Численный метод Рунге-Кутты

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Национальный исследовательский Томский политехнический университет»

Энергетический институт

Кафедра электропривода и электрооборудования

РЕФЕРАТ

«Численный метод Рунге-Кутты»

Дисциплина

Математическое моделирование электромеханических систем

Студент гр.5А0С3 А.Е. Уткин

Руководитель Л.К. Бурулько

Томск-2012 г.



Содержание

Введение

1. Приведение к нормальной форме Коши

2. Метод Рунге - Кутта второго порядка

3.Классический метод Рунге-Кутты четвёртого порядка

4.Пример решения задачи методом Рунге-Кутты

5. Анализ решения задач методами Рунге-Кутта 2-го и 4-го порядков

Вывод

Литература



Введение

Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) широко используются для математического моделирования процессов и явлений в различных областях науки и техники. Переходные процессы в радиотехнике, кинетика химических реакций, динамика биологических популяций, движение космических объектов, модели экономического развития исследуются с помощью ОДУ.

В дифференциальное уравнение n-го порядка в качестве неизвестных величин входят функция y(x) и ее первые n производных по аргументу x

( x, y, y¹, ... y⁽ⁿ⁾)=0. 1.1

Из теории ОДУ известно, что уравнение (1.1) эквивалентно системе n уравнений первого порядка

_k(x, y_1, y₁' ,y₂ ,y₂', ... ,y_n ,y_n')=0. 1.2

где k=1, ... , n.

Уравнение (1.1) и эквивалентная ему система (1.2) имеют бесконечное множество решений. Единственные решения выделяют с помощью дополнительных условий, которым должны удовлетворять искомые решения. В зависимости от вида таких условий рассматривают три типа задач, для которых доказано существование и единственность решений.

Первый тип - это задачи Коши, или задачи с начальными условиями. Для таких задач кроме исходного уравнения (1.1) в некоторой точке xo должны быть заданы начальные условия, т.е. значения функции y(x) и ее производных



y(x₀)=y₀' , y'(x₀)=y₁₀, ... ,y^(n-1)(x₀)=y_n-1,₀.

Для системы ОДУ типа (1.2) начальные условия задаются в виде

y₁(x₀)=y₁₀ ,y₂(x₀)=y₂₀, ... , y_n(x₀)=y_n0. 1.3

численный дифференциальный рунге кутт

Ко второму типу задач относятся так называемые граничные, или краевые задачи, в которых дополнительные условия задаются в виде функциональных соотношений между искомыми решениями. Количество условий должно совпадать с порядком n уравнения или системы. Если решение задачи определяется в интервале x є x₀ ,x_k, то такие условия могут быть заданы как на границах, так и внутри интервала. Минимальный порядок ОДУ, для которых может быть сформулирована граничная задача, равен двум. Третий тип задач дляОДУ - это задачи на собственные значения. Такие задачи отличаются тем, что кроме искомых функций y(x) и их производных в уравнения входят дополнительно m неизвестных параметров 12хm которые называются собственными значениями Для единственности решения на интервале [x0xk] необходимо задать m+n граничных условий В качестве примера можно назвать задачи определения собственных частот коэффициентов диссипации структуры электромагнитных полей и механических напряжений в колебательных системах задачи нахождения фазовых коэффициентовкоэффициентов затухания распределения напряженностей полей волновых процессов и тд К численному решению ОДУ приходится обращаться когда не удается построить аналитическое решение задачи через известные функции Хотя для некоторых задач численные методы оказываются более эффективными даже при наличии аналитических решений Большинство методов решения ОДУ основано на задаче Коши алгоритмы и программы для которой рассматриваются в дальнейшем

1. Приведение к нормальной форме Коши

Нормальной формой Коши принято называть общую форму записи ОДУ, то есть представление в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка:

(2.1)

ДУ второго порядка, заданное согласно варианту №3 имеет вид:

(2.2)

Задание предполагает нахождение решения на интервале при следующих начальных условиях:

(2.3)

Для решения ДУ его просто необходимо представить согласно нормальной формы Коши. Для этого руководствуемся следующими обозначениями:

(2.4)

В итоге имеется система ДУ первого порядка вида:



(2.5)

Произведя все вышеописанные манипуляции над заданным в варианте уравнением, получим следующую систему:

(2.6)

Система (2.6) есть решение уравнения (2.2).

