Анализ Фурье
Роль анализа Фурье в прикладной математике и технических науках, его применение - приближение непериодических функций с помощью периодических функций. Конечные и комплексные ряды Фурье. Ряды для непрерывного сигнала и сигналов на бесконечном интервале.
| Рубрика | Математика |
| Вид | курсовая работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 17.06.2013 |
| Размер файла | 1,1 M |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Ульяновский государственный университет
Инженерно-физический факультет высоких технологий
Кафедра физических методов в прикладных исследованиях
Курсовая работа
Анализ Фурье
ФИО студента Рузанов А.В.
ФИО преподавателя Жарков А.В.
Содержание
- Введение
- Роль анализа Фурье в прикладной математике и в технических науках. Фурье синтез
- Конечные ряды Фурье
- Комплексные ряды Фурье
- Ряды Фурье для непрерывного сигнала
- Ряды Фурье для сигналов на бесконечном интервале
- Приложения
- Список используемой литературы
Введение
Одной из тем, рассматриваемых в курсе математического анализа, является разложение функций в ряд Фурье. В основе этой теории лежит предположение о том, что любая сложная функция может быть представлена в виде сумы простых функций, такими функциями являются косинус и синус. Именно теория разложения различных видов функций является основой Фурье анализа и синтеза функций. Данная тема имеет очень важное значение, так как с помощью теоретических сведений полученных в результате ее изучения можно решать довольно широкий круг практических задач.
В данной курсовой работе будет рассмотрена теория разложения трех основных видов функций: конечный дискретный ряд, непрерывная периодическая функция, непрерывная апериодическая функция. Также будет показано, как для каждого из трех типов сигналов можно найти коэффициенты разложения Фурье и как по полученному разложению построить график функции.
В конце работы будет представлено приложение, в котором будут приведены примеры преобразований Фурье.
анализ фурье ряд интервал
Роль анализа Фурье в прикладной математике и в технических науках. Фурье синтез
Аналитические методы, развитые Жаном Батистом Жозефом Фурье (1768 - 1830), сыграли важную роль в развитии прикладной математики. Особенно важны они для трех приложений:
· для изучения периодических решений физических задач, описываемых дифференциальными уравнениями, особенно уравнениями в частных производных, например, для изучения волновых колебаний струн, или для передачи электромагнитных волн по кабелям;
· для приведения обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами к алгебраическим уравнениям;
· для приближения непериодических функций.
Основной областью занятий Фурье была математическая физика. В 1807 и 1811 он представил Парижской Академии Наук свои первые открытия по теории распределения тепла в твердом теле, а в 1822 опубликовал работу "Аналитическая теория тепла", сыгравшую большую роль в последующей истории математики. "Аналитическая теория тепла" Фурье и примененные в ней методы стали основой для создания теории тригонометрических рядов и разработки некоторых других общих проблем математического анализа. Фурье доказал, что всякую произвольно начерченную линию, составленную из отрезков дуг разных кривых, можно представить единым аналитическим выражением. Хотя Фурье и не доказал, что любую функцию можно разложить в тригонометрический ряд, но его попытки осуществить такое разложение были толчком к ряду исследований по этой проблеме. В последствии это привело к открытию нового метода анализа сигналов - Фурье анализа.
Основное применение Фурье анализа - это приближение непериодических функций с помощью периодических функций. В качестве примера приближения непериодической функции можно использовать детерминированную функцию времени , которую называют сигналом и которую нужно аппроксимировать с помощью выбранных подходящим образом периодических функций. Детерминированный сигнал является функцией, которая известна точно для всех моментов времени. Примерами детерминированных сигналов являются
или
Любую непериодическую функцию можно представить, используя любой класс периодических функций. В анализе Фурье такими функциями являются синусоидальная и косинусоидальная. Они обладают важным свойством ортогональности, так что коэффициенты можно находить независимо друг от друга. Фурье-синтез исходного сигнала из отдельных гармоник, это есть обратное Фурье-преобразование частичной суммы ряда Фурье.
Рисунок 1.
Обзорная схема Фурье-синтеза периодических функций.
Конечные ряды Фурье
Рассмотрим сигнал, заданный лишь в дискретные моменты времени. Его нужно разложить по периодическим функциям. Дискретный сигнал можно рассматривать как полученный из непрерывного сигнала длительности при отсчете значений сигнала через интервалы времени , (рис.2а). Это дает выбранных значений , где . Для удобства можно считать, что четное и равно , поэтому может изменяться по целым числам .
