Методы решения задач на комбинации геометрических тел
Характеристика основных комбинаций многогранников с цилиндром, конусом и шаром. Главные правила при решении задач на комбинации фигур. Особенности факторов связанных с вписанными и описанными сферами. Формулы для расчета площади поверхности и объема.
| Рубрика | Математика |
| Вид | реферат |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 21.05.2013 |
| Размер файла | 56,2 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Методы решения задач на комбинации геометрических тел
Одной из наиболее сложных тем при изучении стереометрии является решение задач на комбинации различных геометрических тел.
При решении задач на комбинации многогранников, цилиндра, конуса и шара необходимо иметь набор моделей и готовые чертежи комбинаций указанных фигур. Всего встречается девять комбинаций многогранников с цилиндром, конусом и шаром:
шар и пирамида;
шар и призма;
шар и конус;
шар и цилиндр;
конус и пирамида;
конус и призма;
конус и цилиндр;
цилиндр и пирамида;
цилиндр и призма.
Наибольшие трудности при изображении комбинаций фигур возникают в тех случаях, когда одна из фигур - шар. В таких задачах изображение самого шара, как правило, бывает излишним - достаточно лишь указать его центр и точки касания с различными плоскостями и прямыми. Необходимо записывать полное обоснование нахождения положения центра шара, вписанного в многогранник или описанного около него.
При решении задач на комбинации фигур полезно делать различные вспомогательные планиметрические чертежи, т. е. "выносы плоских конфигураций", изображение которых искажено пространственной перспективой. В этих случаях недостаточно знать только определение сферы, описанной или вписанной в тот или иной многогранник.
Следует учитывать ряд факторов связанных с вписанными и описанными сферами (шарами).
Решая вспомогательные планиметрические задачи следует пользоваться свойствами и признаками касательной к окружности и касательной плоскости к сфере.
|
Касательная к окружности |
Касательная плоскость к сфере |
||
|
Определение Свойство Признак |
Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а общая точка прямой и окружности - точкой касания. Радиус окружности, проведенный в точку касания прямой и окружности, перпендикулярен к касательной. Если прямая перпендикулярна к радиусу окружности и проходит через его конец, лежащий на окружности, то она является касательной к этой окружности. |
Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а общая точка плоскости и сферы - точкой касания. Радиус сферы, проведенный в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости. Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере. |
Комбинации шара и призмы
Если в призму вписан шар, то:
высота призмы равна диаметру шара;
точки касания шара с боковыми гранями принадлежат сечению призмы плоскостью, проходящей через середину высоты призмы (центр шара) перпендикулярно боковым ребрам (см. слайд 4).
Окружность, получающуюся при пересечении сферы плоскостью, проходящей через центр шара, называют большой окружностью шара; следовательно, точки касания шара, вписанного в призму, с ее боковыми гранями расположены на большой окружности этого шара.
Однако, не для всякой призмы существует описанный шар. Для того чтобы около призмы можно было описать шар, необходимо и достаточно, чтобы: 1) призма была прямой; 2) около ее основания можно было бы описать окружность.
Справедливо следующее утверждение: если около призмы описан шар, то центр шара является серединой высоты призмы, проведенной через центр окружности, описанной около основания призмы.
Комбинации шара и пирамиды
При решении задач на комбинации шара и пирамиды необходимо учитывать следующие теоремы:
Теорема 1. Если в пирамиду вписан шар, то его центр является точкой пересечения биссектральных плоскостей всех двугранных углов пирамиды.
Биссектральной плоскостью двугранного угла называется множество точек, равноудаленных от граней данного двугранного угла. Центр шара, вписанного в пирамиду, всегда находится внутри пирамиды, так как все точки биссектральной плоскости расположены между гранями двугранного угла.
Из множества пирамид, в которые можно вписать шар, следует особо рассмотреть пирамиды, у которых двугранные углы при основании равны, или (что то же самое) все боковые грани составляют равные углы с плоскостью основания. В таких пирамидах высота пересекает основание в центре вписанной в него окружности, а высоты всех боковых граней равны. Биссектрисы линейных углов двугранных углов при основании пирамиды пересекают высоту пирамиды в одной точке, являющейся центром вписанного шара. Шар касается основания пирамиды в центре вписанной в него окружности, а боковых граней - в точках, принадлежащих высотам боковых граней (см. слайд 2).
Теорема 2. Если около пирамиды описан шар, то его центр является точкой пересечения всех плоскостей, проведенных через середины ребер пирамиды перпендикулярно к этим ребрам.
Теорема 3.Для того, чтобы около пирамиды можно было описать шар, необходимо и достаточно, чтобы около ее основания можно было описать окружность.
Особое внимание следует уделить пирамидам, у которых все боковые ребра равны, или (что то же самое) одинаково наклонены к плоскости основания. У таких пирамид высота пересекает основание в центре окружности, описанной около него, и центр шара, описанного около пирамиды, лежит на высоте пирамиды или на ее продолжении за плоскость основания.
При решении задач, в условии которых дан шар, описанный около пирамиды или конуса, целесообразно высоту пирамиды (конуса) продолжить до пересечения с шаровой поверхностью, получить прямоугольный треугольник, в котором диаметр шара будет гипотенузой, а боковое ребро (или образующая конуса) - одним из катетов, и воспользоваться теоремой планиметрии о свойстве высоты прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла на гипотенузу.
многогранник шар площадь
Формулы для расчета площади поверхности и объема
|
d |
Sбок |
Sосн |
Sпов |
V |
||
|
Цилиндр |
- |
2рRh |
рR2 |
Sбок + 2Sосн |
рR2h |
|
|
Конус |
рRd |
рR2 |
Sбок + Sосн |
|||
|
Шар |
- |
- |
- |
4рR2 |
R - радиус цилиндра, конуса, шара.
h - высота цилиндра, конуса.
d - образующая конуса.
