Осевая симметрия

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

В последнее десятилетие у большинства учеников школ России значительно снизился интерес к изучению геометрии. В то же время эта удивительная наука чрезвычайно увлекательна и полезна для развития воображения и формирования строгой логики. К тому же этот предмет отличается примечательной особенностью - все понятия геометрии наглядно представимы, система их четко структурируется и может быть изложена в доступной форме.

При систематическом изучении школьного курса геометрии обычно начинают с изучения планиметрии, а затем приступают к изучению стереометрии, изучающей пространственные фигуры. Основными понятиями школьного курса планиметрии являются точка, прямая, плоскость и расстояние (между двумя точками или от точки до точки), а также некоторые общематематические понятия, такие, как множество, отображение множества на множество и некоторые другие.

Целью данной курсовой работы является исследование возможности применения преобразований плоскости к решению задач планиметрии школьного курса.

Задачи курсовой работы:

1) Изучение свойств преобразований плоскости;

2) Примеры решения задач с использованием преобразований плоскости;

3) Проанализировать школьные учебники геометрии.



1. Отображение плоскости на себя

Определение 1: Отображенем плосости на себя называется такое преоброзование, что каждой точке исходной плоскости сопоставляется какая-то точка этой же плоскости, причем любая точка плоскости оказывается сопоставленой другой точке.

Определение 2: Если при отображении плоскости на себя фигура F преобразовывается в фигуру F', то говорят, что фигура F' - образ фигуры F, а фигура F - прообраз фигуры F'.

Определение 3: Если одним отображением фигура F переводится в фигуру F', а затем фигура F' переводится в фигуру F'', то отображение, переводящее F в F'' называется композицией двух отображений.

Определение 4: Неподвижной точкой отображения называется такая точка A которая этим отображением переводится сама в себя.

Отображение, все точки которого неподвижные называется тождественным отображением. Если при данном отображении разным точкам фигуры соответствуют разные образы, то такое отображение называется взаимно однозначным. Пусть фигура F' получена из фигуры F взаимно однозначным отображением f, то можно задать отображение обратное отображению f, которое определяется так: композиция отображения f и отображения, обратного f является тождественным отображением. Существует множество видов отображения плоскости на себя, рассмотрим некоторые из них:

1. Движения

Существуют движения первого и второго рода:

Движения 1 го рода:

· Параллельный перенос

· Поворот вокруг точки

Движения 2 го рода:

· Осевая симметрия

· Центральная симметрия

2. Подобие

Гомотетия

Подробнее рассмотрим каждое из них и применим к решению различных задач.



2. Движения

Определение 1: Движением называется отображение плоскости на себя при котором сохранаяются все расстояния между точками. Движение имеет ряд важных свойств:

1. Образом трех точек, лежащих на одной прямой будут являться три точки, лежащие на одной прямой, а образом трех точек, не лежащих на одной прямой будут являться три точки, не лежащие на одной прямой.

2. При движении образом отрезка является отрезок.

3. При движении образом луча является луч, образом прямой - прямая.

4. Образом треугольника является треугольник.

5. Движение сохраняет величины углов.

6. При движении сохраняются площади многоугольных фигур.

7. Движение обратимо. Отображение, обратное движению является движением.

8. Композиция двух движений также является движением.

Используя определение движения можно дать такое определение равнества фигур:

Определение 2: Две фигуры называются равными, если одна из них является образом другой при некотором движении.

Виды движений

На плоскости существуют четыре типа движений:

1. Параллельный перенос.

2. Осевая симметрия

3. Поворот вокруг точки

4. Центральная симметрия

Рассмотрим подробнее каждый вид:



2.1 Параллельный перенос

преобразование планиметрия плоскость геометрия

Определение 3. Параллельным переносом плоскости на вектор называется такое отображение плоскости на себя, при котором каждая точка М плоскости переходит в такую точку М`, что MM` =

Для обозначения параллельного переноса на вектор обычно используют символ . Если при переносе на вектор образом точки М является точка М`, то пишут (M) = M`.