Рис. 2. а - дискретный сигнал, полученный выбиранием из непрерывного сигнала; б - основная синусоида и гармоники.
Периодические функции, проходящие через значения сигнала в указанные моментов времени, могут быть выбраны бесконечным множеством способов.
Например, конечный ряд Фурье
(2.1)
Содержит констант и , которые можно определить так, чтобы дискретные и непрерывные значения совпадали в точках , т.е. . Следовательно, функция даст приближение к исходной непрерывной функции в интервале . Заменяя на в (2.1) и пологая , получим систему уравнений для неизвестных констант. Уравнения имеют вид
(2.2)
Выбрав , можно сильно упростить решение системы уравнений (2.2), так как при этом синусы и косинусы будут ортогональны, т.е. будут удовлетворять следующим соотношениям:
(2.3)
Частота называется основной частотой сигнала ; она соответствует периоду, равному длине записи, как показано на (Рис.2б). Величина измеряется в периодах в секунду, или герцах, если измеряется в секундах.
Таким образом, функция в (2.1) составлена из суммы синусоидальных и косинусоидальных функций, частот которых кратны основной частоте , т.е. являются гармониками основной частоты. Наивысшей из частот является , что соответствует периоду, равному двум интервалам отсчета.
Коэффициенты или в случае можно найти, умножая обе части (2.2) на или и суммируя по , а затем воспользовавшись соотношениями ортогональности (2.3).
Окончательные выражения для коэффициентов следующие:
(2.4)
где является средним значением, или средним арифметическим, величин . Аналогичные выражения поучаются, когда число точек нечетно, например , при этом единственное отличие будет в том, что член исчезнет.
Иногда удобнее записывать (2.1) в виде
(2.5)
где , и , . называется амплитудой и - фазой m-й гармоники относительно некоторого произвольного начала отсчета времени.
Комплексные ряды Фурье
Приведенные выше формулы громоздки в обращении, поэтому в большинстве случаев для удобства в работе их записывают в комплексной форме.
Выразим сигнал через комплексные амплитуды , для этого воспользуемся формулой Эйлера, которая связывает показательную функцию от чисто мнимого аргумента с функциями косинуса и синуса
, (3.1)
и выразим и , получим:
, . (3.2)
Исходя из этих выражений, выразим сигнал через комплексные амплитуды , где
, . (3.3)
Таким образом, (2.2) можно записать в виде
, (3.4)
,
где звездочка означает комплексное сопряжение.
Тогда формулы (2.4) переходят в
, , (3.5)
Полученные формулы (3.4) и (3.5) легко можно привести к вещественному виду, взяв действительную и мнимую части. Например, беря действительную и мнимую части от (3.4), получаем синус - и косинус - преобразования (2.4).
Ряды Фурье для непрерывного сигнала
Предположим, что нужно получить представление Фурье для непрерывного сигнала на интервале от до .
Если в предыдущих формулах интервал отсчета устремить к нулю, то выбранные точки сигнала будут все полнее прослеживать непрерывный сигал .
Непрерывный сигнал , на который накладываются условия, чтобы он проходил через выбранные точки сигнала , должен при этом совпадать с , и поэтому в этом предельном случае представление Фурье будет точным представлением сигнала на интервале от до . Коэффициенты Фурье , определяемые в (3.5), можно переписать в виде
, (4.1)
и если и , так что , то , и сумма (4.1) стремится к интегралу
. (4.2)
Аналогично (3.4) стремится к
. (4.3)
Уравнение (4.3) называется представлением функции в виде ряда Фурье на интервале .
Ряды Фурье для сигналов на бесконечном интервале
До сих пор мы показали, что с помощью тригонометрических рядов можно представить два типа сигналов. Сигналы первого типа состояли из конечного числа ординат, отстоящих на сек друг от друга. Сигналы этого типа можно было бы представить на данном интервале с помощью непрерывного сигнала , образованного гармониками основной частоты Гц. Максимальной из присутствующих частот является Гц, и поэтому про сигнал говорят, что он имеет ограниченную полосу частот.
Сигналы второго типа были непрерывными сигналами, заданными на интервале . Сигналы такого типа можно представить на этом интервале с помощью некоторого сигнала, состоящего из бесконечного числа гармоник основной частоты Гц.
