Численное решение дифференциальных уравнений
Рассмотрение основных особенностей решения задачи Коши методом Эйлера-Коши, варианты оценки погрешностей вычислений. Общая характеристика способов постройки графиков решения дифференциального уравнения и интерполяционного многочлена в одних осях.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 07.06.2013 |
| Размер файла | 406,2 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Численное решение дифференциальных уравнений
задача погрешность вычисление дифференциальный
Введение
Индивидуальное задание.
1.Решить задачу Коши методом Эйлера-Коши.
Дифференциальное уравнение , начальное условие , интервал [2,2.7] и шаг h=0.1.
2.Оценить погрешность вычислений при решении задачи Коши.
3. Построить график решения дифференциального уравнения.
4. По узлам с чётными номерами таблицы построить интерполяционный многочлен Лагранжа, с помощью которого сгустить таблицу в пять раз, то есть увеличить количество расчетных значений таблицы в пять раз.
5. Рассчитать погрешность интерполирования.
6.Построить графики решения дифференциального уравнения и интерполяционного многочлена в одних осях.
7.Аппроксимировать решение дифференциального уравнения методов наименьших квадратов.
8.Рассчитать погрешность аппроксимации.
9.Построить графики решения дифференциального уравнения интерполяционного многочлена и аппроксимирующей функции в одних осях.
10. Провести анализ полученных результатов.
1.Решение дифференциального уравнения методом Эйлера-Коши
1.1 Краткая теория
В соответствии с постановкой задачи нужно найти решение дифференциального уравнения первого порядка, т.е. найти такие решения y(x), которые превратили бы дифференциальное уравнение в тождество. Но так как таких решений множество, заданы начальные условия - значения функции y(x) в точке x0, т.е. y(x0) = y0, а так же интервал [ x0 - xn ].
Рис. 1. показывает, что с помощью начальных условий из множества решений можно выбрать одно.
Рис 1. Множество решений дифференциального уравнения.
Метод Эйлера - Коши - наиболее точный метод решения дифференциального уравнения (второй порядок точности). Этот метод предполагает следующий порядок вычислений:
yi+1* = yi + h f( xi ; yi ), где i = 0,1,2 ... n
yi+1 = yi + h (f( xi ; yi ) + f( xi+1 ; yi+1*)) / 2
Число значений n можно найти, разделив интервал на шаг:
n = (xn - xo) / h
Геометрически это означает, что определяется направление касательной к интегральной кривой в исходной точке хi,yi и во вспомогательной точке хi+1,yi+1*, а в качестве окончательного направления берется среднее этих направлений (показано пунктирной линией на рис. 2)
Рис.2. Графическая интерпретация метода Эйлера - Коши.
Решение yi+1, найденное методом Эйлера - Коши, намного ближе к точному решению, чем решение yi+1*, найденное методом Эйлера. Погрешность метода пропорциональна шагу h во второй степени, т.е. метод Эйлера - Коши имеет второй порядок точности.
1.2 Пример расчета решаемой задачи
Дана задача Коши
-начальные условия на интервале с шагом h=0,1.
Необходимо найти решение задачи Коши методом Эйлера-Коши Воспользуемся для этого расчетными формулами (4).
Тогда
Таблица. Повторяя процесс вычислений, получим таблицу значений (хь yt) решения задачи Коши.