2. Метод Рунге-Кутты второго порядка

В методах Рунге-Кутты интеграл заменяется линейной комбинацией значений подынтегральной функции, вычисленных при разных значениях аргумента:

(3.1) (3.2)

Метод Рунге-Кутты представим в виде:

Из вышеуказанных общих формул (3.2) получают формулы метода Рунге-Кутты 2-ого порядка m=2;



(3.3)

Для определения метода необходимо найти значения вещественных коэффициентов: . Для этого интеграл, заменяемый линейной комбинацией значений подынтегральной функции, вычисленных при разных значениях аргумента, можно представить как:

(3.4)

А его, в свою очередь, можно представить рядом Тейлора:

(3.5)

где - сумма элементов ряда Тейлора, степень которых не ниже 3.

Осталось найти неизвестные значения

(3.6)

В результате таких бесхитростных манипуляций получаем искомый ряд Тейлора:

(3.7)



Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях в выражениях (3.5) и (3.7). В итоге получим систему уравнений вида:

(3.8)

Из свойств системы (3.8) следует отметить, что она не обладает единственным решением. При значение , значение , а

Подставив полученные коэффициенты в соотношение (3.2), получаем следующие формулы метода Рунге-Кутты 2-ого порядка:

(3.10)

3.Классический метод Рунге-Кутты четвёртого порядка

Классический метод Рунге-Кутта 4-го порядка описывается следующей системой пяти равенств:

(4.1)



Строго говоря, существует не один, а группа методов Рунге-Кутта, отличающихся друг от друга порядком, т.е. количеством параметров . В данном случае мы имеем метод 4-го порядка, который является одним из наиболее применяемых на практике, так как обеспечивает высокую точность и в то же время отличается сравнительной простотой. Поэтому в большинстве случаев он упоминается в литературе просто как «метод Рунге-Кутта» без указания его порядка.

4. Пример решения задачи методом Рунге-Кутты

Вычислить методом Рунге-Кутта интеграл дифференциального уравнения при начальном условии на отрезке [0, 0.5] с шагом интегрирования Р е ш е н и е . Вычислим . Для этого сначала последовательно вычисляем :

Теперь получим

и, следовательно,



Аналогично вычисляются последующие приближения. Результаты вычислений сведены в таблицу:

Результаты численного интегрирования дифференциального уравнения (1) методом Рунге-Кутта четвертого порядка

Таблица (5.1)

	x	y	k = 0.1 ( x + y )	Дy
0	1	1	1	0.1
	0.05	1.05	1.1	0.22
	0.05	1.055	1.105	0.221
	0.1	1.1105	1.210	0.1210
				1/60.6620=0.1103
1	0.1	1.1103	1.210	0.1210
	0.15	1.1708	1.321	0.2642
	0.15	1.1763	1.326	0.2652
	0.2	1.2429	1.443	0.1443
				1/60.7947=0.1324
2	0.2	1.2427	1.443	0.1443
	0.25	1.3149	1.565	0.3130
	0.25	1.3209	1.571	0.3142
	0.3	1.3998	1.700	0.1700
				1/60.9415=0.1569
3	0.3	1.3996	1.	0.1700
	0.35	1.4846	1.83	0.3670
	0.35	1.4904		0.3680
	0.4	1.5836		0.1984
				1/61.1034=0.1840
4	0.4	1.5836	1.98	0.1984
	0.45	1.6828	2.133	0.4266
	0.45	1.6902	2.140	0.4280
	0.5	1.7976	2.298	0.2298
				1/61.2828=0.2138
5	0.5	1.7974



Итак, у (0.5) =1.7974.