В более общем случае нужно рассматривать сигналы третьего типа, определенные на бесконечном интервале . Соответствующий подход является предельным случаем анализа Фурье, в котором рассматриваются неограниченно увеличивающиеся отрезки бесконечной записи. По мере того как стремится к бесконечности, частотный интервал между соседними гармониками становится бесконечно малым, что приводит к непрерывному распределению амплитуд по частоте.
Чтобы продемонстрировать эти предельные рассуждения, можно переписать (4.3) в виде
. (5.1)
В пределе, когда , , и . Поэтому (5.1) стремится к интегралу
. (5.2)
Аналогично (4.2) можно переписать в виде
, (5.3)
что стремится к
, (5.4)
когда . Функция называется преобразованием Фурье функции . Физически преобразование Фурье представляет собой распределение интенсивности сигнала по частоте, т.е. является функцией плотности. Таким образом, мы показали, что бывает три типа сигналов: сигналы, состоящие из конечного числа ординат, сигналы непрерывные на интервале и сигналы определенные на бесконечном интервале . Каждый из этих сигналов имеет как прямое, так и обратное преобразование Фурье; эти преобразования представлены в табл.1.
Таблица 1.
Краткая сводка формул преобразований Фурье
|
Описание |
Функция |
Преобразование |
Обратное преобразование |
|
|
Конечный дискретный ряд |
, |
, |
, |
|
|
Непрерывная периодическая функция |
, |
, |
, , |
|
|
Непрерывная апериодическая функция |
, |
, |
, |
Приложения
Приложение № 1
Пример. Даны данные табл. 2, которые дают интенсивность сигналов, отраженных от одного из слоев в ионосфере. Приведенные цифры являются осредненными по нескольким месяцам значениями интенсивности в фиксированное время суток.
Таблица 2
|
Время |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
|
|
Средняя интенсивность |
6 |
20 |
28 |
8 |
1 |
7 |
20 |
6 |
7 |
14 |
19 |
12 |
Задача:
1) найти коэффициенты Фурье;
2) построить линейчатый спектр Фурье;
3) произвести синтез функции.
1) Найдем коэффициенты Фурье для 12 измерений по формулам:
, , .
Например, коэффициент , получается следующим образом:
Найдем подобным образом остальные коэффициенты и запишем в табл.3.
Затем исходя из теоремы Парсеваля найдем вклад каждой гармоники в среднеквадратичное значение по формуле , где и также запишем полученные результаты в табл.3.
Получим:
Таблица 3
|
Источник |
Вклад в среднеквадратичное значение |
|||||
|
Среднее значение |
0 |
-3.667 |
0 |
3.667 |
13.44 |
|
|
Основная гармоника |
1 |
-0.475 |
5.584 |
5.604 |
62.81 |
|
|
2-я гармоника |
2 |
-2.250 |
-7.073 |
7.422 |
110.17 |
|
|
3-я гармоника |
3 |
-1.250 |
-0.250 |
1.275 |
3.25 |
|
|
4-я гармоника |
4 |
-0.667 |
0.577 |
0.882 |
1.56 |
|
|
5-я гармоника |
5 |
-1.775 |
-0.334 |
1.806 |
6.52 |
|
|
6-я гармоника |
6 |
-3.500 |
0 |
3.500 |
12.25 |
|
|
Полное количество |
210.00 |
2) Для того, чтобы построить линейчатый спектр Фурье нужно нанести на график среднюю мощность гармоники против частоты этой гармоники. Построим график по данным таблицы 3, получим:
Рис. 2
3) Синтез функции является операцией противоположной преобразованию Фурье. Для того чтобы произвести синтез, воспользуемся формулой обратного преобразования Фурье для конечного дискретного ряда и запишем следующую функцию:
С помощью математического пакета MathCAD построим график данной функции, получим:
или от времени:
Рис. 3
Для сравнения можно построить график данной функции по данным табл. 2 в Microsoft Excel, получим:
Рис. 4
Таким образом, мы показали, что с помощью разложения функции на сумму косинусов и синусов можно получить довольно точное ее представление.
Приложение №2
Программа №1. (Вычисление коэффициентов Фурье для конечного дискретного ряда).
