Матрицы и операции над ними
Общее понятие матрицы, ее разновидности. Определители n-го порядка и их основные свойства. Алгебраические дополнения и миноры. Способ получения обратной матрицы, ее транспонирование. Алгоритм нахождения ранга матрицы. Виды операций над матрицами.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 21.05.2013 |
| Размер файла | 54,0 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Матрицы и операции над ними
§.1. Основные определения
Определение 1: матрицей размера mЧn называется таблица m строк и n столбцов.
Если m=n, то матрица называется квадратной.
N - порядок квадратной матрицы
Элементы - главная диагональ
- побочная диагональ
Сумма элементов главной диагонали - шпур
Определение 2: если все ,, то матрица нулевая.
Верхняя треугольная матрица - все элементы выше главной диагонали нули.
Нижняя треугольная матрица - все элементы ниже главной диагонали нули.
Диагональная матрица - элементы только на главной диагонали.
Матрица единичная - если все элементы главной диагонали равны 1, а остальные нули.
символ Кронекера
Определение 3: матрица, состоящая из одной строки: вектор-строка.
Матрица, состоящая из одного столбца: вектор-столбец
Определение 4: матрица B называется транспонированной к A, если:
:
Если
- симметричная матрица
- кососимметричная матрица.
§.2. Перестановки
Определение 1. Любую упорядоченную подборку натуральных чисел называют перестановкой из n чисел. P(2, 4, 8)
Теорема 1. Существуют n! перестановок из n элементов.
P(n)=n!
Перестановка 1, 2, 3… n - нормальная.
Определение 2. Беспорядок (инверсия) в перестановке n-го порядка - наличие пары чисел, в которых большему числу предшествует меньшее.
Определение 3. Перестановка называется чётной, если число инверсий в ней чётно (или ноль)
Перестановка называется нечётной, если число инверсий в ней нечётно.
Определение 4. Транспозицией символов в перестановке, называется любая перестановка этих символов.
Теорема 2. Всякая транспозиция меняет чётность перестановки.
§.3. Определители n-го порядка
Определение 1. Определителем (детерминантом) n-го порядка квадратной матрицы называется сумма n! слагаемых, каждое из которых равно
где -произведение элементов матрицы A, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, а - число инверсий в перестановке, составленных из номеров столбцов.
Мнемонические правила вычисления определений 3-го порядка.
1. 1-ое правило Саргюса (правило треугольников)
2. 2-ое правило Саргюса (правило диагоналей)
§.4. Алгебраические дополнения и миноры
Определение 1. Минором элемента называется определитель матрицы порядка, полученный вычёркиванием i-ой строки j-го столбца.
Определение 2. Алгебраическим дополнением элемента называется
Теорема. Теорема Лапласа (разложения)
Детерминант квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.
§.5. Свойства определителей n-го порядка
1. Величина определителя не изменится, если определитель транспонировать.
2. Если определитель содержит строку, состоящую из одних нулей, то он равен нулю
3. При перестановке двух строк определитель меняет знак.
4. Определитель, имеющий две одинаковые строки, равен нулю.
5. Общий множитель элементов любой строки можно вынести за знак определителя.
6. Если каждый элемент некоторой строки представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, в каждом из которых все строки, кроме упомянутой, такие же как и данном определителе, а в упомянутой строке первого определителя стоят первые слагаемые, второго - вторые.
7. Если в определителе две строки пропорциональны, то он равен нулю.
8. Определитель не изменится, если к элементам некоторой строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.
9. Определители треугольных и диагональных матриц равны произведению элементов главной диагонали.
Метод накопления нулей вычисления определителей основан на свойствах определителей.
§.6. Алгебра матриц
1. Сложение матриц
Пусть A и B - две матрицы одинакового размера:
2. Умножение матрицы на число.
3. Умножение матриц.
Умножение возможно если число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы (условия сцепления):
Произведением A и B называют матрицу C размера , элементы которой находят по формуле:
т.е. элемент , стоящий в i-ой строке и j-ом столбце матрицы С, равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B.
Теорема. Определитель произведения квадратных матриц равен произведению определителей сомножителей:
4. Обратная матрица.