|
i |
xi |
yi(h) |
y* |
|
|
0 |
2 |
2,5 |
||
|
1 |
2,1 |
2,472452 |
2,468917 |
|
|
2 |
2,2 |
2,451842 |
2,448163 |
|
|
3 |
2,3 |
2,438425 |
2,434626 |
|
|
4 |
2,4 |
2,432407 |
2,428518 |
|
|
5 |
2,5 |
2,433924 |
2,429982 |
|
|
6 |
2,6 |
2,443035 |
2,439083 |
|
|
7 |
2,7 |
2,459711 |
2,455796 |
Погрешность метода Эйлера-Коши находится по формуле:
, где р - порядок точности(для метода Эйлера-Коши р =2)
Таблица
|
e(xi) |
yi(h/2) |
yi(h) |
|
|
0 |
2,5 |
2,5 |
|
|
0,008526 |
2,446873 |
2,472452 |
|
|
0,013716 |
2,410694 |
2,451842 |
|
|
0,015985 |
2,390471 |
2,438425 |
|
|
0,015669 |
2,385401 |
2,432407 |
|
|
0,013062 |
2,394739 |
2,433924 |
|
|
0,008448 |
2,41769 |
2,443035 |
|
|
0,002123 |
2,453341 |
2,459711 |
График решения дифференциального уравнения.
Рис.
2.Интерполяционный многочлен Лагранжа
2.1 Краткая теория
Решение системы уравнений можно представить в форме интерполяционного многочлена Лагранжа:
.
В частном случае n=1 (линейная интерполяция)
,
а при n=2
.
Нетрудно заметить, что структура этих формул такова, что для каждой узловой точки x=xj из входящих в набор используемых формулой узловых точек, только одно слагаемое отлично от нуля и именно то, в которое входит yj. Кроме того, дробь, входящая в это отличное от нуля слагаемое, при x=xj равна единице. Поэтому .
Непосредственное применение формулы Лагранжа приводит к большому числу однотипных вычислений. Организация вычислений существенно улучшается, если пользоваться специальной вычислительной схемой.
В таблице 1 показано построение такой схемы для 3 узлов. Таблица составляется заново для каждого нового значения аргумента х.
Заполнение таблицы начинается с того, что вычисляются и заносятся в соответствующие клетки все элементарные разности. Вслед за этим вычисляются произведение Рi разностей по строкам.
P0=(x-x0)(x0-x1)(x0-x2);
P1=(x1-x0)(x-x1)(x1-x2) и т.д.
Таблица 1
|
x |
X0 |
X1 |
X2 |
Pi |
yi |
yi/ Pi |
|
|
X0 |
x-x0 |
x0-x1 |
x0-x2 |
||||
|
X1 |
x1-x0 |
x-x1 |
x1-x2 |
||||
|
X2 |
X2-x0 |
X3-x1 |
x-x2 |
||||
Отсюда формула Лагранжа принимает вид:
,
где - это произведение диагональных разностей.
2.2 Пример расчета решаемой задачи
Возьмем таблицу значений нашей функции.
Таблица
|
i |
xi |
yi(h) |
|
|
0 |
2 |
2,50 |
|
|
1 |
2,1 |
2,472452 |
|
|
2 |
2,2 |
2,451842 |
|
|
3 |
2,3 |
2,438425 |
|
|
4 |
2,4 |
2,432407 |
|
|
5 |
2,5 |
2,433924 |
|
|
6 |
2,6 |
2,443035 |
|
|
7 |
2,7 |
2,459711 |
Таблица 2
|
2,04 |
x0 |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
Pi |
yi |
yi/Pi |
|
|
x0 |
0,04 |
-0,1 |
-0,2 |
-0,3 |
-0,4 |
-0,5 |
-0,6 |
-0,7 |
-2E-05 |
2,5 |
-124007,937 |
|
|
x1 |
0,1 |
-0,06 |
-0,1 |
-0,2 |
-0,3 |
-0,4 |
-0,5 |
-0,6 |
-4,3E-06 |
2,472452 |
-572326,921 |
|
|
x2 |
0,2 |
0,1 |
-0,16 |
-0,1 |
-0,2 |
-0,3 |
-0,4 |
-0,5 |
3,84E-06 |
2,451842 |
638500,4041 |
|
|
x3 |
0,3 |
0,2 |
0,1 |
-0,26 |
-0,1 |
-0,2 |
-0,3 |
-0,4 |
-3,7E-06 |
2,438425 |
-651288,791 |
|
|
x4 |
0,4 |
0,3 |
0,2 |
0,1 |
-0,36 |
-0,1 |
-0,2 |
-0,3 |
5,18E-06 |
2,432407 |
469214,2689 |
|
|
x5 |
0,5 |
0,4 |
0,3 |
0,2 |
0,1 |
-0,46 |
-0,1 |
-0,2 |
-1,1E-05 |
2,433924 |
-220464,088 |
|
|
x6 |
0,6 |
0,5 |
0,4 |
0,3 |
0,2 |
0,1 |
-0,56 |
-0,1 |
4,03E-05 |
2,443035 |
60591,1418 |
|
|
x7 |
0,7 |
0,6 |
0,5 |
0,4 |
0,3 |
0,2 |
0,1 |
-0,66 |
-0,00033 |
2,459711 |
-7394,51346 |
|
|
-407176,435 |
В таблице 2 показаны элементарные разности для значения x=2.04. Найдем значение интерполяционного многочлена в этой точке по формуле:
Вычисляя многочлен во всех узлах с четными номерами, получаем таблицу 3.
