Размещено на http://www.allbest.ru/

26

Міністерство освіти і науки України

Курсова робота з математики

ІНТЕГРАЛ СТІЛТЬЄСА

Реферат

Курсова робота містить 22 стор., список використаної літератури з 5 джерел.

Узагальнені теоретичні матеріали щодо визначення сутності інтегралу Стілтьєса, умов його існування, класів інтегрованих за Стілтьєсом функцій, процесів зведення інтегралу Стілтьєса до інтегралу Рімана та методів обчислення інтегралу Стілтьєса.

Отримані результати мають практичну важливість при дослідженні методів пошуку інтегралів класу Стилтьєса в різних розділах вищої математики, теорії ймовірностей та фізики.

Перелік ключових слів: ВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ, ІНТЕГРАЛ РИМАНА, ІНТЕГРАЛ СТІЛТЬЄСА, СУМИ ДАРБУ, ІНТЕГРУВАННЯ ПО ЧАСТИНАХ, НЕПЕРЕРВНІ ФУНКЦІЇ, ФУНКЦІЇ З РОЗРИВАМИ ПЕРШОГО РОДУ.

Зміст

Вступ

1. Визначення інтегралу Римана та його розширення в формі інтегралу Стілтьєса

2. Існування інтегралу Стілтьєса

2.1 Загальні умови існування інтегралу Стілтьєса

2.2 Класи випадків існування інтегралу Стілтьєса

3. Властивості інтегралу Стілтьєса

4. Інтегрування за частинами

5. Зведення інтеграла Стілтьєса до інтегралу Римана

6. Обчислення інтегралів Стілтьєса

7. Приклади обчислення інтегралів Стілтьєса

Висновки

Список використаних джерел

Вступ

Томас Іоаннес Стілтьєс (1856) -- нідерландський математик, запропонував в 1894 р. узагальнення визначеного інтеграла Римана, член-кореспондент Петербургської Академії наук з 1894 р.

Інтеграл Стилтьєса виник як одне з математичних рішень фізичної „проблеми виміру моментів”. Сутність проблеми полягає в задачі вимірювання моментів маси, розподіленої за певною функціональною залежністю в точках уздовж осі. Така задача при пошуку моментів (момент статичний, момент інерції та моменти вищих порядків) приводить до пошуку приросту моментів при зростанні відстані від начального значення до кінцевого значення у вигляді визначеного інтегралу з двома підінтегральними функціями.

Нехай задана послідовність чисел ; потрібно знайти таку функцію розподілу , щоб члени заданої послідовності були моментами, тобто . Якщо a і b кінцеві, то поставлена задача називається проблемою моментів у кінцевому інтервалі; якщо , те одержуємо проблему моментів Стільєса.

Дана тема представлена в інтегральному численні і вивчається як додатковий розділ курсу математичного аналізу.

Метою роботи є вивчення умов існування, властивостей, методів обчислення інтеграла Стілтьєса. Відповідно до мети поставлені наступні завдання:

1. Ввести означення інтегралу Стілтьєса.

2. Визначити умови його існування та класи інтегрованих за Стілтьєсом функцій.

3. Вивчити процес зведення інтегралу Стілтьєса до інтегралу Рімана.

4. Розглянути приклади обчислення інтегралу Стілтьєса

1. Визначення інтегралу Римана та його розширення в формі інтегралу Стілтьєса

Інтеграл Стілтьєса (Th.J. Stieltjes Томас Іоанес Стілтьєс (нідерл. Thomas Joannes Stieltjes, 29.12.1856, -- 31.12.1894 Тулуза) -- нідерландський математик. Запрпонував у 1894 р. узагальнення визначеного інтегралу (Інтеграл Рімана-Стілтьеса). Член-кореспондент Петербурзької Академії наук (1894).) - є безпосереднім узагальненням звичайного інтегралу Римана, теорію якого викладемо в короткому стилі основних визначень.

Інтеграл Римана заснований на визначенні „верхніх” та „нижніх” сум Дарбу ( геометричне трактування наведене на рис.1.1 [3]).