Рассмотрим основные свойства параллельного переноса:

1. При параллельном переносе образом прямой является прямая

2. Образом прямой является прямая ей параллельная

3. При параллельном переносе плоскости сохраняется простое отношение трех точек.

4. Образом отрезка является отрезок.

5. Образом угла является равный ему угол.

6. При параллельном переносе образом ортонормированного репера является ортонормированный репер.

7. Композиция двух параллельных переносов есть параллельный перенос.

8. Множество всех параллельных переносов образует группу относительно композиции переносов.

Далее рассмотрим как данное движение применяется в решении задач:

Задачи:

Пример1 Найти площадь ромба, зная длину d его большей диагонали и величину б острого угла при вершине.

Решение. Применим параллельный перенос на вектор АC. При этом вершина В ромба ABCD перейдет в некоторую точку B`



Рассмотрим прямоугольный треугольник DBB`. Заметим, что площадь ромба ABCD равна площади треугольника DBB`. Поскольку АС=d, ?BAD = б, то? DB`B BB` =d. Откуда получаем, что BD = d ?tg. Следовательно, Значит

Пример 2. Определить площадь треугольника, если две стороны АВ и ВС, соответственно, равны 13 см и 15 см, а медиана ВМ, проведенная к третьей стороне, равна 6 см.

Решение. Применим параллельный перенос на вектор ВC. Тогда точка А перейдет в некоторую точку A`

Важно заметить, что площадь треугольника АВС равна площади треугольника A`AB. Поскольку в треугольнике A`AB известны длины всех сторон:

AB=13, A`B=12, AA`=15, то по формуле Герона находим, что

Следовательно, = 20.



2.2 Осевая симметрия

Определение 4. Осевой симметрией с осью d называется такое отображение плоскости на себя, при котором образом каждой точки М является такая М`, что отрезок MM` пересекает прямую d под прямым углом и в точке их пересечения делится пополам

Формулы осевой симметрии:

Свойства осевой симметрии

1. При осевой симметрии образом прямой является прямая, образом параллельных прямых являются параллельные прямые

3. Осевая симметрия сохраняет простое отношение трех точек.

3. При осевой симметрии отрезок переходит в отрезок, луч - в луч, полу-

плоскость - в полуплоскость.

4. При осевой симметрии угол переходит в равный ему угол.

5. При осевой симметрии с осью d всякая прямая, перпендикулярная оси d остается на месте.

6. При осевой симметрии ортонормированный репер переходит в ортонормированный репер. При этом точка М с координатами х и у относительно репера R переходит в точку M` с теми же самыми координатами х и у, но относительно репера R`.

7. Осевая симметрия плоскости переводит правый ортонормированный репер в левый и, наоборот, левый ортонормированный репер - в правый.

8. Композиция двух осевых симметрий плоскости с параллельными осями есть параллельный перенос на вектор, перпендикулярный данным прямым, длина которого в два раза больше расстояния между данными прямыми

Задачи:

Пример 1. На биссектрисе внешнего угла С треугольника АВС взята точка М. Доказать, что АС + СВ < АМ + МВ.

Решение. В данном случае в качестве оси симметрии можно принять прямую, содержащую биссектрису внешнего угла ?С треугольника АВС.

При симметрии, определяемой этой прямой, образом точки В является точка В`, лежащая на прямой АС. Рассмотрим треугольник AМB`, который определяется вершиной А данного треугольника, точкой М и точкой B`

Применяя неравенство треугольника, получаем, чтоAМ + МВ` > АВ`. Поскольку MB`=MB, а АВ` = АС + ВС, то требуемое неравенство доказано.

Пример 2. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС точка Е является центром вписанной окружности. Прямые СЕ и ВЕ пересекают окружность, описанную около треугольника АВС в точках D и F. Доказать, что ЕDAF - ромб.

