Вивчення інтерполяції
Характеристика процесу побудови інтерполяційного полінома Ньютона. Аналіз розв’язання системи алгебричних рівнянь. Поняття лінійної та алгебричної інтерполяції. Поняття, побудова та реалізація алгоритму при розрахунку наближеного значення функції.
| Рубрика | Математика |
| Вид | реферат |
| Язык | украинский |
| Дата добавления | 29.05.2013 |
| Размер файла | 150,9 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Постановка задачі
Побудувати інтерполяційний поліном Ньютона Pn(x) у формі Ньютона для функції:
у(x)=k1f1(x)+k2f2(x)+C
Відповідно до шифру:
f1(x)= 2*(x^2)/3-8/(x^2)+8
k1 = 4.0 k2 = -8.0 k3 = 2/3
Tоді функція у(х) запишеться у вигляді:
у(х) = + 8
Знайти наближене значення функції у точках:
о=0.8267,
х=0.55.
За допомогою ІПН (1.1), побудованого за її відомими трьома значеннями у точках:
х0 = 0.32,
х1 = 0.7,
х2 = 1.08.
Оцінити похибку інтерполяції в точці о за формулою. Окрім того, знайти:
у(о)-Р2(о)
- і порівняти з:
|r2(о)|
Реферат
Задача наближення функцій взагалі полягає у заміні аналітично або табличне заданої функції y(x) зручною для обчислень апроксимувальною функцією ?(х), яка б для всіх необхідних нам значень аргументу задовольняла співвідношення у(х)??(х).
Цієї мети досягають уведенням вектора вільних параметрів (невідомих коефіцієнтів) (С=С1,…,Сn) в ?(х) і його визначенням в прийнятої умови близькості функції у(х) та ?(х). Звичайно, вважається, що у випадку табульованої функції у(х) її графік є плавна крива.
Інтерполяція:
Якщо за умову близькості ?(х) і у(х) взяти їх збіжність в n точках (вузлах інтерполяції):
хі (і = )
То С визначають як результат розв'язання такої системи алгебричних рівнянь (САР):
?(хі;С) = у(хі) (і=)
Це так звана лагранжова інтерполяція.
Якщо компоненти вектора:
Сі (і=)
Входять до виразу ?(хі;С) лінійно, тоді інтерполяцію називають лінійною, у протилежному випадку - нелінійною.
Лінійна інтерполяція:
Задача суттєво спрощується, якщо ?(х) має вигляд узагальненого полінома:
?(х;С) =
Де: ?k(х) - система лінійно незалежних функцій.
Підставивши (2) до (1) , одержимо для визначення С таку систему лінійних алгебричних рівнянь(СЛАР):
= у(хі) (і=)
Для єдиності розв'язку задачі інтерполяції визначник цієї СЛАР (3) не повинен обертатись в нуль(природно, серед вузлів інтерполяції не повинно бути збіжних).
Найвивченішою та зручною для обчислень системою функцій є алгебричні поліноми(АП):
(і=).
Причому для зручності вузли інтерполяції нумерують від 0 до n.
Про застосування та збіжність інтерполяції:
Окрім основної задачі інтерполяції (відновлення значень функції за відомими) її використовують для тестування таблиць на наявність несистематичних похибок (друга ПР веде тоді себе хаотично), субтабулювання (зменшення кроку існуючої таблиці) та оберненої інтерполяції (знaходження значення аргументу для заданого чи відомого значення функції). Похибку алгебричної інтерполяції можна зменшити двома шляхами - зберегти степінь ІП,а крок зменшити, або зберегти крок, збільшивши кількість використовуваних вузлів. У практичних розрахунках збільшення n небажане (бо веде до збільшення похибки), тому для підвищення точності інтерполяції обмежуються 3 - 5 вузлами (точніше, вільними параметрами)і зменшують крок таблиці, не змінюючи n.
Вступ
Необхідність застосування наближення функції виникає в механіці при обробці експериментальних даних або числового розв'язання задачі, тобто для відновлення значень деякої функції в точках, цікавих для нас, за відомими її значеннями.