Определение 1. Квадратную матрицу A называют невырожденной, если её определитель не равен нулю, и вырожденной, если
Пусть A - невырожденная квадратная матрица.
Определение 2. Матрицу называют обратной матрице A , если выполняются равенства:
Вырожденная матрица не имеет обратной.
Способ получения обратной матрицы
1. Вычислить определитель матрицы A, если , то матрица необратима.
2. Найти алгебраические дополнения по всем элементам.
3. Заменить все элементы матрицы их алгебраическими дополнениями.
4. Транспонировать полученную матрицу.
5. Все элементы матрицы разделить на определитель, вычисленный в 1-ом пункте.
5. Свойства операций над матрицами.
1) - коммутативность
2) - ассоциативность
3)
4)
5) - дистрибутивность
6)
7) - ассоциативность умножения
8) - дистрибутивность
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
§.7. Ранг матрицы
алгебраический матрица алгоритм
Определение 1. Рангом матрицы называют максимальное число её независимых вектор-строк.
Ранг матрицы (rang A) находят приведением её к треугольному (диагональному) виду с помощью элементарных преобразований, к которым относят:
1) перестановка любых строк матрицы;
2) умножение любой строки на число ;
3) вычёркивание строки, состоящей из одних нулей;
4) вычитание из любой строки, любой другой, умноженной на число, отличное от нуля.
Определение 2. Две матрицы называются эквивалентными, если одна из них получена из другой с помощью конечного числа элементарных преобразований.
Эквивалентные матрицы имеют одинаковые ранги.
Теорема. Наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы A равен рангу этой матрицы.
Алгоритм нахождения ранга матрицы
1. Если все элементы матрицы равны нулю, то rang A=0. Если есть ненулевой элемент, то .
2. Ищем минор 2-го порядка, отличный от нуля, если все миноры 2-го порядка равны нулю, то rang A=1.
Если найдётся отличный от нуля, то
3. Рассматриваем миноры 3-го порядка, окаймляющие найденный ненулевой минор 2-го порядка.
Если все миноры отличные от нуля, то
4. Если найден ненулевой минор k-го порядка, отличны от нуля, а все миноры (k+1)-го порядка, окаймляющие найденный минор, равны нулю, то .
Это способ окаймляющих миноров.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Понятие и типы матриц. Определители (детерминанты) квадратной матрицы и их свойства. Алгебраические действия над матрицами. Теоремы Лапласа и аннулирования. Понятие и свойства обратной матрицы, алгоритм ее построения. Единственность обратной матрицы.
курс лекций [336,5 K], добавлен 27.05.2010Понятие матрицы и ее основные элементы. Пример нахождения ее ранга путем приведения к ступенчатому виду. Описание действий над матрицами. Разбор умножения их на примере. Особенности алгебраического дополнения. Алгоритм определения обратной матрицы.
презентация [617,0 K], добавлен 15.09.2014Понятие обратной матрицы. Пошаговое определение обратной матрицы: проверка существования квадратной и обратной матрицы, расчет определителя и алгебраического дополнения, получение единичной матрицы. Пример расчета обратной матрицы согласно алгоритма.
презентация [54,8 K], добавлен 21.09.2013Основные операции над матрицами и их свойства. Произведение матриц или перемножение матриц. Блочные матрицы. Понятие определителя. Панель инструментов Матрицы. Транспонирование. Умножение. Определитель квадратной матрицы. Модуль вектора.
реферат [109,2 K], добавлен 06.04.2003Понятие, типы и алгебра матриц. Определители квадратной матрицы и их свойства, теоремы Лапласа и аннулирования. Понятие обратной матрицы и ее единственность, алгоритм построения и свойства. Определение единичной матрицы только для квадратных матриц.
реферат [296,6 K], добавлен 12.06.2010Общие определения, связанные с понятием матрицы. Действия над матрицами. Определители 2-го и 3-го порядков, порядка n, порядок их вычисления и характерные свойства. Обратные матрицы и их ранг. Понятие и этапы элементарного преобразования матрицы.