Для сравнения точное решение дифференциального уравнения (1):

откуда Таким образом, точное и численное решения уравнения (1) совпали до пятого десятичного знака. Метод Рунге-Кутта также широко применяется для численного решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

5. Анализ решения задач методами Рунге-Кутта 2-го и 4-го порядков

Пример. Решить уравнение dy/dx = -y, y(0) = 1 методом Рунге-Кутты.

Поскольку правая часть дифференциального уравнения имеет вид: f(x, y) = -y, схема метода приб = 0.5 представляется следующим образом:

Построим последовательность значений искомой функции:



…

Результаты получаемого численного решения для значения аргумента x = 10 при различных шагах интегрирования приведены в табл. 6.1. Три верные значащие цифры получены для шага h = 0.01

Таблица 6.1. Результаты численного решения y_n методом Рунге-Кутты второго порядка дифференциального уравнения y' = -y с начальным условием y(0) = 1

Величина шага h 0.5 0.25 0.1 0.01 0.001 0.0001 Число шагов n 20 40 100 1000 10 000 100 000 yn · 104 0.827181 0.514756 0.462229 0.454076 0.454000 0.453999

Оценим погрешность аппроксимации уравнения (1) разностной схемой метода Рунге-Кутты. Подставляем точное решение в разностный аналог исходного дифференциального уравнения и вычисляем невязку:

Подставим разложения функций



в полученное выражение:

Учитывая уравнение (1), а также выражение для производной

окончательно получаем, что ш_k = П(h²), то есть метод Рунге-Кутты, независимо от значения параметраб, имеет второй порядок аппроксимации.

Пример. Решить методом Рунге-Кутты четвертого порядка уравнение dy/dx = -y, y(0) = 1.

В соответствии с приведенными выше соотношениями определяем коэффициенты:



Построим последовательность значений искомой функции:

…

Результаты получаемого численного решения для значения аргумента x = 10 при различных шагах интегрирования приведены в табл. 6.2. Три верные значащие цифры получены для шага h = 0.25.

Таблица 6.2. Результаты численного решения y_n методом Рунге-Кутты четвертого порядка дифференциального уравнения y' = -y с начальным условием y(0) = 1

Величина шага h	0.5	0.25	0.1	0.01	0.001	0.0001
Число шагов n	20	40	100	1000	10 000	100 000
yn · 104	0.457608	0.454181	0.454003	0.453999	0.453999	0.453999



Вывод

Сравнение таблиц 15.1 и 15.2 с решениями одной и той же задачи позволяет сделать вывод, чтоболее высокая степень аппроксимации дифференциального уравнения разностным аналогом позволяет получать более точное решение при более крупном шаге и, следовательно, меньшем числе шагов, то есть приводит к снижению требуемых ресурсов ЭВМ.

На сегодняшний день для грубого расчета вычисления производятся методом Эйлера, для точного расчета -- методом Рунге-Кутты.



Литература

1. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. - М.: Физматгиз, 1963. - 400 с.

2. Мак-Кракен Д., Дорн У. Численные методы и программирование на ФОРТРАНе. - М.: Мир, 1977. - 584 с.

3. Зельдович Я.Б., Мышкис А.Д. Элементы прикладной математики. - М.: Наука, 1972. - 592 с.

4. Хемминг Р.В. Численные методы для научных работников и инженеров. - М.: Наука, 1968. - 400 с.

5. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. - М.: Наука, 1989. - 430 с.

6. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: Мир, 1979.

7. Бабушка И., Витасек Э., Прагер М. Численные процессы решения дифференциальных уравнений. - М.: Мир, 1969. - 368 с.

Размещено на Allbest.ru

...