// ---------------------------------------------------------------------------
#include <clx. h>
#include <conio. h>
#include <iostream. h>
#include <math. h>
#include <stdio. h>
#pragma hdrstop
// ---------------------------------------------------------------------------
#pragma argsused
int main (int argc, char* argv [])
{
cout<<"Programma vichiseniay koefficientov Fyrie";
int N=12;
cout<<"\nVvedite kollichestvo dannix N: ";
cin>>N;
int n=N/2;
int *r=new int [N];
cout<<"\nr: ";
for (int i=0; i<=N-1; i++)
{
r [i] =-n+i;
cout<<r [i] <<" ";
}
cout<<"\nm: ";
for (int i=0; i<=n; i++) cout<<i<<" ";
int *znach=new int [N];
for (int i=0; i<=N-1; i++)
{
cout<<"\nVvedite "<<i+1<<" znachenie ";
cin>>znach [i];
}
double var=0;
double *A=new double [n+1];
cout<<"\nKoefficient A [m]: ";
for (int m=0; m<=n; m++)
{
for (int j=0; j<=N-1; j++)
{
var=var+znach [j] *cos (2*3.14159*m*r [j] /N);
}
A [m] =var/N;
var=0;
cout<<"\nA ["<<m<<"] ="<<A [m];
}
cout<<"\n";
double *B=new double [n+1];
cout<<"\nKoefficient B [m]: ";
B [n] =0;
for (int m=0; m<=n-1; m++)
{
for (int j=0; j<=N-1; j++)
{
var=var+znach [j] *sin (2*3.14159*m*r [j] /N);
}
B [m] =var/N;
var=0;
cout<<"\nB ["<<m<<"] ="<<B [m];
}
cout<<"\nB ["<<n<<"] ="<<B [n] <<"\n";
cout<<"\nSrednekvadratichnoe znachenie ";
double *R=new double [n];
for (int i=0; i<=n; i++)
{
if (i==0 | i==n)
{
R [i] =pow (A [i],2);
}
else
{
R [i] =2* (pow (A [i],2) +pow (B [i],2));
}
}
for (int i=0; i<=n; i++)
{
cout<<"\nR ["<<i<<"] ="<<R [i];
}
getch ();
return 0;
}
// ---------------------------------------------------------------------------
Результат выполнения программы для данных представленных в примере №1 приложения:
Список используемой литературы
1. Дженкинс Г., Ваттс Д. Спектральный анализ и его приложения - М.: Мир, 1971.
2. Дьяконов В.П. Справочник по математике для научных работников и инженеров. - М.: Наука, Физматлит, 1973.
3. Жуков А.И. Метод Фурье в вычислительной математике. - М.: Наука, Физматлит, 1992.
4. Смирнов В.И. Курс высшей математики. - М.: Наука, Физматлит, 1974.
5. Толстов Г.П. Ряды Фурье. - М.: Наука, Физматлит, 1980.
6. Фихтенгольц Г.М. Курс интегрального и дифференциального исчисления III том. - М.: Наука, 1970.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Векторные пространства, скалярное произведение и норма функций, ортогональные системы функций, равенства и тригонометрический ряд Фурье. Сходимость интеграла Фурье, основные сведения теории преобразования. Операционное исчисление, преобразование Лапласа.
учебное пособие [1,2 M], добавлен 23.12.2009Разложение в ряд Фурье. Определение функции и нахождение коэффициентов разложения. Проведение замены в интеграле. Условия теоремы о разложении функции в ряд Фурье. Примеры взятия интеграла по частям. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций.
презентация [73,1 K], добавлен 18.09.2013Образование множеством функций системы ортонормированных функций, условия ортогональности для заданной системы. Разложение в тригонометрический и комплексный ряды Фурье пилообразного сигнала. Генерирование программного произвольного дискретного сигнала.
контрольная работа [378,6 K], добавлен 14.01.2016Общее определение коэффициентов по методу Эйлера-Фурье. Ортогональные системы функций. Интеграл Дирихле, принцип локализации. Случай непериодической функции, произвольного промежутка, четных и нечетных функций. Примеры разложения функций в ряд Фурье.
курсовая работа [296,3 K], добавлен 12.12.2010Введение новых динамических систем и их решений, специальных функций эллиптических и тета-функций, зависящих от одного параметра, разложение эллиптических функций Якоби в ряды Фурье (теоремы разложения). Рассмотрение их связи с функцией Вейерштрасса.
