не совпадают.
l1 и l4: 23+ (3) 2=0. Поэтому прямые l1 и l4 перпендикулярны.
l1 и l5: ? и 21+ (3) 2?0. Поэтому прямые ни параллельны, ни перпендикулярны. Найдём угол между ними. Имеем (по формуле (1.8))
cos () =cos () ==0,4961.
Тогда () arccos0,49611,05 (радиан).
Найдём точку пересечения прямых l1 и l5. Для этого решаем систему
Таким образом точка пересечения прямых l1 и l5.
Аналогично исследуется взаимное расположение пар прямых (l2, l3), (l2, l4), (l2, l5), (l3, l4), (l3, l5), (l4, l5) (довести до конца!).
Ответ: а) Прямые l1 и l2 совпадают, l1 и l3 параллельны и не совпадают, прямые l1 и l4 перпендикулярны, угол между прямыми l1 и l5 равен 1,05 радиан, точка пересечения прямых l1 и l5.
1.3 Расстояние от точки до прямой
1.3.1 Если N (x0, y0) и l: Ax+By+C=0 произвольная точка и прямая на плоскости соответственно, то расстояние (N, l) от точки N до прямой l можно вычислить по формуле
(N, l) =. (1.9)
1.3.2 Упражнение. Найти расстояние от точки N до прямой l:
а) N (2; 1), l: 4x3y+8=0;
б) N (3;
2), l: 2x+4y9=0;
а) N (3; 2), l: 5xy8=0.
Решение. а) По формуле (1.9) имеем
(N, l) ===.
Ответ: а) .
1.4 Семейство прямых на плоскости
Как известно, общее уравнение прямой имеет вид Ax+By+C=0 и две прямые Ax+By+C1=0 и Ax+By+C2=0 не пересекаются тогда и только тогда, когда C1?C2. Поэтому при различных уравнения
Ax+By= (1.10)
задают различные (параллельные между собой) прямые, то есть уравнение (1.10) при фиксированных A и B задаёт семейство прямых.
Значения свободных членов семейства прямых Ax+By= увеличиваются, если прямые перемещать по направлению их общего вектора нормали = (A, B), и уменьшаются, если перемещать в противоположную сторону.
1.5 Упражнения
1) Относительно системы координат написать уравнения прямых, которые проходят через точку N (4; 1) и:
параллельна прямой l1;
перпендикулярна прямой l2;
образует угол с прямой l3:
а) l1: 2x5y+8=0; l2: 3x+y6=0; =, l3: y=5x+6;
б) l1: x+8y5=0; l2: 6x+y+3=0; =, l3: y=4x8.
Решение. а) Найдём уравнение прямой, параллельной l1.
I способ. Если прямая l: Ax+By+C=0 параллельна l1: 2x5y+8=0, то =. Можно считать, что A=2 и B=5, то есть 2x5y+C=0. Так как l проходит через точку N (4; 1), то координаты N удовлетворяют уравнению прямой: 245 (1) +C=0. Отсюда C=13. Следовательно, 2x5y13=0 искомое уравнение прямой.
II способ. Если прямые параллельны, то их перпендикуляр общий. В частности, их нормаль общая, то есть = (2; 5) общая нормаль для искомой прямой и l1. Поэтому уравнение искомой прямой 2 (x4) 5 (y+1) =0, или 2x5y13=0.
Найдём уравнение прямой, перпендикулярной l2. Ясно, что нормаль для l2 является направляющей для искомой. Поэтому = искомое уравнение.
Для нахождения уравнения прямой, убразующей угол с прямой y=5x+6, напишем его уравнение в общем виде: 5xy+6=0. Пусть l: Ax+By+C=0 искомая прямая (уравнение прямой). Можно считать, что A=1 (если это не так, то уравнение делим на A). Поэтому
cos () ==
(в качестве угла между прямыми берём острый угол, и тогда знаки модуля можно опускать). Так как () =, то cos () =cos= и приходим к уравнению =, которое решаем:
= 102B= 10040B+4B2=52+52B2 48B2+40B48=0 6B2+5B6=0.
Решаем последнее квадратное уравнение:
D=5246 (6) =169, B1, 2==, B1=, B2=.
Таким образом, xy+C=0 и x+y+C=0 или, соответственно 2x3y+2C=0 и 3x+2y+3C=0 уравнения искомых прямых. Найдём C для обоих уравнений: 243 (1) +2C=0, откуда C=, и 342 (1) +2C=0, откуда C=7. Таким образом, 2x3y11=0 и 3x+2y14=0 искомые уравнения прямых.
Ответ: а) 2x5y13=0 уравнение прямой, проходящей через точку N (4; 1) и параллельной l1;
= уравнение прямой, проходящей через точку N (4; 1) и перпендикулярной l2;
2x3y11=0 и 3x+2y14=0 уравнения прямых, образующих угол с прямой l3 и проходящей через точку N (4; 1).
