Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тихоокеанский государственный университет»

Факультет экономики и управления

Кафедра «Экономическая кибернетика»

Курсовая работа на тему:

Численное решение дифференциальных уравнений

Выполнил: Мамедов Д.Н.

Группа: ПИЭ-11

Проверила: Матафонова А.Н.

Хабаровск 2013 Г

Содержание

Индивидуальное задание

1. Решение дифференциального уравнения методом Эйлера-Коши.

1.1 Краткая теория.

1.2. Пример расчета решаемой задачи.

2. Интерполяционный многочлен Лагранжа.

2.1 Краткая теория.

2.2 Пример расчета решаемой задачи.

3. Метод наименьших квадратов.

3.1 Краткая теория.

3.2 Пример расчета решаемой задачи.

4.Анализ результатов.

Заключение.

Приложение А

Приложение Б

Приложение В.

Список используемой литературы.

Индивидуальное задание

1.Решить задачу Коши методом Эйлера-Коши.

Дифференциальное уравнение , начальное условие , интервал [2,2.7] и шаг h=0.1.

2.Оценить погрешность вычислений при решении задачи Коши.

3. Построить график решения дифференциального уравнения.

4. По узлам с чётными номерами таблицы построить интерполяционный многочлен Лагранжа, с помощью которого сгустить таблицу в пять раз, то есть увеличить количество расчетных значений таблицы в пять раз.

5. Рассчитать погрешность интерполирования.

6.Построить графики решения дифференциального уравнения и интерполяционного многочлена в одних осях.

7.Аппроксимировать решение дифференциального уравнения методов наименьших квадратов.

8.Рассчитать погрешность аппроксимации.

9.Построить графики решения дифференциального уравнения интерполяционного многочлена и аппроксимирующей функции в одних осях.

10. Провести анализ полученных результатов.

1.Решение дифференциального уравнения методом Эйлера-Коши

1.1 Краткая теория

В соответствии с постановкой задачи нужно найти решение дифференциального уравнения первого порядка, т.е. найти такие решения y(x), которые превратили бы дифференциальное уравнение в тождество. Но так как таких решений множество, заданы начальные условия - значения функции y(x) в точке x0, т.е. y(x0) = y0, а так же интервал [ x0 - xn ].

Рис. 1. показывает, что с помощью начальных условий из множества решений можно выбрать одно.

Рис 1. Множество решений дифференциального уравнения.

Метод Эйлера - Коши - наиболее точный метод решения дифференциального уравнения (второй порядок точности). Этот метод предполагает следующий порядок вычислений:

yi+1* = yi + h f( xi ; yi ), где i = 0,1,2 ... n

yi+1 = yi + h (f( xi ; yi ) + f( xi+1 ; yi+1*)) / 2

Число значений n можно найти, разделив интервал на шаг:

n = (xn - xo) / h

Геометрически это означает, что определяется направление касательной к интегральной кривой в исходной точке хi,yi и во вспомогательной точке хi+1,yi+1*, а в качестве окончательного направления берется среднее этих направлений (показано пунктирной линией на рис. 2)

Рис.2. Графическая интерпретация метода Эйлера - Коши.

Решение yi+1, найденное методом Эйлера - Коши, намного ближе к точному решению, чем решение yi+1*, найденное методом Эйлера. Погрешность метода пропорциональна шагу h во второй степени, т.е. метод Эйлера - Коши имеет второй порядок точности.

1.2 Пример расчета решаемой задачи

Дана задача Коши

-начальные условия на интервале с шагом h=0,1.

Необходимо найти решение задачи Коши методом Эйлера-Коши Воспользуемся для этого расчетными формулами (4).

Тогда

дифференциальный уравнение погрешность решение

Повторяя процесс вычислений, получим таблицу значений (хь yt) решения задачи Коши.

i	xi	yi(h)	y*
0	2	2,5
1	2,1	2,472452	2,468917
2	2,2	2,451842	2,448163
3	2,3	2,438425	2,434626
4	2,4	2,432407	2,428518
5	2,5	2,433924	2,429982
6	2,6	2,443035	2,439083
7	2,7	2,459711	2,455796

Погрешность метода Эйлера-Коши находится по формуле:

,

где р - порядок точности(для метода Эйлера-Коши р =2)

e(xi)	yi(h/2)	yi(h)
0	2,5	2,5
0,008526	2,446873	2,472452
0,013716	2,410694	2,451842
0,015985	2,390471	2,438425
0,015669	2,385401	2,432407
0,013062	2,394739	2,433924
0,008448	2,41769	2,443035
0,002123	2,453341	2,459711

График решения дифференциального уравнения .

