Конечные цепные дроби

Размещено на http://www.allbest.ru/

Департамент образования города Москвы

Самарский филиал Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования города Москвы

«Московский городской педагогический университет»

Факультет информатики Кафедра высшей математики и информатики

Электронное сопровождение курса «Компьютерные сети, Интернет и мультимедиа технологии»

Контрольная работа

«Конечные цепные дроби»

Студента С.Ю. Антонова

Проверил:к.ф.-м.н. Г.А.Клековкин

Самара, 2010



Содержание

Введение

1. Конечные цепные дроби

1.1 Представление рациональных чисел конечными цепными дробями

1.2 Подходящие дроби и их свойства

1.3 Основные свойства подходящих дробей

Заключение

Используемая литература



Введение

Целью моей работы является исследование конечных цепных дробей. В ней я попытаюсь раскрыть представление рациональных чисел конечными цепными дробями и свойства подходящих дробей.

Применялись эти дроби в первую очередь для рационального приближения вещественных чисел; например, Христиан Гюйгенс использовал их для проектирования зубчатых колёс своего планетария. Гюйгенс уже знал, что подходящие дроби всегда несократимы и что они представляют наилучшее рациональное приближение.

Цепные дроби были введены в 1572 году итальянским математиком Бомбелли. Современное обозначение непрерывных дробей встречается у итальянского математика Катальди в 1613 году. Величайший математик XVIII века Леонардо Эйлер первый изложил теорию цепных дробей, поставил вопрос об их использовании для решения дифференциальных уравнений, применил их к разложению функций, представлению бесконечных произведений, дал важное их обобщение.

Работы Эйлера по теории цепных дробей были продолжены М. Софроновым (1729-1760), академиком В.М. Висковатым (1779-1819), Д. Бернулли (1700-1782) и др. Многие важные результаты этой теории принадлежат французскому математику Лагранжу, который нашел метод приближенного решения с помощью цепных дробей дифференциальных уравнений.



1. Конечные цепные дроби

1.1 Представление рациональных чисел конечными цепными дробями

Пусть t -- рациональное число: t = b > 0. Число t можно представить в виде дроби особого вида. Это представление тесно связано с алгоритмом Евклида. Применим алгоритм Евклида к числам а и b; последовательно получим:

a = b+

b =+

=+ (1)

=

Из второго равенства получаем, что

= (2)

Подставляя это выражение в первое равенство (1), получим:

(3)

Но из третьего равенства (1) следует, что



=

Подставляя это выражение в (3), получим:

=

В конце концов получаем:

= (4)

Сокращенно дробь вида (4) будем обозначать:

.Представление (4) рационального числа называется конечной цепной или непрерывной дробью.

Числа ,, ..., называются неполными частными числа ; все -- целые, а начиная с -- натуральные.

Если дробь положительная, то - натуральное при ab ( тогда при ab ( в этом случае .

Если дробь то её можно представить в виде - l + l, , - натуральные; - правильная положительная дробь) .

Тогда =, .

Здесь целое ;

Если = с - целое, то с = .

Доказана следующая теорема:

Теорема 1.Всякое рациональное число может быть представлено в виде конечной цепной дроби.

Примеры.

1.

2. = 0 + =

3.

4. +

5. =

6. 9 = .

7. -19 = .

Если допустить что последнее неполное частное может равняться 1, то для всякого рационального числа можно получить два представления в виде конечной цепной дроби.

Пример.

2+

Теорема 2. Представление рационального числа в виде непрерывной дроби, такой, что последнее неполное частное отлично от 1, единственно.

Доказательство (от противного). Пусть возможны два представления числа в виде конечной цепной дроби:

; ; (5)

Тогда =

Рассмотрим второе слагаемое левой части равенства, обозначив его через с:

Здесь все -- натуральные. Если n > 1, то 0 < с < 1.

Если n = 1, > 1, то и в этом случае 0 < с < 1. Если n = 1 и = 1, то с = 1. Поскольку этот случай исключается (по условию теоремы), то 0 < с < 1 всегда, т.

е. с -- правильная дробь.

Тогда = где, 0 < с < 1.

Аналогично:

Это значит, что и -- целые части одного и того же числа .

Но так как целая часть числа определяется однозначно, то = b₀ .

После вычитания и из обеих частей (5) получим равные

дроби с равными числителями, но тогда и знаменатели этих дробей

равны, т. е.

Рассуждая аналогично, получим последовательно: и т. д. Далее возможны три случая:

1) n = r; 2) n < r; 3) n > r.

1-й случай, n = r. Тогда получим: =, =. Теорема доказана.

2-й случай, n < r. Тогда получим:

-- целое число. Правая часть равенства (6) может быть целым лишь при r = n + 1 и = 1, но это противоречит условию. Значит, случай n < r невозможен.

Аналогично доказывается невозможность и случая n > r. Остается первый случай: n = r; =. Теорема доказана.

Теорема 3. Всякая конечная цепная дробь есть рациональное число.

Доказательство. Пусть дана цепная дробь (4). Если произвести указанные арифметические действия над целыми числами 1 и, ... , то получим рациональное число.

рациональный цепной дробь математика

1.2 Подходящие дроби и их свойства

Дроби

= , ,+

и т. д. называются подходящими дробями цепной дроби (4) или соответствующего ей числа .

Очевидно, что последняя подходящая дробь есть число .

Каждая подходящая дробь есть некоторое рациональное число. Поставим задачу найти общую формулу для вычисления подходящей дроби любого порядка.

S - я подходящая дробь получается путем замены .

