Особенности современной математической логики

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФГБОУ ВПО «Уральский государственный экономический университет»

Центр дистанционного образования

Контрольная работа

по дисциплине: Логика

тема: Особенности современной логики

Направление: Экономика

Профиль: Экономическая безопасность

логика математический силлогизм классический

2013 год

Тема 5. ОСОБЕННОСТИ СОВРЕМЕННОЙ ЛОГИКИ

Логика как самостоятельная наука сложилась в IV в. до н.э. Ее основателем считается древнегреческий философ Аристотель (384-322 гг до н.э.). Он систематизировал известные до него сведения, и эта система стала впоследствии называться традиционной или Аристотелевой логикой.

В логике Аристотеля содержались элементы математической (символической) логики, в его работах прослеживаются начала исчисления высказываний, а его учение о силлогизме составило основу логики предикатов - одного из направлений современной математической логики.

В XIX в. - начале XX в. на смену традиционной логике пришла современная логика, называемая также математической или символической логикой. Развитие математики выявило недостаточность Аристотелевой логики и поставило задачу о ее дальнейшем построении на математической основе. Впервые в истории идеи о таком построении логики были высказаны немецким математиком Готфридом Лейбницем (1646 - 1716гг) в конце XVII века. Он считал, что основные понятия логики должны быть обозначены символами, которые соединяются по определенным правилам, и это позволяет всякие рассуждения заменить вычислением. Во второй половине XIX в. подлинную революцию в логике совершило широкое применение разработанных в математике методов: алгебраических, аксиоматического метода, метода формализованных языков, исчислений и формальных семантик. Это направление разрабатывается в трудах Дж. Буля, У.С. Джевонса, П.С. Порецкого, Г. Фреге, Ч. Пирса, Б. Рассела, Я. Лукасевича и других математиков и логиков.

Джордж Буль (1815 - 1864гг) в своей работе «Исследование законов мысли» (1854г.) истолковывал умозаключения как результат решения логических равенств, в результате чего логическая теория приняла вид обычной алгебры и получила название алгебры высказываний. Буль рассматривал свою алгебру как инструмент изучения законов человеческого мышления.

Введение символических обозначений в логику имело для этой науки такое же решающее значение, как и введение буквенных обозначений для математики. Именно благодаря введению символов в логику была получена основа для создания новой науки - математической логики. Предметом математической логики служат рассуждения, при изучении которых она пользуется математическими методами.

Основными разделами современной математической логики (её классического варианта) являются логика высказываний, идущая от Дж. Буля и не охватывающая силлогистику Аристотеля, и значительно более широкая логика предикатов, содержащая силлогистику как часть. Современный вид математическая логика приобрела в трудах немецкого логика, математика и философа Готлоба Фреге (1848-1925гг). Его сочинение "Исчисление понятий" (1879) положило начало новой эпохе в истории логики. В нем Фреге с совершенно новых позиций пересмотрел ряд математических проблем, включая ясную трактовку понятий: функции и переменных. Он, по сути дела, изобрел и аксиоматизировал логику предикатов, благодаря своему открытию кванторов, использование которых постепенно распространилось на всю математику, тем самым сделав попытку свести математику к логике.

Традиционно ориентиром классической логики служит анализ математических рассуждений, поэтому ее особенности связаны именно им. В процессе развития классическая логика оказалась одной из семейства логических теорий. Ядром современной логики традиционно остается классическая логика, сохраняющая как теоретическую, так, и практическую значимость.

Разнообразные неклассические направления составляют целое, которое принято объединять под именем неклассической логики. Но для направлений неклассической логики классическая была первой изначальной теорией, последовательно и полно реализовавшей программу математизации логики.

Классическая логика стала объектом жесткой критики практически с момента своего зарождения. Интуиционист голландский математик и логик Л. Брауэр известен как один из самых известных критиков классической логики начала XX в. Во многих случаях критики оказалось, что реализованные в ней идеи обсуждались еще в античной и средневековой логике, но были забыты в новое время. В результате возник целый ряд новых разделов современной неклассической логики.