Нехай функція визначена на проміжку , при цьому - певне розбиття проміжка де:

(1)

Рис.1.1. Геометричне трактування визначеного інтеграла Римана через поняття „верхніх” та „нижніх” сум Дарбу

Тоді, згідно рис.1.1, „верхня” та „нижня” суми Дарбу визначаються як:

- „верхня сума” (2)

- „нижня сума” (3)

де

- найбільше значення функції на проміжку (4)

- найменше значення функції на проміжку (5)

Визначення 1. Функція називається інтегрируємою (за Риманом) на проміжку , якщо існує таке число , що для любої послідовності розбиттів проміжка - , при якому та при любому вибору на інтервалі розбиття функції , де , виконується рівність

(6)

При виконанні умов (6) число називається визначеним інтегралом (за Риманом) функції на проміжку та визначається як .

Таким чином, визначений інтеграл Римана дорівнює [3]:

 (7)

Суми в виразі (7) називаються інтегральними сумами Римана.

Зв'язок інтегральних сум Римана та „верхніх” и „нижніх” сум Дарбу існує через теорему:

Для того, щоб обмежена на деякому проміжку функція була інтегрируєма на цьому проміжку необхідно та достатньо, щоб:

(8)

Наслідком чого є твердження, що якщо функція інтегрируєма на проміжку , то не тільки її інтегральні суми Римана, але і інтегральні суми Дарбу прагнуть до її визначеного інтеграла на цьому проміжку, якщо проміжок розбиття .

Геометрична інтерпретація визначеного інтегралу Римана (рис.1.1) через інтегральні суми (формула (7)) дає наступні властивості інтегралу Римана [3]:

а) якщо функція , то

(9)

б) Якщо функція інтегрируєма на проміжках та , при цьому проміжок формується як , то функція інтегрируєма на проміжку , при чому

 (10)

в) Якщо функції та інтегрируємі на проміжку , то їх сума також інтегруєма на проміжку , при чому

(11)

г) Якщо функція інтегрируєма на проміжку і с - постійна, то функція с* також інтегруєма на проміжку , при чому

(12)

д) Якщо функції та інтегрируємі на проміжку , то їх додаток також інтегруємий на проміжку , при чому

(13)

Теоретичне доведення існування визначеного інтегралу (13) через інтегральні суми Риманом було виконане, але визначити форму інтегралу добутку функцій через комбінацію інтегралів окремих функцій він не зміг.

Інтеграл Стілтьєса (або інтеграл Рімана-Стілтьєса) -- це узагальнення визначеного інтегралу Римана для однієї функції на визначеному проміжку [a,b], дане в 1894 році голландським математиком Томасом Стілтьєсом для двох обмежених функцій і на визначеному проміжку [a,b].

Інтеграл Стілтьєса визначається він наступним чином [5].

Нехай на проміжку [a,b] задані дві обмежені функції f(x) і g(x). Розкладемо точками

(14)

проміжок [a,b] на частини і покладемо . Обравши у кожній з частин [] (i=0,1,…,n-1) за точкою обрахуємо значення функції f(x) і помножимо його на відповідний проміжку [] приріст функції g(x)

Нарешті, складемо суму всіх таких добутків:

(15)

Ця сума має назву суми Стілтьєса.

Скінченна границя суми Стілтьєса , коли прямує до нуля називається інтегралом Стілтьєса функції f(x) no функції g(x) и позначається символом

(16)

Іноді, коли необхідно підкреслити, що інтеграл розглядається у сенсі Стілтьєса, вживають позначення (S) перед інтегралом

(S)

Границя тут розуміється в тому ж сенсі, що і у випадку зі звичайним визначеним інтегралом. Точніше кажучи, число I називається інтегралом Стілтьєса, якщо для будь-якого числа > 0 існує таке число >0, що як тільки проміжок [a,b] розбитий на частини так, що , одразу ж виконується нерівність , яким би чином не обиралися точки у відповідних проміжках.

При існуванні інтеграла (16) також говорять, що функція на проміжку інтегрувальна по функції . Очевидно, що єдина відміна даного визначення від звичайного визначення інтегралу Римана полягає в тому, що множиться не на приріст незалежної змінної, а на приріст другої функції.

Таким чином, інтеграл Римана є частковим випадком інтегралу Стілтьєса, коли в якості функції взято саму незалежну змінну : = [4].

2. Існування інтегралу Стілтьєса

2.1 Загальні умови існування інтегралу Стілтьєса

Встановимо загальні умови існування інтегралу Стілтьєса, обмежуючись припущенням, що функція монотонно зростає.

Звідси слідує, що при тепер всі , подібно тому, як раніше було . Це дозволяє послідовно замінюючи лише на повторити всі побудови.