Таблица 3
|
i |
xi |
Ln |
|
|
0 |
2 |
2,50 |
|
|
2 |
2,04 |
2,488167 |
|
|
4 |
2,08 |
2,477416 |
|
|
6 |
2,12 |
2,467766 |
|
|
8 |
2,16 |
2,459236 |
|
|
10 |
2,2 |
2,451842 |
|
|
12 |
2,24 |
2,445599 |
|
|
14 |
2,28 |
2,440522 |
|
|
16 |
2,32 |
2,436624 |
|
|
18 |
2,36 |
2,433916 |
|
|
20 |
2,4 |
2,432407 |
|
|
22 |
2,44 |
2,432104 |
|
|
24 |
2,48 |
2,433013 |
|
|
26 |
2,52 |
2,435138 |
|
|
28 |
2,56 |
2,438479 |
|
|
30 |
2,6 |
2,443035 |
|
|
32 |
2,64 |
2,448802 |
|
|
34 |
2,68 |
2,455775 |
Погрешность интерполяционного многочлена Лагранжа вычисляется по формуле:
е(xi)= (Таблица 4)
Таблица
|
Ln |
yi |
е(xi) |
|
|
2,50 |
2,50 |
0 |
|
|
2,488167 |
2,444196 |
0,043971 |
|
|
2,477416 |
2,39968 |
0,077736 |
|
|
2,467766 |
2,364895 |
0,102871 |
|
|
2,459236 |
2,338629 |
0,120607 |
|
|
2,451842 |
2,319923 |
0,131919 |
|
|
2,445599 |
2,308001 |
0,137598 |
|
|
2,440522 |
2,302223 |
0,138299 |
|
|
2,436624 |
2,302044 |
0,13458 |
|
|
2,433916 |
2,306987 |
0,126929 |
|
|
2,432407 |
2,31662 |
0,115787 |
|
|
2,432104 |
2,330544 |
0,10156 |
|
|
2,433013 |
2,348381 |
0,084632 |
|
|
2,435138 |
2,369769 |
0,065369 |
|
|
2,438479 |
2,394356 |
0,044122 |
|
|
2,443035 |
2,421802 |
0,021233 |
|
|
2,448802 |
2,451775 |
0,002973 |
|
|
2,455775 |
2,483959 |
0,028184 |
График интерполяционного многочлена Лагранжа и решение дифференциального уравнения.
График
3. Метод наименьших квадратов
3.1 Краткая теория
Этот метод - один из краеугольных камней инженерного образования. Используется при оптимизации, поиске наилучших аппроксимаций в различных приложениях, лежит в основе методов статистического анализа.
Использование интерполяции для построения функциональных зависимостей не всегда целесообразно, так как совпадение значений полученных формулой с табличными значениями в узлах интерполяции, как мы видели выше, не гарантирует близости указанного значения в других точках, отличных от узлов.
Задача о построении эмпирической формулы состоит в следующем.