В 1908 г. Л. Брауэр подверг сомнению неограниченную приложимость в математических рассуждениях некоторых классических законов. Его рассуждения послужили основой для возникновения интуиционистской логики, основы которой сформулировал в 1930 г. А. Гейтинг. Он опубликовал работу с изложением особой интуиционистской логики. В этой логике не действует закон исключенного третьего, несомненный для классической логики. Отбрасывается также ряд других законов, позволяющих доказывать существование объектов, которые нельзя построить или вычислить. В число отвергаемых попадают, в частности, закон снятия двойного отрицания и закон приведения к абсурду, дающий право утверждать, что математический объект существует, если предположение о его несуществовании приводит к противоречию.

В дальнейшем идеи, касающиеся ограниченной приложимости закона исключенного третьего и близких ему способов математического доказательства, были развиты российскими математиками А.Н. Колмогоровым, В.А. Гливенко, А.А. Марковым и другими. В результате переосмысления основных предпосылок интуиционистской логики возникла конструктивная логика, также считающая неправомерным перенос ряда логических принципов, применимых в рассуждениях о конечных множествах, на область бесконечных множеств.

В 1912 г. американский логик и философ К. Льюис впервые разработал неклассическую теорию логического следования. Ее возникновение было обязано сомнительности, с точки зрения Льюиса, материальной импликации, что проявилось в так называемых парадоксах импликации. В основе теории логического следования Льюиса лежало понятие строгой импликации, определявшееся в терминах логической невозможности. Существует семейство теорий, описывающих логическое следование и условные связи корректнее, чем классическая логика. Наибольшую известность получила релевантная логика, развитая американскими логиками А.Р. Андерсоном и Н.Д. Белнапом. Смоделированная ими средствами логики условная зависимость свободна от парадоксов материальной и строгой импликации. Такая импликация получила название релевантной логики. Релевантная (уместная) импликация толкует условную связь в его обычном смысле. Само название отражает стремление выделить и систематизировать только уместные принципы логики. В рамках релевантной импликации невозможно утверждать, что истинное суждение может быть обосновано путем ссылки на любое высказывание и что с помощью ложного высказывания можно обосновать какое угодно высказывание. Ею можно связать только суждения, имеющие общее содержание.

К. Льюис в 1920-х гг. построил первые модальные логики, исследуемые логические связи модальных высказываний. Само понятие модальности толкуется как некоторая оценка суждения, или высказывания. Модальная оценка выражается через такие понятия, как: «необходимо», «доказуемо», «возможно», «обязательно», «опровержимо», «разрешено» и т. д., которые выступают функциями. Таким образом, модальное суждение - это характеристика суждения в зависимости от свойства (характера) устанавливаемой им достоверности. Другими словами, такие суждения различаются силой или степенью выраженной в нем необходимости, с которой предикат принадлежит субъекту.

Льюис в своих работах смог показать различие между связками, выражающими логическую необходимость, и связками, не выражающими необходимость, а также различие между материальной импликацией и строгой импликацией (1918 г.).

В 20-е гг. начала складываться многозначная логика, предполагающая, что утверждения являются не только истинными или ложными, но могут иметь и другие истинностные значения. Первые многозначные логики построили независимо друг от друга польский логик Я. Лукасевич в 1920 г. и американский логик Э. Пост в 1921 г. С тех пор построены и исследованы десятки и сотни таких «логик».

Я. Лукасевичем была предложена трехзначная логика, основанная на предположении, что высказывания бывают истинными, ложными и возможными, или неопределенными. Все законы трехзначной логики Лукасевича оказались также законами и классической логики; обратное, однако, не имело места. Ряд классических законов отсутствовал в трехзначной логике. Среди них были закон противоречия, закон исключенного третьего, законы косвенного доказательства и др. То, что закона противоречия не оказалось в трехзначной логике, не означало, конечно, что она была в каком-то смысле противоречива или некорректно построена.