Аналогічно до сум Дарбу, і тут доцільно ввести суми

, ,

де і M_i означають, відповідно, нижню і верхню точні межі функції в - тому проміжку . Ці суми будемо називати нижньою і верхньою сумами Дарбу-Стілтьєса. Перш за все, ясно, що (при одному й тому самому розбитті) , причому і служать точними межами для стілтьєсових сум . Самі ж суми Дарбу-Стілтьєса мають дві наступні властивості:

1. Якщо до наявних двох точок розбиття додати нові точки, то нижня сума Дарбу-Стілтьєса може від цього лише зрости, а верхня сума - лише зменшитися.

2. Кожна нижня сума Дарбу-Стілтьєса не перебільшує кожної верхньої суми, хоча б і такій, що відповідає іншому розбиттю проміжку.

Якщо ввести нижній і верхній інтеграли Дарбу-Стілтьєса:

і

то виявляється, що .

Нарешті, за допомогою сум Дарбу-Стілтьєса легко встановити для випадку, що розглядається, основну ознаку існування інтегралу Стілтьєса:

Теорема. Для існування інтегралу Стілтьєса необхідно і достатньо, щоб виконувалося

, або , (17)

якщо під , як зазвичай, розуміти коливання функції в -му проміжку .

2.2 Класи випадків існування інтегралу Стілтьєса

1. Якщо функція а функція має обмежену зміну, то інтеграл Стілтьєса

(S) (18)

існує.

Спочатку припустимо, що монотонно зростає, тоді за довільно заданим , враховуючи рівномірну неперервність функції , знайдеться таке , що на будь-якому проміжку, довжина якого менше , коливання буде менше за . Нехай тепер проміжок розбитий на частини так, що .

Тоді всі

< і ,

звідки й слідує виконання умови (17), а, отже, і існування інтеграла також.

У загальному випадку, якщо функція має обмежену зміну, її можна представити у вигляді двох зростаючих обмежених функцій: . У відповідності до цього, перетворюється і сума Стілтьєса, що відповідає функції :

Так, за вже доведеним, кожна із сум і при прямує до граничної межі, це справедливо і відносно суми , що і треба було довести.

Можна послабити умови, що накладаються на функцію якщо одночасно посилити вимоги до функції :

2. Якщо функція інтегрувальна на проміжку за Риманом, а задовольняє умові Ліпшиця [5]:

(19)

,

то інтеграл (18) існує.

Для того, щоб знов мати можливість застосувати встановлений вище критерій, припустимо спочатку функцію як таку, що не лише задовольняє умові (19), але і монотонно зростаючу.

Враховуючи (19), очевидно , так, що



Але остання сума при і сама прямує до нуля, як наслідок інтегровності (за Риманом) функції , а тоді прямує до нуля і перша сума, що доводить існування інтеграла (18).

У загальному випадку функції , що задовольняє умові Ліпшиця (19), представимо її у вигляді різниці

=.

Функція =, очевидно, задовольняє умові Ліпшиця, і в той же час монотонно зростає. Теж саме справедливо і для функції =, так як в силу (19), при

і

.

У такому випадку міркування завершено, як і в попередньому випадку.

3. Якщо функція інтегрувальна за Риманом, а функцію можна представити у вигляді інтеграла зі змінною верхнею межею інтегрування:

, (20)

де абсолютно інтегрувальна на проміжку , то інтеграл (18) існує.

Нехай , так, що монотонно зростає. Якщо інтегрована за власним змістом, і виходячи з цього, обмежена: , то для маємо

.

Таким чином, у цьому випадку задовольняє умові Ліпшиця, та інтеграл існує в силу (15). Припустимо тепер, що інтегрована у невласному сенсі. Обмежимося випадком однієї особливої точки, скажімо . Перш за все, за довільно взятим вибираємо так, щоб було

, (21)

де - загальне коливання функції на аналізуємому нами проміжку.

Розіб'ємо проміжок довільно на частини і складемо суму

.

Вона розкладається на дві суми , з яких перша відповідає проміжкам, що цілком містяться в проміжку , а друга - решті проміжків. Останні, скоріш за все, містяться в проміжку , якщо тільки ; тоді в силу (21),

.

З іншого боку, так як на проміжку функція інтегрувальна у власному сенсі, то за доведеним, при достатньо малому і сума стане меншою за . Звідси слідує (17), що і потрібно було довести.