2.Интерполяционный многочлен Лагранжа

2.1 Краткая теория

Решение системы уравнений можно представить в форме интерполяционного многочлена Лагранжа:

.

В частном случае n=1 (линейная интерполяция)

,

а при n=2

.

Нетрудно заметить, что структура этих формул такова, что для каждой узловой точки x=xj из входящих в набор используемых формулой узловых точек, только одно слагаемое отлично от нуля и именно то, в которое входит yj. Кроме того, дробь, входящая в это отличное от нуля слагаемое, при x=xj равна единице. Поэтому .

Непосредственное применение формулы Лагранжа приводит к большому числу однотипных вычислений. Организация вычислений существенно улучшается, если пользоваться специальной вычислительной схемой.

В таблице 1 показано построение такой схемы для 3 узлов. Таблица составляется заново для каждого нового значения аргумента х.

Заполнение таблицы начинается с того, что вычисляются и заносятся в соответствующие клетки все элементарные разности. Вслед за этим вычисляются произведение Рi разностей по строкам.

P0=(x-x0)(x0-x1)(x0-x2);

P1=(x1-x0)(x-x1)(x1-x2) и т.д.

Таблица 1

x	X0	X1	X2	Pi	yi	yi/ Pi
X0	x-x0	x0-x1	x0-x2
X1	x1-x0	x-x1	x1-x2
X2	X2-x0	X3-x1	x-x2

Отсюда формула Лагранжа принимает вид:

,

где - это произведение диагональных разностей.

2.2 Пример расчета решаемой задачи

Возьмем таблицу значений нашей функции.

i	xi	yi(h)
0	2	2,50
1	2,1	2,472452
2	2,2	2,451842
3	2,3	2,438425
4	2,4	2,432407
5	2,5	2,433924
6	2,6	2,443035
7	2,7	2,459711

Построим таблицу элементарных разностей .

Таблица 2

2,04	x0	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	Pi	yi	yi/Pi
x0	0,04	-0,1	-0,2	-0,3	-0,4	-0,5	-0,6	-0,7	-2E-05	2,5	-124007,937
x1	0,1	-0,06	-0,1	-0,2	-0,3	-0,4	-0,5	-0,6	-4,3E-06	2,472452	-572326,921
x2	0,2	0,1	-0,16	-0,1	-0,2	-0,3	-0,4	-0,5	3,84E-06	2,451842	638500,4041
x3	0,3	0,2	0,1	-0,26	-0,1	-0,2	-0,3	-0,4	-3,7E-06	2,438425	-651288,791
x4	0,4	0,3	0,2	0,1	-0,36	-0,1	-0,2	-0,3	5,18E-06	2,432407	469214,2689
x5	0,5	0,4	0,3	0,2	0,1	-0,46	-0,1	-0,2	-1,1E-05	2,433924	-220464,088
x6	0,6	0,5	0,4	0,3	0,2	0,1	-0,56	-0,1	4,03E-05	2,443035	60591,1418
x7	0,7	0,6	0,5	0,4	0,3	0,2	0,1	-0,66	-0,00033	2,459711	-7394,51346
											-407176,435

В таблице 2 показаны элементарные разности для значения x=2.04. Найдем значение интерполяционного многочлена в этой точке по формуле:

Вычисляя многочлен во всех узлах с четными номерами, получаем таблицу 3.

Таблица 3

i	xi	Ln
0	2	2,50
2	2,04	2,488167
4	2,08	2,477416
6	2,12	2,467766
8	2,16	2,459236
10	2,2	2,451842
12	2,24	2,445599
14	2,28	2,440522
16	2,32	2,436624
18	2,36	2,433916
20	2,4	2,432407
22	2,44	2,432104
24	2,48	2,433013
26	2,52	2,435138
28	2,56	2,438479
30	2,6	2,443035
32	2,64	2,448802
34	2,68	2,455775

Погрешность интерполяционного многочлена Лагранжа вычисляется по формуле:

е(xi)= (Таблица 4)