Решение. Применим осевую симметрию с осью АЕ



Поскольку точки А и Е лежат на оси, значит, они инвариантны, т.е. перходят в себя; равнобедренный треугольник АВС и окружность, описанная около него, тоже переходят в себя; биссектриса СЕ угла АСВ переходит в биссектрису ВЕ угла АВС. Следовательно, точки D и F переходят друг в друга. Таким образом, мы показали, что прямая АЕ является осью симметрии четырехугольника ЕDAF (рис. 3.4). Для того чтобы доказать, что этот четырехугольник является ромбом, достаточно показать, что треугольник ADE равнобедренный. По условию задачи ВЕ - биссектриса угла АВС, значит, ?ABF = ?FBC. Поскольку эти углы вписаны в окружность и опираются на дуги AF и FC, то эти дуги также равны. С другой стороны, на эти же дуги опираются вписанные в окружность углы: ?ADF и ?FDC. Следовательно, ?ADF =35=?FDC. А это значит, что в четырехугольнике EDAF диагонали не только взаимно перпендикулярны, но и делят пополам углы при вершинах. Отсюда следует, что четырехугольник EDAF - ромб.

2.3 Поворот плоскости вокруг точки

Определение 5. Поворотом плоскости вокруг точки S на направленный угол б называется такое отображение плоскости на себя, которое каждую точку М плоскости переводит в такую точку M`, что SM = SM` и направленный угол ?MSM` равен б.

Точка S называется центром поворота, а направленный угол б - углом поворота.

Напомним, что угол называется направленным, если указано, какая из его сторон считается первой, а какая - второй.

Для обозначения поворота будем использовать символ .

Формулы поворота плоскости вокруг начала координат на заданный угол:

Свойства поворота плоскости вокруг точки

1. При повороте плоскости вокруг данной точки на заданный направленный угол образом прямой является прямая, образующая с данной прямой направленный угол, равный углу поворота.

2. При повороте вокруг данной точки на заданный направленный угол образом параллельных прямых будут параллельные прямые.

3. Поворот плоскости вокруг данной точки на заданный направленный угол сохраняет простое отношение трех точек.

4. При повороте плоскости вокруг данной точки на заданный направленный угол образом отрезкаявляется равный ему отрезок, луча - луч, полуплоскости - полуплоскость.

5. При повороте плоскости вокруг данной точки на заданный направленный угол образом ортонормированного репера R является ортонормированный R`.

При этом точка М с координатами х и у относительно репера R переходит в точку М` с теми же самыми координатами х и у, но относительно репера R`.

6. Композиция двух поворотов вокруг точки О есть поворот с центром в точке О.

8. Композиция двух осевых симметрий плоскости с непараллельными осями m1 и m2, пересекающимися в точке О и образующими направленный угол б, есть поворот плоскости вокруг точки О.

9. Всякий поворот плоскости вокруг точки О можно представить в виде композиции двух осевых симметрий, осью одной из них будет служить прямаяp, проходящая через центр О, а осью другой - прямая q, содержащая биссектрису угла, образованного образом m` луча m при повороте вокруг точки О на заданный угол и образом m`` луча m` при осевой симметрии с осью р.

Задачи

Пример 1. Два квадрата BCDA и BKMN имеют общую вершину В. Докажите, что медиана ВЕ треугольника АВК и высота ВF треугольника СBN лежат на одной прямой. (Вершины квадратов перечислены против часо - вой стрелки).

Решение. Для доказательства того, что медиана ВЕ и высота BF лежат на одной прямой, достаточно показать, что прямая ВЕ перпендикулярна прямой CN.