Пусть результаты измерения (наблюдения) представлены таблицей
Таблица
|
X |
X1 |
X2 |
X3 |
… |
Xk |
Xk+1 |
… |
Xn |
|
|
Y |
Y1 |
Y2 |
Y3 |
… |
Yk |
Yk+1 |
… |
Yn |
и наблюдения Y связаны со значениями фактора X искомой эмпирической зависимостью Y = (x,А0,А1,…,Аm), где А0,А1,…,Аm - некоторые неизвестные параметры. Разности (Xk,А0,А1,…,Аm) - Yk = k, где k - наблюдения, отвечающие значениям фактора X = Xk, называют невязками, отклонениями или погрешностями.
Требуется так подобрать неизвестные параметры функции (x,А0,А1,…,Аm ) , чтобы уклонение k оказалось наименьшим (в каком-то) смысле.
Рассмотрим применение метода наименьших квадратов на примере приближающей функции с двумя параметрами вида:
F(x, a, b, с)= ax2+bx+c
Функция данного вида называется квадратичной, поэтому рассматриваемая задача по-другому называется квадратичным аппроксимированием.
Чтоб произвести квадратичное аппроксимирование нужно найти параметры a, b, c.
Для этого нужно составить систему из трех линейных уравнений:
a11a + a12b + a13c = b1
a21a + a22b + a23c = b2
a31a + a32b + a33c = b3
где a11 = , a12 = a21 = , a13 = a22 = a31 =,
a23 = a32 = , a33 = n + 1,
b1 =, b2 =, b3 =.
Далее находим квадратичную функцию F(x)= ax2+bx+c, которая и является решением дифференциального уравнения.
3.2 Пример расчета решаемой задачи
По заданным значениям в таблице 5 произведем аппроксимацию квадратичной функции
Таблица
|
i |
xi |
yi |
|
|
0 |
2 |
2,5 |
|
|
1 |
2,1 |
2,472452 |
|
|
2 |
2,2 |
2,451842 |
|
|
3 |
2,3 |
2,438425 |
|
|
4 |
2,4 |
2,432407 |
|
|
5 |
2,5 |
2,433924 |
|
|
6 |
2,6 |
2,443035 |
|
|
7 |
2,7 |
2,459711 |
Таблица 5
|
i |
x4 |
x3 |
x2 |
x |
yi*x2 |
yi*xi |
yi |
|
|
0 |
16 |
8 |
4 |
2 |
10 |
5 |
2,5 |
|
|
1 |
19,4481 |
9,261 |
4,41 |
2,1 |
10,90351 |
5,19215 |
2,472452299 |
|
|
2 |
23,4256 |
10,648 |
4,84 |
2,2 |
11,86691 |
5,394051 |
2,451841552 |
|
|
3 |
27,9841 |
12,167 |
5,29 |
2,3 |
12,89927 |
5,608378 |
2,438425235 |
|
|
4 |
33,1776 |
13,824 |
5,76 |
2,4 |
14,01066 |
5,837776 |
2,43240677 |
|
|
5 |
39,0625 |
15,625 |
6,25 |
2,5 |
15,21202 |
6,084809 |
2,433923528 |
|
|
6 |
45,6976 |
17,576 |
6,76 |
2,6 |
16,51492 |
6,351891 |
2,443034837 |
|
|
7 |
53,1441 |
19,683 |
7,29 |
2,7 |
17,93129 |
6,64122 |
2,459710957 |
|
|
257,9396 |
106,784 |
44,6 |
18,8 |
109,3386 |
46,11027 |
19,63179518 |
||
|
a33 |
a11 |
a21=a12 |
a13=a31=a22 |
a23=a32 |
b1 |
b2 |
b3 |
Теперь составим систему линейных уравнений и найдем параметры a, b, c.
Решим систему линейных уравнений методом Гаусса в MS Excel.