Ln	yi	е(xi)
2,50	2,50	0
2,488167	2,444196	0,043971
2,477416	2,39968	0,077736
2,467766	2,364895	0,102871
2,459236	2,338629	0,120607
2,451842	2,319923	0,131919
2,445599	2,308001	0,137598
2,440522	2,302223	0,138299
2,436624	2,302044	0,13458
2,433916	2,306987	0,126929
2,432407	2,31662	0,115787
2,432104	2,330544	0,10156
2,433013	2,348381	0,084632
2,435138	2,369769	0,065369
2,438479	2,394356	0,044122
2,443035	2,421802	0,021233
2,448802	2,451775	0,002973
2,455775	2,483959	0,028184

График интерполяционного многочлена Лагранжа и решение дифференциального уравнения.

3. Метод наименьших квадратов

3.1 Краткая теория

Этот метод - один из краеугольных камней инженерного образования. Используется при оптимизации, поиске наилучших аппроксимаций в различных приложениях, лежит в основе методов статистического анализа.

Использование интерполяции для построения функциональных зависимостей не всегда целесообразно, так как совпадение значений полученных формулой с табличными значениями в узлах интерполяции, как мы видели выше, не гарантирует близости указанного значения в других точках, отличных от узлов.

Задача о построении эмпирической формулы состоит в следующем.

Пусть результаты измерения (наблюдения) представлены таблицей

X	X1	X2	X3	…	Xk	Xk+1	…	Xn
Y	Y1	Y2	Y3	…	Yk	Yk+1	…	Yn

и наблюдения Y связаны со значениями фактора X искомой эмпирической зависимостью Y = (x,А0,А1,…,Аm), где А0,А1,…,Аm - некоторые неизвестные параметры. Разности (Xk,А0,А1,…,Аm) - Yk = k, где k - наблюдения, отвечающие значениям фактора X = Xk, называют невязками, отклонениями или погрешностями.

Требуется так подобрать неизвестные параметры функции (x,А0,А1,…,Аm ) , чтобы уклонение k оказалось наименьшим (в каком-то) смысле.

Рассмотрим применение метода наименьших квадратов на примере приближающей функции с двумя параметрами вида:

F(x, a, b, с)= ax2+bx+c

Функция данного вида называется квадратичной, поэтому рассматриваемая задача по-другому называется квадратичным аппроксимированием.

Чтоб произвести квадратичное аппроксимирование нужно найти параметры a, b, c.

Для этого нужно составить систему из трех линейных уравнений:

a11a + a12b + a13c = b1

a21a + a22b + a23c = b2

a31a + a32b + a33c = b3

где a11 = , a12 = a21 = , a13 = a22 = a31 =,

a23 = a32 = , a33 = n + 1,

b1 =, b2 =, b3 =.

Далее находим квадратичную функцию F(x)= ax2+bx+c, которая и является решением дифференциального уравнения.

3.2 Пример расчета решаемой задачи

По заданным значениям в таблице 5 произведем аппроксимацию квадратичной функции

i	xi	yi
0	2	2,5
1	2,1	2,472452
2	2,2	2,451842
3	2,3	2,438425
4	2,4	2,432407
5	2,5	2,433924
6	2,6	2,443035
7	2,7	2,459711

Таблица 5

Произведем расчет коэффициентов:

i	x4	x3	x2	x	yi*x2	yi*xi	yi
0	16	8	4	2	10	5	2,5
1	19,4481	9,261	4,41	2,1	10,90351	5,19215	2,472452299
2	23,4256	10,648	4,84	2,2	11,86691	5,394051	2,451841552
3	27,9841	12,167	5,29	2,3	12,89927	5,608378	2,438425235
4	33,1776	13,824	5,76	2,4	14,01066	5,837776	2,43240677
5	39,0625	15,625	6,25	2,5	15,21202	6,084809	2,433923528
6	45,6976	17,576	6,76	2,6	16,51492	6,351891	2,443034837
7	53,1441	19,683	7,29	2,7	17,93129	6,64122	2,459710957
	257,9396	106,784	44,6	18,8	109,3386	46,11027	19,63179518
a33	a11	a21=a12	a13=a31=a22	a23=a32	b1	b2	b3

Теперь составим систему линейных уравнений и найдем параметры a, b, c.

Решим систему линейных уравнений методом Гаусса в MS Excel.