Применим поворот плоскости вокруг точки В на угол 90° против часовой стрелки. При этом повороте образом К будет вершина N, вершины С - вершина А. Обозначим через A` образ точки А при данном повороте. Отметим, что точки С, В и A` лежат на одной прямой, причем точка В делит пополам отрезок СA`. Поскольку поворот плоскости вокруг данной точки на заданный направленный угол сохраняет простое отношение трех точек, то середина Е отрезка АК перейдет в середину E` отрезка A`N. В силу того, что мы применяем поворот вокруг точки В на угол +90°, то ?ЕВE` = 90°. Далее рассмотрим треугольник СA`N. В этом треугольнике BE` - средняя линия. Значит, прямая ВЕ` параллельна прямой CN. Следовательно, прямая ВЕ перпендикулярна прямой CN, т.е. точки Е, В, F лежат на одной прямой.

Пример 2. На сторонах ВС и CD квадрата ABCD взяты точки М и К так, что периметр треугольника СМК равен удвоенной стороне квадрата Найдите величину угла МАК.

Решение.

Применим поворот плоскости вокруг вершины А на 90°, при котором вершина В перейдет в вершину D. Обозначим через M` образ точки М при этом повороте. Поскольку периметр треугольника СМК равен удвоенной стороне квадрата, то СМ + МК + СК = ВС + CD. Так как ВС = ВМ + МС, CD = СК + KD, то СМ + МК + СК = ВМ + МС + СК + КD. Откуда следует, что МК = ВМ + КD.

При повороте плоскости вокруг точки А на 90° отрезок ВМ переходит в отрезокDM`, отрезок АМ - в отрезок AM`, следовательно, МК = DM` + KD, АМ` = АМ. Но точка D лежит между точками M` и К, значит, DM` + KD = M`K. Таким образом, мы установили, что треугольники АМК и АМ`К равны. Следовательно,?МАК = ?М`АК = 45°.

Пример3Два одинаково ориентированных квадрата ABCD и AB₁C₁D₁ на плоскости имеют общую вершину A. Доказать, что центры O₁, О₂ этих квадратов и середины О₃ и О₄ отрезков A₁D и ВС₁ образуют квадрат.

Решение. Как известно четырехугольник является квадратом тогда и только тогда, когда при повороте плоскости вокруг середины одной из его диагоналей он переходит в себя. Для решения данной задачи воспользуемся аналитическим способом задания поворота. На плоскости зададим ПДСК с началом в точке А и единичными векторами и . Обозначим через угол между вектором и вектором . Тогда относительно заданной ПДСК А вершины квадратов ABCD и AB₁C₁D₁ имеют следующие координаты:

Зная координаты точек В и D, D иВ₁, А и С₁, В и D₁, найдем координаты середин этих отрезков.



Теперь найдем координаты середины О диагонали О₂О₄. Имеем:

Составим формулы поворота плоскости вокруг точки О на угол -90°. Получим, что

или

Поскольку, то формулы поворота плоскости вокруг точки о на угол -90 принимают следующий вид:



Найдем образ точки O₁ при повороте. Имеем:

Заметим, что образ точки О₁ при повороте совпадает с вершиной О₂. Теперь найдем образ этой вершины. Имеем:

Заметим, что образ точки О₂ при повороте совпадает с вершиной О₃. Теперь найдем образ этой вершины. Имеем:

Заметим, что образ точки О₃ при повороте совпадает с вершиной О₄. Аналогичным образом можно показать, что образ вершины О₄ при повороте совпадает с вершиной O₁. Следовательно, четырехугольник О₁О₂О₃О₄ есть квадрат.



2.4 Центральная симметрия

Определение 6. Центральной симметрией с центром в точке M0 называется такое отображение плоскости на себя, при котором образом точки М является точка M` такая, что отрезок MM` в точке M0 делится пополам.

Свойства центральной симметрии:

1. При центральной симметрии образом прямой, не проходящей через

центр симметрии, является параллельная ей прямая; плоскости, не проходящей через центр симметрии, - параллельная ей плоскость.

2. При центральной симметрии центр симметрии неподвижен.

4. При центральной симметрии плоскости всякая прямая, проходящая через центр симметрии, инвариантна.