Таблица
|
257,9396 |
106,784 |
44,6 |
109,3386 |
|
|
106,784 |
44,6 |
18,8 |
46,11027 |
|
|
44,6 |
18,8 |
8 |
19,6318 |
|
|
первое преобразование |
||||
|
1 |
0,413988 |
0,172909 |
0,423892 |
|
|
0 |
-0,39266 |
-0,33612 |
-0,84537 |
|
|
0 |
-0,33612 |
-0,28827 |
-0,7262 |
|
|
второе преобразование |
||||
|
1 |
0,413988 |
0,172909 |
0,423892 |
|
|
0 |
1 |
0,855994 |
2,152904 |
|
|
0 |
0 |
0,000557 |
0,002573 |
|
|
c= |
4,615976 |
|||
|
b= |
-1,79834 |
|||
|
a= |
0,370243 |
Квадратичная функция принимает вид:
F(x)=
Аппроксимация функции приведена в таблице 6:
Таблица
|
yi |
f(x) |
|
|
2,5 |
2,500262 |
|
|
2,472452299 |
2,472227 |
|
|
2,451841552 |
2,451597 |
|
|
2,438425235 |
2,438372 |
|
|
2,43240677 |
2,432552 |
|
|
2,433923528 |
2,434137 |
|
|
2,443034837 |
2,443127 |
|
|
2,459710957 |
2,459521 |
Погрешность аппроксимации квадратичной функции находится по формуле:
Таблица
|
yi |
f(x) |
(F(xi)-yi)2 |
|
|
2,5 |
2,500262 |
6,84095E-08 |
|
|
2,472452299 |
2,472227 |
5,07944E-08 |
|
|
2,451841552 |
2,451597 |
5,97286E-08 |
|
|
2,438425235 |
2,438372 |
2,80674E-09 |
|
|
2,43240677 |
2,432552 |
2,11553E-08 |
|
|
2,433923528 |
2,434137 |
4,55894E-08 |
|
|
2,443034837 |
2,443127 |
8,44534E-09 |
|
|
2,459710957 |
2,459521 |
3,59736E-08 |
|
|
д= |
0,000191345 |
Графики решения дифференциального уравнения, интерполяционного многочлена и аппроксимирующей функции.
График
4.Анализ результатов
Для проведения анализа результатов решения дифференциального уравнения различными численными методами построим графики полученных результатов.
График
Из графиков видно, что отклонения при вычислении дифференциального уравнения между методами незначительные.
Все рассматриваемые методы численного решения дифференциального уравнения обладают вторым порядком точности, поэтому нельзя судить о том, какой метод является более точным.
Заключение
В данной работе были исследованы численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.
Здесь применялись следующие методы:
1. Метод Эйлера-Коши.
2. Интерполирование с построением интерполяционного многочлена Лагранжа.
3. Аппроксимирование линейной функцией.
А также при построении аппроксимирующей функции был использован метод Гаусса для решения систем линейных уравнений.
Для каждого метода проводилась оценка погрешностей.
Таким образом, цели поставленные перед выполнением данной работы достигнуты.
Список используемой литературы
1.Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. Физматлит. Невский диалект. Лаборатория базовых знаний. Москва-Санкт-Петербург - 2002. - 632 с.
2.Бахвалов Н.С., Лапин А.В., Чижонков Е.В. Численные методы в задачах и упражнениях. М.: Высшая школа, 2000. - 190 с.
3.Волков Е.А. Численные методы. М.: Наука. 1987.
4.Лапчик М.П. Численные методы: Учеб. Пособие длястуд.вузов/М.П.Лапчик, М.И.Рагулина, Е.К.Хеннер; Под ред. М.П. Лапчика. - М.: Издательский дом «Академия», 2004.
5.Ракитин В.И., Первушин В.Е. Практическое руководство по методам вычислений с приложением программ для персональных компьютеров. М.: Высшая школа, 1998, 383 с.