Э. Пост подходил к построению многозначных логик чисто формально. Пусть 1 означает истину, а 0 - ложь. Естественно допустить тогда, что числа между единицей и нулем обозначают какие-то уменьшающиеся к нулю степени истины. '

Такой подход вполне правомерен на первом этапе. Но чтобы построение логической системы перестало быть чисто техническим упражнением, а сама система - сугубо формальной конструкцией, в дальнейшем необходимо, конечно, придать ее символам определенный логический смысл, содержательно ясную интерпретацию. Вопрос о такой интерпретации - это как раз самая сложная и спорная проблема многозначной логики. Как только между истиной и ложью допускается что-то промежуточное, встает вопрос: что, собственно, означают высказывания, не относящиеся ни к истинным, ни к ложным? Кроме того, введение промежуточных степеней истины изменяет обычный смысл самих понятий истины и лжи. Приходится поэтому не только придавать смысл промежуточным степеням, но и переистолковывать сами понятия истины и лжи.

Было много попыток содержательно обосновать многозначные логические системы. Однако до сих пор остается спорным, являются ли такие системы просто «интеллектуальным упражнением» или они все же говорят что-то о принципах нашего мышления.

В 1920-е гг. начали складываться также:

Деонтическая логика или логика норм, нормативная логика - раздел логики, исследующий логическую структуру и логические связи нормативных высказываний (норм). Анализируя рассуждения, посылками или заключениями которых служат такие высказывания, деонтическая логика отделяет необоснованные схемы рассуждений от обоснованных и систематизирует последние.

Деонтическая логика слагается из множества систем, или «логик», различающихся используемыми символическими средствами и доказуемыми утверждениями. Вместе с тем эти «логики» имеют общие черты. Предполагается, что все многообразные нормы имеют одну и ту же структуру. Выделяются четыре структурных «элемента» нормы: характер - норма обязывает, разрешает или запрещает; содержание - действие, которое должно быть, может быть или не должно быть выполнено; условия приложения; субъект - лицо или группа лиц, которым адресована норма. Не все структурные элементы нормы находят выражение в символическом аппарате деонтической логики.

Подход деонтической логики к структуре норм является предельно общим. Это позволяет распространить ее законы на нормы любых видов, независимо от их частных особенностей. Правила игры и грамматики, законы государства и команды, технические нормы, обычаи, моральные принципы, идеалы и т.д. - нормы всех этих видов имеют одинаковую логическую структуру и демонстрируют одинаковое «логическое поведение».

В деонтической логике понятия «обязательно», «разрешено» и «запрещено» обычно считаются взаимно определимыми.

Логика абсолютных оценок, является ветвью модальной логики, формулируется с помощью понятий «хорошо», «плохо» и «(оценочно) безразлично». Первая попытка создать логическую теорию абсолютных оценок («логику добра») была предпринята в 1920-е гг. Э. Гуссерлем. Однако впервые эта логика была сформулирована только в кон. 1960 - нач. 1970-х гг. (А.А. Ивин, Е. Калиновский, X. Вессель и др.).

В логике абсолютных оценок принимается, что позитивно ценное (хорошее, добро) и негативно ценное (плохое, зло) взаимно определимы: объект является хорошим, когда его отсутствие негативно ценно; объект является плохим, когда его отсутствие позитивно ценно.

Принимаемый обычно в логике абсолютных оценок принцип аксиологической полноты утверждает, что всякий объект является или хорошим, или безразличным, или лохим. Этот принцип справедлив только в случае предположения, что множество вещей, о ценности которых имеется определенное представление, совпадает со множеством всех вещей. Такое предположение не всегда оправданно. Другой важный принцип - принцип аксиологической непротиворечивости: противоречащие друг другу состояния не могут быть вместе хорошими (плохими).