1. Інтерполяційний поліном Ньютона
Для побудови ІПН вводять так звані поділені різниці (ПР):
Оскільки ПР мають вимірність похідних, то інколи їх використовують як наближені значення останніх. Якщо побудувати ПР АП n-го степеня, можна, скориставшись умовами збiжностi IП з заданою функцією та її ПР у вузлах інтерполяції, одержати такий вираз для ІПН:
y(x) ? y(x0) +
Наведений тут ІПН використовується у випадку таблиць зі змінним кроком. Похибку інтерполяції в точці х оцінюють за формулою:
Де:
Мn+1 = max|y(n+1)(x)|
- на відрізку [a,b].
Для обчислення ПР складають таблицю ПР функції y(x).
Потім її наближені значення знаходять за формулою.
2 Опис обчислювального алгоритму
При реалізації алгоритму знаходження ІПН за формулою для зменшення необхідної пам'яті розміщуємо значення ПР на місці попередньо знайдених значень вихідної функції y(x).
Окрім того, витрати машинного часу зменшуються, якщо ІПН знаходити за схемою Горнера. Оскільки значення ІПН обчислюють неодноразово, то цей процес оформлено у вигляді підпрограми-функції.
3 Обговорення результатів
Із порівняння наведених у лістингу точних і наближених значень функції y(x) у вузлах інтерполяції видно, що вони не відрізняються значущими цифрами.
|y()-P2()|= |- 3.2499897 - 1.1012021 |= 4.3511918
|r2()|==3.061
Тобто умова:
|r2()||y()-P2()|
- виконується.
Висновки
Отже, користуватися ІПН дуже зручно , адже при додаванні нового вузла всі обчислені раніше члени залишаються без зміни, а у формулу додається лише один доданок.
Під час розрахунку наближеного значення функції y(x) було отримано деяку похибку.
Але вона не перевищила допустиму:
|r2()|
- що свідчить про точність знайдених значень.
Малюнок - Графічний вигляд:
рівняння алгебричний інтерполяція
Малюнок - Лістинг програми:
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Проблеми глобальної та локальної інтерполяції за Лагранжем і Ньютоном; коливна поведінка інтерполяційного многочлена; функції Рунге. Сплайн – група пов'язаних кубічних многочленів з неперервною першою і другою похідною, переваги сплайн-інтерполяції.
презентация [1,3 M], добавлен 06.02.2014Задачі обчислювальної математики. Алгоритми розв'язування багатьох стандартних задач обчислювальної математики. Обчислення інтерполяційного полінома Лагранжа для заданої функції. Виконання обчислення першої похідної на основі другої формули Ньютона.
контрольная работа [67,1 K], добавлен 27.03.2012Чисельні методи розв’язання систем нелінійних рівнянь: лінійні і нелінійні рівняння, метод простих ітерацій, метод Ньютона. Практичне використання методів та особливості розв’язання систем нелінійних рівнянь у пакеті Mathcad, Excel та на мові С++.
курсовая работа [2,0 M], добавлен 30.11.2010Огляд складання програми на мові програмування С++ для обчислення чотирьох лінійної системи рівнянь матричним методом. Обчислення алгебраїчних доповнень до елементів матриці. Аналіз ітераційних методів, заснованих на використанні повторюваного процесу.
практическая работа [422,7 K], добавлен 28.05.2012Аналіз найвідоміших методів розв’язування звичайних диференціальних рівнянь і їх систем, користуючись рекомендованою літературою. Розробка відповідної схеми алгоритму. Розв’язання системи звичайних диференціальних рівнянь в за допомогою MathCAD.
лабораторная работа [412,4 K], добавлен 21.10.2014Розв’язання систем лінійних рівнянь методом Жордана-Гауса. Еквівалентні перетворення системи, їх виконання як елемент методів розв’язування системи рівнянь. Базисні та вільні змінні. Лінійна та фундаментальна комбінації розв’язків, таблиці коефіцієнтів.
контрольная работа [170,2 K], добавлен 16.05.2010Визначення системи лінійних рівнянь та її розв’язання. Поняття рангу матриці, правило Крамера та види перетворень з матрицею. Способи знайдення оберненої матриці А–1 до невиродженої матриці А. Контрольні запитання та приклади розв’язування задач.