Приложение А
Вычисления с помощью пакета ПП MS Excel
Таблица
График
Приложение Б
Таблица. Интерполяционный многочлен Лагранжа
|
i |
xi |
Ln |
yi |
?(xi) |
|
|
0 |
2 |
=C2 |
2,5 |
=ABS(D12-C12) |
|
|
2 |
2,04 |
2,48816687030376 |
2,44419583469917 |
=ABS(D13-C13) |
|
|
4 |
2,08 |
2,4774159438205 |
2,39967973982707 |
=ABS(D14-C14) |
|
|
6 |
2,12 |
2,46776626902235 |
2,36489509404527 |
=ABS(D15-C15) |
|
|
8 |
2,16 |
2,45923585233117 |
2,33862934393163 |
=ABS(D16-C16) |
|
|
10 |
2,2 |
=C4 |
2,31992294216658 |
=ABS(D17-C17) |
|
|
12 |
2,24 |
2,4455989642674 |
2,30800120796964 |
=ABS(D18-C18) |
|
|
14 |
2,28 |
2,44052230569116 |
2,30222336220815 |
=ABS(D19-C19) |
|
|
16 |
2,32 |
2,43662428935133 |
2,30204442792649 |
=ABS(D20-C20) |
|
|
18 |
2,36 |
2,43391600038327 |
2,30698687563423 |
=ABS(D21-C21) |
|
|
20 |
2,4 |
=C6 |
2,31661977981935 |
=ABS(D22-C22) |
|
|
22 |
2,44 |
2,43210405095035 |
2,33054387637032 |
=ABS(D23-C23) |
|
|
24 |
2,48 |
2,4330132940949 |
2,34838132706179 |
=ABS(D24-C24) |
|
|
26 |
2,52 |
2,43513783064549 |
2,36976926167147 |
=ABS(D25-C25) |
|
|
28 |
2,56 |
2,43847875867334 |
2,39435632763484 |
=ABS(D26-C26) |
|
|
30 |
2,6 |
=C8 |
2,42180157043347 |
=ABS(D27-C27) |
|
|
32 |
2,64 |
2,44880238915457 |
2,45177502666154 |
=ABS(D28-C28) |
|
|
34 |
2,68 |
2,45577521395128 |
2,48395945994208 |
=ABS(D29-C29) |
Таблица
График интерполяционного многочлена Лагранжа и решения дифференциального уравнения.
График
Приложение В
Таблица. Метод наименьших квадратов. Аппроксимация квадратичной функции.
Графики решения дифференциального уравнения, интерполяционного многочлена и аппроксимирующей функции.
График
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Решение задачи Коши для дифференциального уравнения. Погрешность приближенных решений. Функция, реализующая явный метод Эйлера. Вычисление погрешности по правилу Рунге. Решение дифференциальных уравнений второго порядка. Условие устойчивости для матрицы.
контрольная работа [177,1 K], добавлен 13.06.2012Понятие о голоморфном решении задачи Коши. Теорема Коши о существовании и единственности голоморфного решения задачи Коши. Решение задачи Коши для линейного уравнения второго порядка при помощи степенных рядов. Интегрирование дифференциальных уравнений.
курсовая работа [810,5 K], добавлен 24.11.2013Понятие, закономерности формирования и решения дифференциальных уравнений. Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши. Существующие подходы и методы решения данной задачи, оценка погрешности полученных значений. Листинг программы.
курсовая работа [120,8 K], добавлен 27.01.2014Анализ методов решения систем дифференциальных уравнений, которыми можно описать поведение материальных точек в силовом поле, законы химической кинетики, уравнения электрических цепей. Этапы решения задачи Коши для системы дифференциальных уравнений.
курсовая работа [791,0 K], добавлен 12.06.2010Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Теорема существования, единственности решения задачи Коши. Общее решение дифференциального уравнения, изображаемое семейством интегральных кривых на плоскости. Способ нахождения огибающей семейства кривых.
реферат [165,4 K], добавлен 24.08.2015Дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной. Применение рекуррентного соотношения. Техника применения метода Эйлера для численного решения уравнения первого порядка. Численные методы, пригодные для решения задачи Коши.