5. При центральной симметрии сохраняется простое отношение трех точек, в частности, середина отрезка переходит в середину отрезка.

6. При Центральной симметрии образом отрезка является отрезок, луча - луч, полуплоскости - полуплоскость.

7. Центральная симметрия переводит ортонормированный репер R вортонормированный репер R`.

8. Центральная симметрия сохраняет ориентацию плоскости.

9. При центральная симметрии образом угла является равный ему угол;

10. Композиция двух центральных симметрий является параллельным переносом

11. Композиция параллельного переноса и центральной симметрии является центральной симметрией

Задачи:

Пример 1. В параллелограмме ABCD проведены прямые АА1 и СС1 так, что ?DAA1 = ?C1CВ (A1?CD, C1?AB). Докажите, что четырехугольник

AА1СС1 - параллелограмм



Решение. Применим центральную симметрию с центром в точке О - точке пересечения диагоналей параллелограмма ABCD. Под действием этой симметрии образом стороны ВС будет сторона DA; угла ?ВСС1 - угол ?DAA1.

Следовательно, образом точки А1 будет точка С1. А это значит, что диагонали АС и А1С1 четырехугольника АСА1С1 в точке их пересечения делятся пополам. Значит АСА1С1 - параллелограмм.

Пример 2. Доказать, что если ABCD и АВ1СD1 - параллелограммы, имеющие общую диагональ АС, причем точки В, В1, D, D1 не лежат на одной прямой, то четырехугольник ВВ1DD1 - параллелограмм.

Решение. Обозначим через О точку пересечения диагоналей АС и BD параллелограмма ABCD.

Поскольку параллелограмм AB1CD1 имеет с параллелограммом ABCD общую диагональ АС, то точка О является точкой пересечения и диагоналей АС и B1D1 параллелограмма AB1CD1. Рассмотрим центральную симметрию с центром в точке О. Так как при этой симметрии точки В и D, В1 и D1 переходят друг в друга, то диагонали четырехугольника AB1CD1 в точке их пересечения делятся пополам. Следовательно, AB1CD1 - параллелограмм.

Пример 3. Найдите координаты прообраза точки М`(2, -3, 7) при центральной симметрии с центром в точке пересечения прямых, заданных относительно прямоугольной декартовой системы координат Oxyz уравнениями:

Решение. Найдем координаты точки пересечения данных прямых. Для этого составим и решим систему уравнений:

составленную из какого-нибудь одного уравнения первой прямой, например второго, и параметрических уравнений второй прямой. В первое уравнение этой системы подставим вместо x, y, z их выражения через параметр t. В результате получим уравнение 2 ? (?4 + 7t) ? (3 + 4t) ? 3 = 0 с одной неизвестной t. Решив это уравнение, находим, что t = 0. Подставив полученное значение t в параметрические уравнения второй прямой, найдем координаты точки А (2, -4,3) пересечения данных прямых. Точка А является центром симметрии, значит она делит пополам отрезок MM`. Координаты точки M` нам известны. Используя формулы центральной симметрии, находим, что ее прообраз М относительно прямоугольной декартовой системы координат Оxyz имеет следующие координаты: M (2, -5, -1).

3. Подобие

Определение: Подобием с коэффициентом k>0 называется отображение плоскости, при котором любым двумя точкам X и Y соответствуют такие точки X' и Y', что X'Y'=kXY.

Отметим, что при k=1 подобие является движением, то есть движение есть частный случай подобия.

Фигура F называется подобной фигуре F' с коэффициентом k, если существует подобие с коэффициентом k, переводящее F в F'.

Задача

Точка Q расположена на стороне MN треугольника LMN так, что NQ: QM = 1: 2. При повороте этого треугольника на некоторый угол вокруг точки Q вершина L переходит в вершину N, а вершина M - в точку P, лежащую на продолжении стороны LM за точку L. Найдите углы треугольника LMN.

Решение.