Подходящие дроби последовательно можно представить в виде:

Откуда

Предположим, что для s-й подходящей дроби имеет место формула:

и докажем справедливость этой формулы для подходящей дроби .Так как получается из на , то получим:

=

На основании принципа математической индукции формула (1) справедлива для любого s.

Выпишем рекуррентные формулы для вычисления числителей и знаменателей подходящих дробей (закон составления подходящих дробей):

,

Вычисления удобно проводить по схеме:

s		0	1	2	s	S+1	nn
	11					……
	00					……

Для получения нужно стоящее над ним число умножишь на стоящее слева от клетки для число и к результату прибавить стоящее слева от P_s число . Аналогично вычисляется и .

Правильность проделанных вычислений проверяется совпадением последних вычисленных выражений для и с числителем a и знаменателем b дроби (если несократима).

Пример.

Разложим в непрерывную дробь число и найдем все подходящие дроби разложения.

С помощью алгоритма Евклида получаем:

Подходящие дроби находим по схеме:

s		0	1	2	3	4
		2	1	3	4	2
	1	2	3	11	47	105
	0	1	1	4	17	38

Последовательные подходящие дроби:

1.3 Основные свойства подходящих дробей

1) Числители и знаменатели подходящих дробей -- целые числа; знаменатели, кроме того, числа натуральные и образуют возрастающую последовательность.

Доказательство. Первое утверждение очевидно, так как-- числа целые.

Докажем второе. Действительно,,а при s2

(1)

Значит, .

2) Числители и знаменатели двух соседних подходящих дробей связаны соотношением:



^s (2)

Доказательство. Используем метод математической индукции.

а) При s = 1имеем:

и ¹, т.е. при s = 1 соотношение (2) имеет место.

б) Предположим верность формулы (2) для s = r:

^r

и докажем верность её для s = r + 1.

- =

Итак,

Тогда согласно принципу математической индукции формула (2) верна для любого натурального s.

3) Подходящие дроби несократимы, т. е. () = 1.

Доказательство. Действительно, согласно свойству 2 подходящих дробей имеем:

^s

Если допустить, что , т. е. что= d, то из равенства (1) п. 2 следует, что (-1)^s делится на d, что невозможно. Следовательно,

“Если рациональное число разложить в цепную дробь, то последняя подходящая дробь в этом разложении несократима и равна . Таким образом, разложение в цепную дробь позволяет сокращать дроби”.

4) Подходящие дроби чётного порядка образуют возрастающую, а нечётного - убывающую последовательность.

Доказательство.

Пользуясь формулами (1) и (2), получим:

Итак, .

Если r- чётное, то , или , т. е. подходящие дроби чётного порядка образуют возрастающую последовательность.

Если r - нечётное, то

т.е. подходящие дроби нечетного порядка образуют убывающую последовательность.

5) Каждая подходящая дробь четного порядка меньше подходящих дробей .

Доказательство. Используя свойство 2 подходящих дробей, находим:

Заменяя r на r+1, получим:

Если r - чётно, то (-1)^r+1 = ^r+2 =1. Значит, при чётном r

Это и показывает, что

Следствие. Каждая подходящая дробь нечетного порядка больше подходящих дробей

6) Любая подходящая дробь четного порядка меньше любой подходящей дроби нечетного порядка.

Доказательство. На основании четвертого и пятого свойства при l получаем:

При l получаем:

Следовательно, при любых соотношениях между l и r выполняется неравенство:

которое доказывает свойство 6.

7) Если t -- положительное рациональное число, то при его разложении в цепную дробь четные подходящие дроби -- приближения по недостатку, а нечетные -- по избытку (за исключением последней дроби, совпадающей с t).

Доказательство. Если последняя подходящая дробь, совпадающая с числом t, четного порядка, то она (по свойству 4) больше остальных подходящих дробей четного порядка, которые дают, таким образом, приближения t по недостатку. Вместе с тем число t как подходящая дробь четного порядка меньше любой подходящей дроби нечетного порядка (по свойству 6), а потому подходящие дроби нечетного порядка дают для t приближение с избытком. Аналогично рассматривается случай, когда последняя подходящая дробь, совпадающая с t, является дробью нечетного порядка.

8) Если t -- положительное рациональное число и - подходящая дробь r -го порядка в разложении t в непрерывную дробь, то



Доказательство. Так как на основании свойства 7 число t заключено между любыми двумя своими соседними подходящими дробями, то

Но

Согласно доказательству 5, из (3) и (5) следует:

Следовательно,

Заменим число такой подходящей дробью, чтобы полученная при этом погрешность не превышала 0,001.

Разлагаем данное число в цепную дробь:

Получим:

Находим подходящие дроби:

s		0	1	2	3	4
		2	1	19	1	3
	1	2	3	59	62	245
	0	1	1	20	21	83

Следовательно, дробь не подходит.

Искомая подходящая дробь = .



Заключение

Данная работа показывает значение цепных дробей в математике.

В ней я исследовал конечные цепные дроби, раскрыл представление рациональных чисел конечными цепными дробями и свойства подходящих дробей.

Бесконечные цепные дроби могут быть использованы для решения алгебраических уравнений, для быстрого вычисления значений отдельных функций.

В настоящее время цепные дроби находят все большее применение в вычислительной технике, ибо позволяют строить эффективные алгоритмы для решения ряда задач на ЭВМ.



Литература

1. Казачёк Н.А, Перлатов Г. Н, Виленкин Н.Я, Бородин А.И. Алгебра и теория чисел. М, «Просвещение», 1984.

2. Хинчин А.Я. Цепные дроби. М, «Просвещение», 1978.

3. Е.С. Ляпин, А.Е. Евсеев. Алгебра и теория чисел. М, «Просвещение», 74.

Размещено на Allbest.ru

...