У загальному випадку, коли функція абсолютно інтегрувальна на проміжку , ми розглянемо функції

,

очевидно, невід'ємні і інтегрувальні на даному проміжку. Так як

,

то питання зводиться до вже розглянутого випадку.

Зауваження. Нехай функція неперервна на проміжку і має, виключаючи лише скінчене число точок, похідну , причому ця похідна інтегрувальна (у власному чи невласному змісті) від до ; тоді, як відомо, має місце формула (20):

.

Якщо абсолютно інтегрувальна, то до функції повністю справедливо все викладене.

3. Властивості інтегралу Стілтьєса

З визначення інтегралу Стілтьєса безпосередньо випливають такі його властивості [2]:

1. ;

2. ;

3. ;

При цьому у випадках 2, 3 з існування інтегралів у правій частині випливає існування інтеграла у лівій частині. Далі маємо

4. ,

у припущенні, що і існують всі три інтеграли.

Для доведення цієї формули достатньо включити точку с в число точок розбиття проміжку , при складанні суми Стілтьєса для інтегралу .

Перш за все, з існування інтеграла уже випливає існування обох інтегралів і .

Для своєрідного граничного процесу, за допомогою якого для стілтьєсової суми отримується інтеграл Стілтьєса, має місце принцип збіжності Больцано-Коші. Таким чином по заданому враховуючи існування інтеграла знайдеться таке , що будь-які дві суми і , яким відповідають і , різняться менш ніж на . Якщо при цьому у склад точок розбиття включити точку с, а точки розбиття, що припадають на проміжок , брати в обох випадках одними й тими самими, то різниця зведеться до різниці двох сум Стілтьєса, що належать вже проміжку , бо решта доданків взаємно скорочуються. Застосовуючи до проміжку і обрахованим для нього стілтьєсовим сумам той же принцип збіжності, зробимо висновок про існування інтеграла . Аналогічним чином встановлюється і існування інтегралу . Але, важливо відмітити, що з існування обох інтегралів і , взагалі кажучи, не випливає існування інтегралу . Щоб упевнитися в цьому, достатньо розглянути приклад. Нехай на проміжку функції і задані наступними рівностями:

Легко побачити, що інтеграли

обидва існують і рівні 0, бо відповідні суми Стілтьєса всі рівні 0: для першого це випливає з того, що завжди =0, для другого - з постійності функції , завдяки чому =0.

У той же час інтеграл не існує. Дійсно, розіб'ємо проміжок так, щоб точка 0 не потрапила у склад точок розбиття, і складемо суму:

.

Якщо точка 0 потрапляє в проміжок , так, що , то в сумі залишиться лише один -й доданок; решта будуть нулі, тому що для . Отже,

.

В залежності від того, чи буде або , виявиться або , так що границі не має. Вказана своєрідна умова пов'язана з наявністю розривів у точці для обох функцій і [5].

інтеграл стілтьєс риман

4. Інтегрування за частинами

Для інтегралів Стілтьєса має місце формула [5]

- (22)

в припущенні, що існує один з цих інтегралів; існування іншого звідси вже випливає. Ця формула носить назву формули інтегрування за частинами. Доведемо її.

Нехай існує інтеграл . Розклавши проміжок [а, b] на частини [x_i , x_i+1] (i = 0, 1, ..., n -- 1), оберемо в цих частинах довільно по точці таким чином, що

Суму Стілтьєса для інтеграла

можна представити у вигляді

Якщо додати або відняти справа вираз то перепишеться так:

 (23)

Вираз у фігурних дужках представляє собою стілтьесову суму для інтеграла (існування якого припущено!). Вона відповідає розбиттю проміжку [а, b] точками ділення якщо в якості обраних з проміжків точок узяти x_i, а для проміжків , відповідно, а і b. Якщо, як зазвичай, покласти то тепер довжини всіх частинних проміжків не перевищать .

При сума у квадратних дужках прямує до , з чого слідує, що існує границя і для , тобто інтеграл і цей інтеграл визначається формулою (23) [ ].

5. Зведення інтеграла Стілтьєса до інтегралу Римана

Нехай функція f(x) неперервна на проміжку [a, b], a g(x) монотонно зростає в цьому проміжку, і притому в суворому сенсі. Тоді, як показав Лебег (Н. Lebesgue) [2], інтеграл Стілтьеса (S) за допомогою підстановки безпосередньо зводиться до інтегралу Римана (R).