реферат [183,1 K], добавлен 24.08.2015Порядок и процедура поиска решения дифференциального уравнения. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения первого порядка, с разделяющими переменными.
лекция [744,1 K], добавлен 24.11.2010Составление диагональной системы способом прогонки, нахождение решения задачи Коши для дифференциального уравнения на сетке методом Эйлера и классическим методом Рунге-Кутта. Построение кубического сплайна интерполирующей функции равномерного разбиения.
практическая работа [46,1 K], добавлен 06.06.2011Задачи Коши и методы их решения. Общие понятия, сходимость явных способов типа Рунге-Кутты, практическая оценка погрешности приближенного решения. Автоматический выбор шага интегрирования, анализ брюсселятора и метод Зонневельда для его расчета.
курсовая работа [1,7 M], добавлен 03.11.2011Задачи Коши для дифференциальных уравнений. График решения дифференциального уравнения I порядка. Уравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к однородному. Однородные и неоднородные линейные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли.
лекция [520,6 K], добавлен 18.08.2012Сущность методов сведения краевой задачи к задаче Коши и алгоритмы их реализации на ПЭВМ. Применение метода стрельбы (пристрелки) для линейной краевой задачи, определение погрешности вычислений. Решение уравнения сшивания для нелинейной краевой задачи.
методичка [335,0 K], добавлен 02.03.2010Решение дифференциальных уравнений. Численный метод для заданной последовательности аргументов. Метод Эйлера относиться к численным методам, дающим решение в виде таблицы приближенных значений искомой функции. Применение шаговых методов решения Коши.
дипломная работа [1,2 M], добавлен 16.12.2008Основные правила расчета значений дифференциального уравнения. Изучение выполнения оценки погрешности вычислений, осуществления аппроксимации решений. Разработка алгоритма и написание соответствующей программы. Построение интерполяционного многочлена.
курсовая работа [212,6 K], добавлен 11.12.2013Численное решение уравнения методом Эйлера и Рунге-Кутта в Excel. Программа на языке Turbo Pascal. Блок-схема алгоритма. Метод Рунге-Кутта для дифференциального уравнения второго порядка. Модель типа "хищник-жертва" с учетом внутривидового взаимодействия.
курсовая работа [391,5 K], добавлен 01.03.2012Решение нелинейных уравнений методом касательных (Ньютона), особенности и этапы данного процесса. Механизм интерполирования функции и численное интегрирование. Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера.
курсовая работа [508,1 K], добавлен 16.12.2015Суть модифицированного метода Эйлера. Определение интерполяционного многочлена. Выведение формулы трапеций из геометрических соображений. Применение для расчетов интерполированного полинома Ньютона. Составление блок-схемы алгоритма решения уравнений.
курсовая работа [252,7 K], добавлен 14.02.2016Поиск собственных чисел и построение фундаментальной системы решений. Исследование зависимости жордановой формы матрицы А от свойств матрицы системы. Построение фундаментальной матрицы решений методом Эйлера, решение задачи Коши и построение графиков.
курсовая работа [354,7 K], добавлен 14.10.2010Теоретическое обоснование расчетных формул. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Метод Рунге-Кутта. Ломаная Эйлера. Построение схем различного порядка точности. Выбор шага. Апостериорная оценка погрешности. Правило Рунге.
курсовая работа [111,1 K], добавлен 13.11.2011Получение точного решения дифференциального уравнения вручную, операторным методом, приближенное решение с помощью рядов (до 5 элемента ряда) на заданном интервале, графическое решение. Относительная и абсолютная погрешность методов Эйлера и Рунге-Кутты.
курсовая работа [990,8 K], добавлен 17.07.2014Дифференциальные уравнения Риккати. Общее решение линейного уравнения. Нахождение всех возможных решений дифференциального уравнения Бернулли. Решение уравнений с разделяющимися переменными. Общее и особое решения дифференциального уравнения Клеро.
курсовая работа [347,1 K], добавлен 26.01.2015