Вероятностная логика - логика, в которой высказываниям приписываются не исключительно значения истины и лжи как в двузначной логике, а непрерывная шкала значений истинности от 0 до 1, так что, ноль соответствует невозможному событию, единица - практически достоверному. Значения истинности в вероятностной логике называются вероятностями истинности высказываний, степенями правдоподобия или подтверждения.

Проблематика вероятностной логики начала развиваться в древности, Аристотелем и в новое время Лейбницем, Булем, Джевонсом, Венном, в дольнейшем Г. Рейхенбахом, Р. Карнапом, Ч.С. Пирсом, в России П.С. Порецким, С.Н. Бернштейном.

В настоящее время вероятностная логика находит наибольшее применение в качестве современной формы индуктивной логики. Новым стимулом к возникновению систем вероятностной логики послужил прогресс в развитии приложений к искусственному интелекту.

Логика времени, раздел современной модальной логики, изучающий логические связи временных утверждений, в которых временной параметр включается в логическую форму. Логика времени начала складываться в 50-е годы XX в. прежде всего благодаря работам английского логика А.Н. Прайора, хотя первые попытки учесть роль временного фактора в логическом выводе относятся еще к античности.

Задачей логики времени является построение искусственных (формализованных) языков, способных сделать более ясными и точными, а следовательно, и более плодотворными рассуждения о предметах и явлениях, существующих во времени.

Логика времени представляет собой множество логических систем (логик), распадающихся на А-логику и B-логику времени. Первая ориентирована на временной ряд "прошлое - настоящее - будущее", вторая - на временной ряд "раньше - одновременно -позже".

Паранепротиворечивая логика. Название данного вида неклассической логики является определенным опровержением теории противоречия. Это логика, которая не позволяет выводить из противоречия произвольное суждение. В паранепротиворечивой логике противоречие интерпретируется иначе, чем в классической. Исключается возможность выводить из противоречия любое суждение, противоречие перестает быть угрозой разрушения теории. Подобный подход к противоречию сложился в конце 40-х гг., его автором стал польский логик С. Яськовский (1906-1965). Им была разработана «логика дискуссии», которая не позволяла выводить из противоречия произвольное суждение. Чуть позже была предложена более совершенная теория паранепротиворечивости бразильским логиком Н. де Костой. Отношением противоречия были озабочены и такие логики, как Н.А. Васильев (1880-1940) и Я. Лукасевич (1878-1956).исключающая возможность получать из противоречия все что угодно;

Эпистемическая логика, раздел модальной логики, исследующий логические связи высказываний, включающих такие понятия, как «полагает» («убежден»), «сомневается», «отвергает», «знает», «доказуемо», «неразрешимо», «опровержимо» и т.п.

Знание отличается от убеждения. Этому различию соответствует различие между двумя вариантами эпистемической логики: логикой знания и логикой убеждений. Каждая из этих «логик» слагается из логических систем, различающихся не только законами, но и исходными понятиями. Иногда к эпистемической логики относят лишь логику убеждений.

Логика знания имеет несколько вариантов. Наиболее интересным из них является сконструированный австрийским математиком К. Геделем, в котором исходным термином взято понятие «доказуемо»:

· если высказывание доказуемо, оно истинно (доказать можно только истину, доказательств лжи не существует);

· логические следствия доказуемого также являются доказуемыми;

· если нечто доказуемо, то доказуемо, что оно доказуемо;

· логическое противоречие недоказуемо и т.п.

Другим примером логики знания может служить логика истины, устанавливающая такие законы, как:

· если высказывание истинно, то неверно, что его отрицание также истинно;

· конъюнкция истинна, если и только если оба входящих в нее высказывания истинны и т.п.

В логике убеждений в качестве исходного обычно принимается понятие «полагает» («убежден», «верит»), через него определяются понятия «сомневается» и «отвергает»:

· субъект сомневается в чем-то, если только он не убежден ни в этом, ни в противоположном;

· субъект отвергает нечто, если только он убежден в противоположном.