Доведемо тепер, що

(24)

де останній інтеграл береться у звичайному сенсі, його існування забезпечено, так як функція g(v), а з нею і складна функція f(g^-1(v)) неперервні.

Для цього розкладемо проміжок [а, b] на частини за допомогою точок ділення

a=x₀<x₁<…<x_i<x_i+1<…<x_n=b

и складемо стілтьесову суму

Якщо покласти v_i = g(x_i) (i = 0, 1, . . ., n), то будемо мати

v₀<v₁< ... <v_i< v_i+1 < ... <v_n = V.

Так як х_i = g^-1 (v_i), то

Цей вираз має вигляд риманової суми для інтеграла

Маємо

і

так що

Припустимо тепер настільки малими, щоб коливання функції f(x) у всіх проміжках [x_і, х_і+1] були менше довільно наперед заданого числа > 0. Так як при , очевидно, , то одночасно і <.

В такому випадку

<

Цим доведено, що

звідки и слідує (24) [5].

6. Обчислення інтегралів Стілтьєса

Доведемо наступну теорему [5]:

1. Якщо функція f(x) інтегрована в сенсі Рімана на проміжку [a, b], a g(x) представлена інтегралом

де функція абсолютно інтегрувальна в [а,b], то

(25)

Існування інтеграла Стілтьєса при зроблених припущеннях уже було доведено вище.

Залишається лише з'ясувати рівність (25).

Без зменшення загальності можна припустити, що функція додатна.

Складемо суму Стілтьєса

Так як, з іншого боку, можна написати

то будемо мати

Очевидно, для буде , де означає коливання функції f(x) на проміжку [x_і, x_і+1]. Звідси витікає така оцінка записаної вище різниці:

Нам відомо, що при остання сума прямує до 0, з чого слідує, що

,

що і доводить формулу (25).

2. При тих самих припущеннях стосовно функції f(x) припустимо, що функція g(x) неперервна на всьому проміжку [а, b] і має в ньому, за виключенням лише скінченої кількості точок, похідну g'(x), яка на [а, b] абсолютно інтегрована. Тоді

(26)

Звертаючись до випадків, коли функція g(x) є розривною розглянемо спочатку «стандартну» розривну функцію р(х), яка визначається рівностями



Вона має розрив першого роду -- стрибок -- у точці х= 0 справа, причому величина стрибка (+0) - (0) дорівнює 1; в точці х =0 зліва і в решті точок функція неперервна. Функція (x - c) буде мати такий самий розрив у точці x=c справа; навпаки, буде мати подібний розрив у точці x=c зліва, причому величина стрибка дорівнює - 1.

Припустимо, що функція f(x) неперервна в точці х = с, і обчислимо інтеграл , де (при інтеграл рівний нулю).

Складемо суму Стілтьєса:

.

Нехай точка потрапляє, скажімо в -ий проміжок, так що . Тоді , а при , очевидно . Таким чином, уся сума зводиться до одного доданку . Нехай тепер . По неперервності . Виходячи з цього, існує (при )

(27)

Аналогічно можна упевнитися в тому, що (при )

 (28)

(при цей інтеграл перетворюється на нуль).

Тепер ми можемо довести дещо узагальнену на відміну від 2, а саме відмовимося від вимоги неперервності функції :

3. Нехай функція f(x) на проміжку неперервна,a g(x) має на цьому проміжку, виключаючи хіба лише скінчене число точок, похідну яка абсолютно інтегрувальна на . При цьому нехай функція g(x) у скінченому числі точок має розрив першого роду. Тоді існує інтеграл Стілтъєса, який виражається формулою

. (29)

Характерна тут наявність позаінтегральної суми, де фігурують скачки функції g(x) в точках або -- односторонні. (Якщо на будь-якій з цих функцій стрибка немає, то відповідний доданок суми перетворюється на нуль).

Для спрощення запису введемо позначення для стрибків функції g(x) cправа и зліва:

,

;

очевидно, для , .

Складемо допоміжну функцію:

,

Яка як би вбирає у себе усі розриви функції g(x), так що різниця , як ми зараз встановимо, виявляється вже неперервною.