2) Даны вершины треугольника ABC. Составить: уравнения сторон треугольника; уравнения прямых, параллельных сторонам и проходящих через вершины треугольника; уравнения высот. Найти длины высот:
а) A (3;
2), B (4; 1), С (2;8);
б) A (1;
2), B (2;
1), С (2;8);
Решение. а) Уравнения сторон будем искать как уравнения прямых, проходящих через (две) вершины. Найдём уравнение стороны AB:
= =,
то есть = уравнение стороны AB (в каноническом виде). Напишем уравнение прямой, проходящей через вершину C параллельно стороне AB. Ясно, что вектор = (1; 3) является направляющим для этой прямой. Поэтому её уравнение: =.
Напишем уравнение высоты, опущенной из вершины C. Эта высота перпендикулярна стороне AB, то есть вектор является нормалью для этой высоты. Поэтому её уравнение x+23 (y+8) =0 x3y22=0.
Длину высоты hc, опущенной из вершины C будем искать как расстояние от точки C до прямой AB. Для этого уравнение прямой AB приведём к общему виду:
= 3 (x3) =y2 3xy+11=0 3x+y11=0.
Тогда
hc= (C, AB) ===.
Аналогично находятся остальные прямые и длины высот (требуемые по условию задачи) (довести до конца!)
Ответ: а) =, 3x+y11=0 уравнения стороны AB;
= уравнение прямой, проходящей через вершину C параллельно стороне AB;
x3y22=0 уравнение высоты, опущенной из вершины C;
длина высоты, опущенной из вершины C.
§ 2. Геометрический смысл линейного неравенства и системы линейных неравенств
2.1 Геометрический смысл линейного неравенства
2.1.1 Множество точек на плоскости, координаты которых удовлетворяют линейному неравенству
Ax+ByC (2.1)
образует полуплоскость с границей Ax+By=C.
2.1.2 Для того, чтобы построить полуплоскость (2.1), достаточно:
1) Построить прямую Ax+By=C.
2) Взять произвольную точку, не лежащую на прямой Ax+By=C, и подставить её координаты в неравенство (2.1). Если при этом получится верное числовое неравенство, то та полуплоскость, относительно прямой Ax+By=C, в которой лежит взятая точка, определяется неравенством (2.1). В противном случае другая.
2.1.3 Пример. Построим полуплоскость 3x4y12.
1) Построим прямую 3x4y=12. Для этого достаточно найти точки пересечения прямой с осями координат: (0; 3) и (4; 0).
2) Возьмём произвольную точку, не лежащую на прямой, и подставим её координаты в данное неравенство. Например, подставим в данное неравенство координаты точки О (0; 0): 304012. Получилось верное числовое неравенство. Значит, полуплоскость с границей 3x4y=12, в которой лежит начало координат, является искомой (на рис. этот факт обозначен двумя стрелками, указывающими на направление полуплоскости).
2.2 Геометрический смысл системы линейных неравенств. Пусть дана система линейных неравенств с двумя переменными:
(2.2)
2.2.1 Если система (2.2) совместна (то есть имеет решение), то множество решений системы образует на плоскости с ПДСК выпуклый многоугольник (возможно, неограниченный), образованный пересечением полуплоскостей, определяемых неравенствами системы.
2.2.2 Для того, чтобы изобразить множество системы (2.2) на плоскости, достаточно:
1) Построить каждую из полуплоскостей, определяемых неравенствами системы (2.2).
2) Найти общую часть этих полуплоскостей (их пересечение).
2.2.3 Пример. Изобразить на плоскости множество решений системы
Решение. 1) Построим каждую из полуплоскостей, определяемых неравенствами системы.
2) Треугольник ABC вместе с внутренними точками образует искомое множество.
2.3 Упражнение
Изобразить на плоскости множество решений системы неравенств:
а) б)
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Возможные случаи ориентации прямой и плоскости для заданного уравнения. Условия их перпендикулярности и параллельности. Скалярное произведение перпендикулярных векторов. Координаты точки, лежащей на прямой. Угол между прямой и плоскостью, его определение.
презентация [65,2 K], добавлен 21.09.2013Понятие параллельности как отношения между прямыми. Случаи расположения прямой и плоскости. Признаки параллельности прямой и плоскости. Основные свойства двух прямых. Отсутствие общих точек у прямой и плоскости. Признаки параллельности плоскостей.