Sбок - площадь боковой поверхности.
Sосн - площадь основания.
Sпов - площадь полной поверхности.
V - объем.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Понятие и отличительные особенности численных методов решения, условия и возможности их применения. Оптимизация функции одной переменной, используемые методы и закономерности их комбинации, сравнение эффективности. Сущность и разновидности интерполяции.
реферат [273,3 K], добавлен 29.06.2015Использование геометрических форм и линий в практической деятельности человека. Геометрия у древних людей. Природные творения в виде геометрических фигур, их распространение в животном мире. Геометрические комбинации в архитектуре, сфере транспорта, быту.
реферат [21,5 K], добавлен 06.09.2012Обзор и характеристика различных методов построения сечений многогранников, определение их сильных и слабых сторон. Метод вспомогательных сечений как универсальный способ построения сечений многогранников. Примеры решения задач по теме исследования.
презентация [364,3 K], добавлен 19.01.2014Методика нахождения различных решений геометрических задач на построение. Выбор и применение методов геометрических преобразований: параллельного переноса, симметрии, поворота (вращения), подобия, инверсии в зависимости от формы и свойств базовой фигуры.
курсовая работа [6,4 M], добавлен 13.08.2011Понятия максимума и минимума. Методы решения задач на нахождение наибольших и наименьших величин (без использования дифференцирования), применение их для решения геометрических задач. Использование замечательных неравенств. Элементарный метод решения.
реферат [933,5 K], добавлен 10.08.2014Фигуры вращения правильных многогранников, использование их теории. Виды поверхностей в фигурах вращения. Теорема о пересечении гиперболической и цилиндрической поверхностей вращения. Классификация задач на вращение многогранников и вычисление объемов.
реферат [1,1 M], добавлен 25.09.2009Методы решения задач с экономическим содержанием повышенного уровня сложности. Выявление структуры экономических задач на проценты. Вывод формул для решения задач на равные размеры выплат. Решение задач на сокращение остатка на одну долю от целого.
курсовая работа [488,3 K], добавлен 22.05.2022Истоки, понятие аналитической геометрии. Метод координат на плоскости. Аффинная и Декартова система координат на плоскости, прямая и окружность. Аналитическое задание геометрических фигур. Применение аналитического метода к решению планиметрических задач.
курсовая работа [1,2 M], добавлен 12.05.2009Проектирование методов математического моделирования и оптимизации проектных решений. Использование кусочной интерполяции при решении задач строительства автомобильных дорог. Методы линейного программирования. Решение специальных транспортных задач.
методичка [690,6 K], добавлен 26.01.2015Исследование понятия симметрии, соразмерности, пропорциональности и одинаковости в расположении частей. Характеристика симметрических свойств геометрических фигур. Описания роли симметрии в архитектуре, природе и технике, в решении логических задач.
презентация [1001,7 K], добавлен 06.12.2011Повторение и обобщение типов задач, в том числе фигур сложной геометрической конфигурации. Классификация задач, систематизация способов решения. Развитие коммуникативных компетенций (умения работать в группе). Развитие интеллектуальной деятельности.
презентация [1,9 M], добавлен 29.05.2019Основные понятия математического моделирования, характеристика этапов создания моделей задач планирования производства и транспортных задач; аналитический и программный подходы к их решению. Симплекс-метод решения задач линейного программирования.
курсовая работа [2,2 M], добавлен 11.12.2011Определение цилиндра (кругового прямого и наклонного), прямого и усечённого конуса, шара и сферы. Основные формулы по расчету геометрических размеров фигур вращения: радиуса, площади боковой и полной поверхности. Объем шара по Архимеду. Уравнение сферы.
презентация [3,4 M], добавлен 18.04.2013Рассмотрение различных примеров комбинаторных задач в математике. Описание способов перебора возможных вариантов. Использование комбинаторного правила умножения. Составление дерева вариантов. Перестановки, сочетания, размещения как простейшие комбинации.
презентация [291,3 K], добавлен 17.10.2015Общая схема применения определенного интеграла, правила и принципы реализации данного процесса. Вычисления координат центра тяжести плоских фигур. Решения задач на вычисление силы взаимодействия двух материальных тел, вращающихся вокруг неподвижной оси.
методичка [195,5 K], добавлен 15.06.2015Решение задач по факультативному курсу комбинаторики, подготовка сообщений и докладов. Комбинаторика как ветвь математики, изучающая комбинации и перестановки предметов. Основные правила суммы и правило произведения. Поиск числа сочетаний с повторениями.
дипломная работа [508,5 K], добавлен 26.01.2011Цепочка теорем, которая охватывает весь курс геометрии. Средняя линия фигур как отрезок, соединяющий середины двух сторон данной фигуры. Свойства средних линий. Построение различных планиметрических и стереометрических фигур, рациональное решение задач.
научная работа [2,0 M], добавлен 29.01.2010Структура текстовой задачи. Условия и требования задач и отношения между ними. Методы и способы решения задач. Основные этапы решения задач. Поиск и составление плана решения. Осуществление плана решения. Моделирование в процессе решения задачи.
презентация [247,7 K], добавлен 20.02.2015Развитие вычислительных умений и навыков при решении задач. Закрепление формул для вычисления площадей геометрических фигур. Доказательства условий равенства пары треугольников. Определение соотношения прямых, заключающих равные углы у треугольников.
презентация [214,6 K], добавлен 04.12.2014Знакомство со средством Microsoft Excel, внутренняя структура и элементы данной программы, ее функциональные особенности и возможности, особенности использования в решении математических задач. Основы теории вероятностей, ее принципы и главные задачи.
контрольная работа [1,5 M], добавлен 16.11.2013