257,9396	106,784	44,6	109,3386
106,784	44,6	18,8	46,11027
44,6	18,8	8	19,6318
первое преобразование
1	0,413988	0,172909	0,423892
0	-0,39266	-0,33612	-0,84537
0	-0,33612	-0,28827	-0,7262
второе преобразование
1	0,413988	0,172909	0,423892
0	1	0,855994	2,152904
0	0	0,000557	0,002573
c=	4,615976
b=	-1,79834
a=	0,370243

Квадратичная функция принимает вид:

F(x)=

Аппроксимация функции приведена в таблице 6:

yi	f(x)
2,5	2,500262
2,472452299	2,472227
2,451841552	2,451597
2,438425235	2,438372
2,43240677	2,432552
2,433923528	2,434137
2,443034837	2,443127
2,459710957	2,459521

Таблица 6.

Погрешность аппроксимации квадратичной функции находится по формуле:

Таблица 7

yi	f(x)	(F(xi)-yi)2
2,5	2,500262	6,84095E-08
2,472452299	2,472227	5,07944E-08
2,451841552	2,451597	5,97286E-08
2,438425235	2,438372	2,80674E-09
2,43240677	2,432552	2,11553E-08
2,433923528	2,434137	4,55894E-08
2,443034837	2,443127	8,44534E-09
2,459710957	2,459521	3,59736E-08
	д=	0,000191345

Графики решения дифференциального уравнения, интерполяционного многочлена и аппроксимирующей функции.

4.Анализ результатов

Для проведения анализа результатов решения дифференциального уравнения различными численными методами построим графики полученных результатов.

Из графиков видно, что отклонения при вычислении дифференциального уравнения между методами незначительные.

Все рассматриваемые методы численного решения дифференциального уравнения обладают вторым порядком точности, поэтому нельзя судить о том, какой метод является более точным.

Заключение

В данной работе были исследованы численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Здесь применялись следующие методы:

1. Метод Эйлера-Коши.

2. Интерполирование с построением интерполяционного многочлена Лагранжа.

3. Аппроксимирование линейной функцией.

А также при построении аппроксимирующей функции был использован метод Гаусса для решения систем линейных уравнений.

Для каждого метода проводилась оценка погрешностей.

Таким образом, цели поставленные перед выполнением данной работы достигнуты.

Приложение А

Вычисления с помощью пакета ПП MS Excel

i	xi	yi(h)	y*	?(xi)	yi(h/2)
0	2	2,5		=(C2-F2)/3	=J2
1	2,1	=C2+0,1/2*(SIN(C2)-SIN(B2)+SIN(D3)-SIN(B3))	=C2+0,1*(SIN(C2)-SIN(B2))	=(C3-F3)/3	=J4
2	2,2	=C3+0,1/2*(SIN(C3)-SIN(B3)+SIN(D4)-SIN(B4))	=C3+0,1*(SIN(C3)-SIN(B3))	=(C4-F4)/3	=J6
3	2,3	=C4+0,1/2*(SIN(C4)-SIN(B4)+SIN(D5)-SIN(B5))	=C4+0,1*(SIN(C4)-SIN(B4))	=(C5-F5)/3	=J8
4	2,4	=C5+0,1/2*(SIN(C5)-SIN(B5)+SIN(D6)-SIN(B6))	=C5+0,1*(SIN(C5)-SIN(B5))	=(C6-F6)/3	=J10
5	2,5	=C6+0,1/2*(SIN(C6)-SIN(B6)+SIN(D7)-SIN(B7))	=C6+0,1*(SIN(C6)-SIN(B6))	=(C7-F7)/3	=J12
6	2,6	=C7+0,1/2*(SIN(C7)-SIN(B7)+SIN(D8)-SIN(B8))	=C7+0,1*(SIN(C7)-SIN(B7))	=(C8-F8)/3	=J14
7	2,7	=C8+0,1/2*(SIN(C8)-SIN(B8)+SIN(D9)-SIN(B9))	=C8+0,1*(SIN(C8)-SIN(B8))	=(C9-F9)/3	=J16