задача [73,5 K], добавлен 25.03.2011Поняття про алгебраїчний метод у геометрії. Побудова коренів квадратного рівняння та формул. Побудова деяких однорідних виразів циркулем і лінійкою. Ознака можливості побудови відрізка. Розв’язування задач на побудову. Поняття про однорідні функції.
курсовая работа [920,5 K], добавлен 17.03.2011Застосування систем рівнянь хемотаксису в математичній біології. Виведення системи визначальних рівнянь, розв'язання отриманої системи визначальних рівнянь (симетрій Лі). Побудова анзаців максимальних алгебр інваріантності математичної моделі хемотаксису.
дипломная работа [1,9 M], добавлен 09.09.2012Запис системи рівнянь та їх розв'язання за допомогою методів оберненої матриці та Гауса. Поняття вектора-стовпця з невідомих та вільних членів. Пошук оберненої матриці до даної. Послідовне виключення невідомих за допомогою елементарних перетворень.
контрольная работа [115,2 K], добавлен 16.07.2010Прийоми розв’язання задач в першому і другому степені на Далекому Сході та Греції. Досягнення арабських математиків в області алгебраїчних рівнянь. Розв'язання похідного кубічного рівняння. Найвидатніші теореми про радикали вищих степенів, їх розв’язання.
курсовая работа [536,1 K], добавлен 23.02.2014Системи лінійних алгебраїчних рівнянь, головні означення. Коротка характеристика головних особливостей матричного способу, методу Жордано-Гаусса. Формули Крамера, теорема Кронекера-Капеллі. Практичний приклад розв’язання однорідної системи рівнянь.
курсовая работа [690,9 K], добавлен 25.04.2013Вивчення методів розв'язання лінійної крайової задачі комбінуванням двох задач Коші. Переваги та недоліки інших методів: прицілювання, колокацій, Гальоркіна, найменших квадратів та ін. Пошук єдиного розв'язку звичайного диференціального рівняння.
курсовая работа [419,2 K], добавлен 29.08.2010Історія створення теорії алгебраїчних рівнянь. Сутність системи лінійних алгебраїчних рівнянь в лінійній алгебрі. Повна характеристика методів розв'язання рівнянь: точні, ітераційні та ймовірнісні. Особливості теорем Гауса-Жордана та Габріеля Крамера.
реферат [543,7 K], добавлен 23.04.2015Власні числа і побудова фундаментальної системи рішень. Однорідна лінійна система диференціальних рівнянь. Побудова фундаментальної матриці рішень методом Ейлера. Знаходження наближеного рішення у вигляді матричного ряду. Рішення неоднорідної системи.
курсовая работа [378,9 K], добавлен 26.12.2010Схема класифікації та методи розв'язування рівнянь. Метод половинного ділення. Алгоритм. Метод хорд, Ньютона, їх проблеми. Граф-схема алгоритму Ньютона. Метод простої ітерації. Питання збіжності методу простої ітерації. Теорема про стискаючі відображення.
презентация [310,1 K], добавлен 06.02.2014Побудова графіків реалізацій вхідного та вихідного процесів, розрахунок функцій розподілу, математичного сподівання, кореляційної функції. Поняття та принципи вивчення одномірної функції розподілу відгуку, порядок конструювання математичної моделі.
контрольная работа [316,2 K], добавлен 08.11.2014Визначення поняття "рівняння з параметрами", розгляд принципів рішення даних рівнянь на загальних випадках. Особливості методів розв'язання рівнянь із параметрами, зв'язаних із властивостями показовою, логарифмічною й тригонометричною функціями.
реферат [68,3 K], добавлен 15.02.2011Характеристика та поняття потрійного інтеграла, умови його існування та основні властивості. Особливості схеми побудови та обчислення потрійного інтегралу, його застосування для розв’язання рівнянь. Правило заміни змінних в потрійному інтегралі.
контрольная работа [400,3 K], добавлен 23.03.2011Сумісність лінійних алгебраїчних рівнянь. Найвищий порядок відмінних від нуля мінорів матриці. Детермінант квадратної матриці. Фундаментальна система розв’язків та загальний розв'язок системи лінійних однорідних рівнянь. Приклади розв’язання завдань.
курсовая работа [86,0 K], добавлен 15.09.2008