Используя подобие треугольников NQL, NLM и PQM, докажите, что треугольник QLM - прямоугольный.

Обозначим NQ = QL = x. Тогда QM = QP = 2x. Заметим, что NQL = PQM (угол поворота), поэтому QNL = QPM. Тогда треугольник NLM подобен треугольнику PQM, а значит, и треугольнику NQL. Из равенства отношений (отношение основания к боковой стороне в подобных равнобедренных треугольниках NQL и NLM) следует, что NL² = LQ^. MN = x^. 3x = 3x², NL = .

Таким образом, стороны треугольника QLM равны QL = x, QM = 2x и LM = NL =. Следовательно, этот треугольник - прямоугольный. Его углы равны

QLM = 90^o,QML = 30^o,LQM = 60^o.

а углы треугольника LMN равны 120^o, 30^o, 30^o.

Простейшим, но важным примером подобия является гомотетия

3.1 Гомотетия

Определение 2. Гомотетией плоскости с центром в точке О и коэффициентом k называется такое отображение плоскости на себя, в котором образом любой точи M является точка M` такую, что

Свойства гомотети

1. При гомотетии с центром в точке О и коэффициентом k прямая, проходящая через центр гомотетии, остается инвариантной.

2. При гомотетии с центром в точке О и коэффициентом k прямая, не проходящая через центр гомотетии, переходит в прямую, ей параллельную.

3. При гомотетии с центром в точке О и коэффициентом k в пространстве всякая плоскость, проходящая через центр гомотетии, остается инвариантной, а всякая плоскость, не проходящая через центр гомотетии, переходит в плоскость, ей параллельную.

4. Гомотетия с центром в точке О и коэффициентом k сохраняет простое отношение трех точек.

5. Гомотетия с центром в точке О и коэффициентом k переводит отрезок в отрезок, луч в луч, полуплоскость в полуплоскость.

6. Гомотетия с центром в точке О и коэффициентом k в пространстве переводит полупространство в полупространство.

7. Композиция двух гомотетий с коэффициентами k1 и k2 есть гомотетия с коэффициентом k1k2 и центром, лежащим на прямой, соединяющей центры этих гомотетий.

8. Гомотетия с центром в точке О и коэффициентом k является подобием с коэффициентом

Задачи:

Пример 1. Доказать, что прямая, проходящая через середины оснований трапеции, проходит через точку пересечения ее боковых сторон и точку пересечения ее диагоналей.

Решение. Рассмотрим гомотетию HSk с центром в точке S и коэффициентом . Под действием этой гомотетии отрезок ВС перейдет в отрезок AD.

По свойству гомотетии середина М отрезка ВС перейдет в середину N отрезка AD. Поскольку SN = kSM, то точки S, M, N принадлежат одной прямой

Теперь рассмотрим гомотетию , где m = - BC/AD. Под действием этой гомотетии отрезок ВС перейдет в отрезок AD, а середина М отрезка ВС перейдет в середину N отрезка AD. Так как , то точки О, М, N принадлежат одной прямой. Таким образом, установили, что точки S, M, N, O принадлежат одной прямой.



Заключение

Многие задачи планиметрии можно изящно и просто решать при помощи преобразований плоскости. Однако, значение преобразований плоскости заключается не только в изяществе и краткости решения задач, хотя и это весьма существенно. Не менее важно и то, что в результате применения преобразований плоскости при решении задач не редко обнаруживаются новые детали, удается сделать интересные обобщения и внести уточнения, которые подсказываются анализом полученных формул и соотношений.

Конечно, данная работа не может вместить в себя все теоремы и задачи. Здесь рассмотрены лишь некоторые темы, по каждой из которых были представлены задачи и их решения.

Подводя итоги, можно сделать вывод: преобразования плоскости в применении к решению задач планиметрии можно давать не только школьникам на факультативных занятиях, но и студентам высших учебных заведений.

Размещено на Allbest.ru

...