Метод Эйлера-Коши

Приложение Б

Интерполяционный многочлен Лагранжа

i	xi	Ln	yi	?(xi)
0	2	=C2	2,5	=ABS(D12-C12)
2	2,04	2,48816687030376	2,44419583469917	=ABS(D13-C13)
4	2,08	2,4774159438205	2,39967973982707	=ABS(D14-C14)
6	2,12	2,46776626902235	2,36489509404527	=ABS(D15-C15)
8	2,16	2,45923585233117	2,33862934393163	=ABS(D16-C16)
10	2,2	=C4	2,31992294216658	=ABS(D17-C17)
12	2,24	2,4455989642674	2,30800120796964	=ABS(D18-C18)
14	2,28	2,44052230569116	2,30222336220815	=ABS(D19-C19)
16	2,32	2,43662428935133	2,30204442792649	=ABS(D20-C20)
18	2,36	2,43391600038327	2,30698687563423	=ABS(D21-C21)
20	2,4	=C6	2,31661977981935	=ABS(D22-C22)
22	2,44	2,43210405095035	2,33054387637032	=ABS(D23-C23)
24	2,48	2,4330132940949	2,34838132706179	=ABS(D24-C24)
26	2,52	2,43513783064549	2,36976926167147	=ABS(D25-C25)
28	2,56	2,43847875867334	2,39435632763484	=ABS(D26-C26)
30	2,6	=C8	2,42180157043347	=ABS(D27-C27)
32	2,64	2,44880238915457	2,45177502666154	=ABS(D28-C28)
34	2,68	2,45577521395128	2,48395945994208	=ABS(D29-C29)

График интерполяционного многочлена Лагранжа и решения дифференциального уравнения.

Приложение В.

Метод наименьших квадратов. Аппроксимация квадратичной функции.

i	x4	x3	x2	x	yi*x2	yi*xi	yi	f(x)	д(xi)
0	=B2^4	=B2^3	=B2^2	=B2	=C2*H2	=B2*C2	=C2	=$B$32*H2+$B$31*I2+$B$30	=(M2-L2)^2
1	=B3^4	=B3^3	=B3^2	=B3	=C3*H3	=B3*C3	=C3	=$B$32*H3+$B$31*I3+$B$30	=(M3-L3)^2
2	=B4^4	=B4^3	=B4^2	=B4	=C4*H4	=B4*C4	=C4	=$B$32*H4+$B$31*I4+$B$30	=(M4-L4)^2
3	=B5^4	=B5^3	=B5^2	=B5	=C5*H5	=B5*C5	=C5	=$B$32*H5+$B$31*I5+$B$30	=(M5-L5)^2
4	=B6^4	=B6^3	=B6^2	=B6	=C6*H6	=B6*C6	=C6	=$B$32*H6+$B$31*I6+$B$30	=(M6-L6)^2
5	=B7^4	=B7^3	=B7^2	=B7	=C7*H7	=B7*C7	=C7	=$B$32*H7+$B$31*I7+$B$30	=(M7-L7)^2
6	=B8^4	=B8^3	=B8^2	=B8	=C8*H8	=B8*C8	=C8	=$B$32*H8+$B$31*I8+$B$30	=(M8-L8)^2
7	=B9^4	=B9^3	=B9^2	=B9	=C9*H9	=B9*C9	=C9	=$B$32*H9+$B$31*I9+$B$30	=(M9-L9)^2
8	=СУММ(F2:F9)	=СУММ(G2:G9)	=СУММ(H2:H9)	=СУММ(I2:I9)	=СУММ(J2:J9)	=СУММ(K2:K9)	=СУММ(L2:L9)	д=	=(СУММ(N2:N9)/8)^0,5
a33	a11	a21=a12	a13=a31=a22	a23=a32	b1	b2	b3

Графики решения дифференциального уравнения, интерполяционного многочлена и аппроксимирующей функции.

Список используемой литературы

Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. Физматлит. Невский диалект.Лаборатория базовых знаний. Москва-Санкт-Петербург - 2002. - 632 с.

Бахвалов Н.С., Лапин А.В., Чижонков Е.В. Численные методы в задачах и упражнениях. М.: Высшая школа, 2000. - 190 с.

Волков Е.А. Численные методы. М.: Наука. 1987.

Лапчик М.П. Численные методы: Учеб. Пособие длястуд.вузов/М.П.Лапчик, М.И.Рагулина, Е.К.Хеннер; Под ред. М.П. Лапчика. - М.: Издательский дом «Академия», 2004.

Ракитин В.И., Первушин В.Е. Практическое руководство по методам вычислений с приложением программ для персональных компьютеров. М.: Высшая школа, 1998, 383 с.

Размещено на Allbest.ru

...