лекция [30,2 K], добавлен 14.12.2010Понятие матрицы и линейные действия над ними. Свойства операции сложения матриц. Определители второго и третьего порядков. Применение правила Саррюса. Основные методы решения определителей. Элементарные преобразования матрицы. Свойства обратной матрицы.
учебное пособие [223,0 K], добавлен 04.03.2010Линейные операции над матрицами. Умножение и вычисление произведения матриц. Приведение матрицы к ступенчатому виду и вычисление ранга матрицы. Вычисление обратной матрицы и определителя матрицы, а также решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
учебное пособие [658,4 K], добавлен 26.01.2009Понятие матрицы, ее ранга, минора, использование при действиях с векторами и изучении систем линейных уравнений. Квадратная и прямоугольная матрица. Элементарные преобразования матрицы. Умножение матрицы на число. Класс диагональных матриц, определители.
реферат [102,8 K], добавлен 05.08.2009Правила произведения матрицы и вектора, нахождения обратной матрицы и ее определителя. Элементарные преобразования матрицы: умножение на число, прибавление, перестановка и удаление строк, транспонирование. Решение системы уравнений методом Гаусса.
контрольная работа [462,6 K], добавлен 12.11.2010Понятие матрицы, прямоугольная матрица размера m x n - совокупность mn чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы, содержащей m строк и n столбцов. Численная характеристика квадратной матрицы - ее определитель. Действия над матрицами, ранг матрицы.
реферат [87,2 K], добавлен 01.08.2009Прямоугольная таблица, составленная из чисел или матрица. Произвольная квадратная матрица, ее численная характеристика (определитель). Определители первого и второго порядка. Понятие минора элемента матрицы. Свойства определителей, транспонирование.
реферат [56,8 K], добавлен 19.08.2009Размеры прямоугольной, квадратной, диагональной, скалярной матриц. Линейные операции над матрицами. Умножение строки на столбец (скалярное произведение). Транспонирование матрицы, ее элементы. Образование треугольной таблицы, состоящей из строк, столбцов.
презентация [1,4 M], добавлен 03.12.2016Понятие равных матриц, их суммы и произведения. Нахождение элемента матрицы, свойства ее произведения. Расположение вне главной диагонали элементов квадратной матрицы. Понятие обратной матрицы, матричные уравнения. Теорема о базисном миноре, ранг матрицы.
реферат [105,3 K], добавлен 21.08.2009Вид в матричной форме, определитель матрицы, алгебраического дополнения и всех элементов матрицы, транспоная матрица. Метод Крамера, правило Крамера — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с определителем основной матрицы.
задача [93,5 K], добавлен 08.11.2010Разложение определителя 4-го порядка. Проверка с помощью функции МОПРЕД() в программе Microsoft Excel. Нахождение обратной матрицы. Решение системы линейных уравнений методом обратной матрицы и методом Гаусса. Составление общего уравнения плоскости.
контрольная работа [138,7 K], добавлен 05.07.2015Определение матрицы, характеристика основных ее видов. Правила транспонирования матриц. Элементы матрицы-произведения. Свойства определителей, примеры нахождения. Формулировка и следствие теоремы о ранге матрицы. Доказательство теоремы Кронекера-Капелли.
реферат [60,2 K], добавлен 17.06.2014Понятие матрицы, его источники и развитие в математической науке, основные элементы и их взаимодействие. Описание действий с матрицами: сложение, вычитание, умножение между собой и на число, транспортирование. Свойства транспортированных матриц.
контрольная работа [92,9 K], добавлен 02.06.2010Изучение понятий, действий (сумма, разность, произведение), свойств квадратной матрицы. Определение и признаки ранга матрицы. Анализ методов окаймляющих миноров и преобразований. Расчет системы линейных уравнений согласно методам Крамера и матричному.
реферат [178,9 K], добавлен 01.02.2010Применение матриц и их виды (равные, квадратные, диагональные, единичные, нулевые, вектор-строка, вектор-столбец). Примеры действий над матрицами (умножение на число, сложение, вычитание, умножение и транспонирование матриц) и свойства полученных матриц.
презентация [74,7 K], добавлен 21.09.2013
