История открытия комплексных чисел

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Определение понятия комплексные числа

Коммплемксные числа (устар. Мнимые числа), -- расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается . Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма , где и -- вещественные числа, -- мнимая единица.

Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле -- это означает, что многочлен степени n с комплексными коэффициентами имеет ровно n комплексных корней (основная теорема алгебры). Это одна из главных причин широкого применения комплексных чисел в математических исследованиях.

2. Почему появились комплексные числа?

Процесс расширения понятий числа от натуральных к действительным был связан как с потребностями практики, так и с нуждами самой математики. Сначала для счёта предметов использовались натуральные числа. Затем необходимость выполнения деления привела к понятию дробных положительных чисел; далее, необходимость выполнения вычитания - к понятиям нуля и отрицательных чисел; наконец, необходимость извлечения корней из положительных чисел - к понятию иррациональных чисел. Все перечисленные операции выполнимы на множестве действительных чисел. Однако остались и невыполнимые на этом множестве операции, например извлечение квадратного корня из отрицательного числа. Значит, имеется потребность в дальнейшем расширении понятий числа, в появлении новых чисел, отличных от действительных.

Геометрически действительные числа изображаются точками на координатной прямой: каждому числу соответствует одна точка прямой («образ» действительного числа). Координатная прямая сплошь заполнена образами действительных чисел, т. е. «на ней нет места для новых чисел». Возникло предположение о том, что геометрические образы новых чисел нужно искать не на прямой, а на плоскости.

Комплексным числом называется всякая упорядоченная пара действительных чисел a и b . Два комплексных числа (a;b) и (c;d) называются равными тогда и только тогда, когда a=c и b=d.

Алгебраическая форма комплексного числа. Запись a+bi называется алгебраической формой комплексного числа z=(a; b); при этом число a называется действительной частью комплексного числа z, а bi - его мнимая часть. Основное свойство числа i состоит в том, что произведение i * i равно -1, т. е.

Если мнимая часть комплексного числа a+bi отлична от нуля, то такое число называется мнимым; если при этом a=0 , т. е. число имеет вид bi, то оно называется чисто мнимым; если у комплексного числа a+bi мнимая часть равна нулю, то получается действительное число a.

3. История возникновения комплексных чисел и их роль в процессе развития математики

Комплексные числа возникли в математике в начале XVI века в связи с решением алгебраических уравнений 3-ей степени, а позднее, и уравнений 2-ой степени. Некоторые итальянские математики того времени (- Сципион дель Ферро, Николо Тарталья, Джироломо Кардано, Рафаэль Бомбелли) ввели в рассмотрение символ v-1 как формальное решение уравнения х2+1=0, а также выражение более общего вида (а+b•v-1) для записи решения уравнения (х-а)2+b2=0. Впоследствии выражения вида (а+b•v-1) стали называть «мнимыми», а затем «комплексными» числами и записывать их в виде (а+bi) (символ i для обозначения v-1 ввел Леонард Эйлер в XVIII в.). Этих чисел, чисел новой природы оказалось достаточно для решения любого квадратного уравнения (включая случай D < 0), а также уравнения 3-ей и 4-ой степени.

Математики XVI в. и следующих поколений вплоть до начала XIXвека относились к комплексным числам с явным недоверием и предубеждением. Они считали эти числа «мнимыми» (Декарт), «несуществующими», «вымышленными», «возникшими от избыточного мудрствования» (Кардано)… Лейбниц называл эти числа «изящным и чудесным убежищем божественного духа», а v-1 считал символом потустороннего мира (и даже завещал начертать его на своей могиле).

Однако использование аппарата комплексных чисел (несмотря на подозрительное к ним отношение), позволило решить многие трудные задачи. Поэтому со временем комплексные числа занимали все более важное положение в математике и ее приложениях. В первую очередь они глубоко проникали в теорию алгебраических уравнений, существенно упростив их изучение. Например, один из трудных вопросов для математиков XVII-XVIII веков состоял в определении числа корней алгебраического уравнения n-ой степени, т.е. уравнения вида a0•xn+a1•xn-1+…+an-1•x+an=0. Ответ на этот вопрос, как оказалось, зависит от того, среди каких чисел - действительных или комплексных - следует искать корни этого уравнения. Если ограничиться действительными корнями, то можно лишь утверждать, что их не больше, чем n. А если считать допустимым наличие и комплексных решений, то ответ на поставленный вопрос получается исчерпывающий: любое алгебраическое уравнение степени n (n?1) имеет ровно n корней (действительных или комплексных), если каждый корень считать столько раз, какова его кратность (а это - число совпадающих с ним корней). При n?5 общее алгебраическое уравнение степени n неразрешимо в радикалах, т.е. не существует формулы, выражающей его корни через коэффициенты с помощью арифметических операций и извлечения корней натуральной степени.

После того как в XIX в появилось наглядное геометрическое изображение комплексных чисел с помощью точек плоскости и векторов на плоскости (Гаусс в 1831 г, Вессель в 1799 г, Арган в 1806 г), стало возможным сводить к комплексным числам и уравнениям для них многие задачи естествознания, особенно гидро- и аэродинамики, электротехники, теории упругости и прочности, а также геодезии и картографии. С этого времени существование «мнимых», или комплексных чисел стало общепризнанным фактом и они получили такое же реальное содержание, как и числа действительные. К настоящему времени изучение комплексных чисел развилось в важнейший раздел современной математики - теорию функций комплексного переменного (ТФКП).

Символ предложил Эйлер (1777, опубл. 1794), взявший для этого первую букву слова лат. imaginarius. Он же распространил все стандартные функции, включая логарифм, на комплексную область. Эйлер также высказал в 1751 году мысль об алгебраической замкнутости поля комплексных чисел. К такому же выводу пришел д'Аламбер (1747), но первое строгое доказательство этого факта принадлежит Гауссу (1799). Гаусс и ввёл в широкое употребление термин «комплексное число» в 1831 году, хотя этот термин ранее использовал в том же смысле французский математик Лазар Карно в 1803 году.

4. Действия над комплексными числами

1. Существует элемент i (мнимая единица) такой, что = - 1.

2. Символ a + bi называют комплексным числом с действительной частью a и мнимой частью bi, где a и b - действительные числа, b - коэффициент мнимой части.

Комплексное число a + 0i отождествляется с действительным числом a, т.е. a + 0i = a, в частности, 0 + 0i = 0. Числа вида bi (b № 0) называют чисто мнимыми.

Например, комплексное число 2 + 3i имеет действительную часть - действительное число 2 и мнимую часть 3i, действительное число 3 - коэффициент мнимой части.

Комплексное число 2 - 3i имеет действительную часть число 2, мнимую часть - 3i, число - 3 - коэффициент при мнимой части.

5. Значение комплексных чисел

комплексный число математика

Комплексные числа широко применяются не только в математике, но также в физике и технике. Стало ясно, что комплексные числа полезны во многих вопросах, где имеют дело с величинами, которые изображаются векторами.

Кроме того, применение комплексных чисел позволяет удобно и компактно сформулировать многие математические модели, применяемые в математической физике и в естественных науках -- электротехнике, гидродинамике, картографии, квантовой механике, теории колебаний и многих других.

Литература

1. «Математика» Гусев В.А., Мордкович А.Г.(«Просвещение» 1990 г.);

2. «Справочник по элементарной математике» М.Я. Выгодский (Москва 1966 г.);

3. «Энциклопедический словарь юного математика» (http://lib.ru)

Размещено на Allbest.ru