курсовая работа [1,9 M], добавлен 26.04.2011Условия разложения функций для тригонометрического ряда. Определение коэффициентов разложения с помощью ортогональности систем тригонометрических функций. Понятие периодического продолжения функции, заданной на отрезке. Ряд Фурье функции у=f(x).
презентация [30,4 K], добавлен 18.09.2013Общая характеристика математической модели радиотехнического сигнала. Значение спектрального разложения функций в радиотехнике. Работа вещественных одномерных детерминированных сигналов и система синусоидальных и косинусоидальных гармонических функций.
курсовая работа [1,0 M], добавлен 13.08.2011Алгоритм вычисления преобразования Фурье для дискретного случая. Дискретное преобразование Фурье. Спектральное представление и спектральные характеристики периодического сигнала, четной непериодической функции и произвольного непериодического сигнала.
курсовая работа [932,9 K], добавлен 23.01.2022Изучение способов работы с файлами с помощью автоматического преобразования данных. Решение иррациональных уравнений методами хорд и половинного деления. Вычисление определенного интеграла. Решение систем линейных алгебраических уравнений. Ряды Фурье.
курсовая работа [759,3 K], добавлен 16.08.2012Элементарные многоэкстремальные функции, направления их исследования и вычисление основных параметров. Сравнительный анализ ЭМЭФ-преобразования и преобразования Фурье. Механизм и значение обнаружения слабого сигнала на фоне сильной низкочастотной помехи.
статья [126,0 K], добавлен 03.07.2014Определение числа гармоник разложения функций в ряд Фурье, содержащих в сумме не менее 90% энергии. Построение амплитудного и фазового спектров функции, графика суммы ряда. Расчет среднеквадратичной ошибки между исходной функцией и частичной суммой Фурье.
контрольная работа [348,5 K], добавлен 13.12.2011Свойства дискретного преобразования Фурье, представленные в виде математических формул, которые наиболее адекватно соответствуют цифровой технике обработки информации. Алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ), его значение для программирования.
учебное пособие [223,6 K], добавлен 11.02.2014Алгоритм введения понятия ряда Фурье, опирающийся на моделирование физических задач в теоретическом курсе высшей математики для студентов физико-математических и инженерно-технических специальностей вузов. Функции и свойства рядов, их физический смысл.
курсовая работа [1,8 M], добавлен 20.05.2015От анализа Фурье к вейвлет-анализу. Некоторые примеры функций вейвлет-анализа в MATLAB. Построение систем полуортогональных сплайновых вейвлет. Применение вейвлет-преобразований для решения интегральных уравнений. Вейвлеты пакета wavelet toolbox.
дипломная работа [1,5 M], добавлен 12.04.2014Нахождение спектральных составляющих дискретного комплексного сигнала. Быстрое преобразование Фурье с прореживанием по времени. Методы сокращения числа комплексных умножений. Вычислительные процедуры, уменьшающие количество умножений и сложений.
презентация [133,3 K], добавлен 19.08.2013Рассмотрение задач с двойными и тройными интегралами, применение к ним геометрического и симплекс методов решения; описание теоретической и практической части. Разложение функции в ряд Фурье по синусам и определение наибольшего и наименьшего значения.
курсовая работа [185,1 K], добавлен 28.04.2011Бесселевы функции с любым индексом. Формулы приведения для бесселевых функций. Интегральное представление бесселевых функций с целым индексом. Ряды Фурье-Бесселя. Асимптотическое представление бесселевых функций для больших значений аргумента.
курсовая работа [617,8 K], добавлен 22.09.2008Дискретный периодический сигнал, представленный рядом Фурье. Прямое и обратное дискретное преобразование. Его свойства: линейность и симметрия. Алгоритм вычисления круговой свертки сигналов. Равенство Парсеваля для них. Связь ДПФ с Z-преобразованием.
презентация [72,0 K], добавлен 19.08.2013Интеграл Фурье в комплексной форме. Формулировка теоремы о сходимости интеграла для кусочно-гладких и абсолютно интегрируемых на числовой прямой функции. Примеры нахождения преобразования Фурье, сверстка и преобразование, спектр, некоторые приложения.
курсовая работа [231,5 K], добавлен 27.08.2012Преобразования Фурье, представление периодической функции суммой отдельных гармонических составляющих. Использование преобразований как для непрерывных функций времени, так и для дискретных. Программа и примеры реализации алгоритмов с прореживанием.
реферат [1,6 M], добавлен 25.05.2010