презентация [1,5 M], добавлен 14.10.2014Различные способы задания прямой на плоскости и в пространстве. Конструктивные задачи трехмерного пространства. Изображения фигур и их правильное восприятие и чтение. Использование в геометрии монографического и математического метода исследования.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 22.09.2014Написание уравнения прямой, проходящей через определенную точку и удаленной от начала координат на заданное расстояние. Расчет длины высот параллелограмма. Построение плоскости и прямой, определение точки пересечения прямой и плоскости и угла между ними.
контрольная работа [376,1 K], добавлен 16.06.2012Перпендикулярные прямые в пространстве. Определение и признак прямой, перпендикулярной к плоскости. Теорема о перпендикулярности двух параллельных, двух перпендикулярных прямых к плоскости. Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью.
презентация [160,5 K], добавлен 20.11.2014Основные фигуры в пространстве. Геометрические тела: куб, параллелепипед, тетраэдр. Способ задания плоскости. Взаимное расположение прямой и плоскости. Следствия из аксиом стереометрии. Геометрические понятия: вершина, прямая, точка, ребро, грань.
презентация [316,1 K], добавлен 10.11.2013Уравнения линии на плоскости, их формы. Угол между прямыми, условия их параллельности и перпендикулярности. Расстояние от точки до прямой. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола, их уравнения и главные геометрические свойства.
лекция [160,8 K], добавлен 17.12.2010Перпендикулярные прямые в пространстве. Лемма о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой. Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости. Признаки перпендикулярности плоскостей. Построение перпендикуляра в многомерных пространствах.
презентация [1,6 M], добавлен 14.12.2012Способы определения плоскости. Прямые в пространстве, признаки их параллельности, пересечения, скрещивания. Принадлежность прямой плоскости, их параллельность и скрещивание. Перпендикулярность прямой и плоскости. Взаимодействие плоскостей в пространстве.
презентация [1,4 M], добавлен 13.04.2016Общее уравнение прямой, переходящей через определенную точку. Условия перпендикулярности прямых. Условие перпендикулярности плоскостей. Свойства медианы треугольника. Нахождение направляющих векторов прямых. Условие параллельности прямой и плоскости.
контрольная работа [87,1 K], добавлен 07.09.2010Правые и левые ориентации. Стороны прямой на плоскости и плоскости в пространстве. Деформации базисов и ориентации. Отношение одноименности отличных от нуля векторов прямой, деформируемости базисов. Задание направления движения по окружности в плоскости.
контрольная работа [448,0 K], добавлен 09.04.2016Сущность планиметрии как науки о свойствах точек и прямых на плоскости. Понятие точки, прямой и плоскости, принятие утверждений без доказательств. Особенности построения и содержание аксиом принадлежности, измерения, параллельности, откладывания.
презентация [77,7 K], добавлен 12.04.2012Понятие числовой прямой. Типы числовых промежутков. Определение координатами положения точки на прямой, на плоскости, в пространстве, система координат. Единицы измерения для осей. Определение расстояния между двумя точками плоскости и в пространстве.
реферат [123,9 K], добавлен 19.01.2012Уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно горизонтальной, фронтальной и профильной прямым. Угол в точке пересечения прямой с плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. Метод прямоугольного треугольника.
курсовая работа [647,0 K], добавлен 14.11.2014Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между двумя прямыми. Биссектриса углов между прямыми. Деление отрезка в заданном отношении. Виды неполных уравнений. Понятие направляющего вектора. Расстояние от точки до прямой.
презентация [490,5 K], добавлен 10.11.2014Уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной заданному вектору, плоскости в отрезках, проходящей через три точки. Общее уравнение плоскости. Условие параллельности и перпендикулярности двух плоскостей. Расстояние от точки до плоскости.
презентация [106,9 K], добавлен 21.09.2013Особенности применения координатного метода при изучении стереометрии в 10-11-х классах. Определение расстояния от точки до прямой и до плоскости в пространстве, а также между скрещивающимися прямыми. Нахождение углов между двумя прямыми и плоскостями.
статья [2,1 M], добавлен 04.12.2012Понятие плоскостей, их классификация и разновидности, способы и принципы задания. Сущность и этапы решения позиционных задач. Исследование принадлежности прямой заданной плоскости, методика и цели доказательства их параллельности и перпендикулярности.
презентация [95,4 K], добавлен 27.10.2013Общее и каноническое уравнение прямой, декартова прямоугольная система. Перпендикулярность вектора к прямой и параметрические уравнения. Угловой коэффициент и наклон прямой к оси. Тангенс угла наклона и представление отрезка, отсекаемого линией.
лекция [124,0 K], добавлен 17.12.2011Метод координат. Основные задачи аналитической геометрии на прямой и на плоскости. Основные линии второго порядка. Алгебраическая и геометрическая интерпретация векторов. Уравнение поверхности и уравнение линии в пространстве. Общее уравнение плоскости.
учебное пособие [687,5 K], добавлен 04.05.2011