Для значень відмінних від усіх , неперервність функції не викликає сумнівів, бо для цих значень неперервні обидві функції и . Доведемо тепер неперервність у точці справа. Усі доданки суми , окрім члена , неперервну при справа, тому достатньо вивчити поведінку виразу . При воно має значення ; але така ж і його границя при :

.

Аналогічно перевіряється неперервність функції в точці зліва.

Далі, якщо взяти точку х (відмінну від усіх ), в якій функція має похідну, то поблизу цієї точки зберігає постійне значення, виходячи з цього, у ній і функція має похідну, причому .

Для неперервної функції , за попередньою теоремою, існує інтеграл Стілтьєса

.

Так само легко обрахувати і інтеграл



=

=.

Додаючи почлено ці дві рівності, ми і прийдемо до рівності (29); існування інтеграла Стілтьєса від по функції встановлюється попутно [5].

7. Приклади обчислення інтеграла Стілтьєса

1) Обчислити за формулою (25) інтеграл:

Розв'язок,

2) Обчислити за формулою (29) інтеграли:

(а) , де

(б) , де

Розв'язок.

(а) Функція має стрибок 1 при і стрибок --2 при ; в решті точок . Тому .

(б) Стрибок 1 при и при (значення функції при не впливає на результат); у решті точок g(x) = 0.

Маємо:

.

3) Обрахувати за формулою (29) інтеграли:

(а) , (б) , (в) ,

де

Розв'язок. Функція має скачки рівні 1, при і . Похідна

Тому для варіанта а) відповідь:

(S)

Аналогічно, для варіантів б) та в) відповіді:

(S)

(S)

Висновки

Інтеграл, розглянутий в даній роботі, був введений нідерландським математиком Стілтьєсом в опублікованій першій частині роботи 1894 р., як результат розробки теорії ланцюгових дробів. В кінці 1894 р. вчений помер і подальша розробка на початку ХХ сторіччя теорії інтеграла Стілтьєса випала на інших математиків, таких, як Кениг, Марков, Ляпунов, Воронов, Рисс, Гильберт, Хелингер, причому кожний з них прийшов до поняття інтеграла Стільєса, відштовхуючись від різних задач.

Вперше в вітчизняній математичній літературі детальний аналіз класичного інтеграла Стілтьєса, як розвитку класичного інтегралу Римана, та галузей його застосування виконав в своїй монографії „Интеграл Стилтьеса” В.І. Гливенко (1936 р.), наступною роботою була монографія „Интеграл Стилтьеса и его приложения” Э.Х.Гохмана (1958 р.), після якої систематизований курс вик-ладення теорії інтеграла Стілтьеса та його розвитку навів в своєму 5-томному підручнику „Курс высшей математики” В.И.Смирнов (1959 р.). В 1966 році Г.М.Фіхтенгольц в своєму 3-томному підручнику „Курс дифференциального и интегрального исчисления” здійснив уточнене викладення теорії інтегралу Стілтьеса, яке і на сьогодні залишається математичною класикою, яка була використана при виконанні курсової роботи.

Подальший математичний аналіз умов використання різних видів обмежених, необмежених та розривних функцій в класичному інтегралі Стілтьєса привів до появи в математиці його розвитку у вигляді самостійних теорій інтегралів Лебега-Стільєса (обмеженої або необмеженої функції f(x) по будь-якій вимірній множині), Фурьє-Стілтьєса (неспадні обмежені функції на інтервалі , Коши-Стілтьєса (комплексні підінтегральні функції), Перрона-Стілтьєса.

Список використаних джерел

1. Гливенко В.И. Интеграл Стилтьеса / В.И. Гливенко. - М.-Л.: Объеди-ненное научно-техническое издательство НКТИ СССР, 1936. - 217 с.

2. Гохман Э.Х. Интеграл Стилтьеса и его приложения / Э.Х. Гохман. - М. : Физматгиз, 1958. - 191 с.

3. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа, т.1. / Л.Д. Кудрявцев. - М.: Высшая школа, 1965. - 568 с.

4. Смирнов В.И. Курс высшей математики (В 5-ти т.) том 5. / В.И.Смирнов - М.-Л.: Госиздательство физ.-мат. литературы, 1959 - 655с.

5. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления (В 3-х томах) т.3. / Г.М. Фихтенгольц. - М.: Издательство «Наука», Физматгиз, 1966 - 662 с.

Размещено на Allbest.ru

...