Среди законов логики убеждений положения:

· субъект полагает, что первое и второе, если и только если он полагает, что первое, и полагает, что второе

· нельзя одновременно верить и сомневаться, быть убежденным и отвергать, сомневаться и отвергать;

· субъект или убежден, что дело обстоит так-то, или сомневается в этом, или отвергает это

· невозможно быть убежденным одновременно в чем-либо и в противоположном и т.п.

В формальных логиках аргументы представляются в искусственном или техническом языке, а аргументы (доводы), в том виде, как они используются в обыденном языке, изучает - неформальная логика.

В современной логике все более усиливается интерес к неформальной логике. Этот интерес идет в русле общего развития аналитической парадигмы от классической к неклассическим логикам и в дальнейшем - к неформальной логике. Основанием для такого пересмотра классической парадигмы являются, в частности, парадоксы, с которыми мы сталкиваемся при анализе контекстов, содержащих модальности и такие операторы, как «я знаю», «я думаю», - то есть интенсиональных контекстов. Впервые на это обратил внимание в своих работах У.Куайн. Введенные Г. Фреге в логический дискурс предметы: кванторной логики, неэкстенсиональных контекстов, теории значения, соединяясь вместе, порождают проблемы, что убедительно показал У.Куайн в своей критике модальной логики.

Джонсон и Блэр (1987) определяют неформальную логику как «ответвление логики, задачей которой является разработка неформальных стандартов, критериев и процедур для анализа, интерпретации, оценки, критики и построение аргументации в повседневном дискурсе».

Неформальную логику не следует противопоставлять формальной логике, тем более рассматривать ее как форму отрицания последней (что свойственно некоторым наиболее радикальным неформальным логикам). Неформальная логика анализирует "естественные" рассуждения, не стремясь подогнать их под стандартные структуры формальной логики, она чувствует себя более свободной в рассмотрении тех аспектов осуществления субъектом логических процедур, которые носят принципиально "антропологический" характер, являются следствием укорененности человека, рассуждающего о жизни, в самой этой жизни. В этом смысле неформальную логику можно рассматривать как реализацию "феноменологического" подхода в логике, а ее "недостаточная" теоретичность и отсутствие собственных формализованных методов делают ее более доступной для изучения и применения в реальной жизни.

Формальная, и неформальная логика ставят однотипные задачи - выявить структуру рассуждения и его элементов. В этом заключается их общность, позволяющая считать неформальную логику видом логики. Принципиальное отличие определяется тем уровнем абстракции, на котором представляется структура рассуждения, и теми оценками, с которыми подходят к рассуждению в этих двух логиках, а также отношением к использованию формализованных исчислений в качестве методов анализа. Формальная логика, следуя своей основной установке выявить логическую форму рассуждения, стремится максимально освободиться от естественного языка, в котором выражены посылки и заключения, "главная задача логики состоит в освобождении от языка и в упрощении" (Г.Фреге). Для неформальной логики характерно внимание к рассуждениям, выраженным в естественном языке, с присущими им естественной многозначностью, неопределенностью, незавершенностью.

Список литературы

1. Ивин А.А. Логика норм - М.: Издательство Московского ун-та, 1973. - 121 c.

2. Ивин А.А. Логика: Учебник для гуманитарных вузов. - М.: "ФАИР-ПРЕСС", 1999. - 320 с.

3. Ивин А.А. Логика. Учебное пособие. Издание 2-е. - М.: Знание, 1998. - 240 с

4. Ивин А.А. Импликации и модальности / РАН. Ин-т философии. - М.: ИФ РАН, 2004. - 126 с.

5. Ивин А.А. Основания логики оценок - М.: Издательствово Московского ун-та, 1970. - 230 с.

6. Ивин А. А. Логика: Учеб. пособие для студентов вузов - М.: ООО «Издательство Оникс»: ООО «Издательство «Мир и Образование», 2008. - 336 с.

7. Ивин А. А., Никифоров А. Л. Словарь по логике - М.: Туманит, изд. центр ВЛАДОС, 1997. - 384 с.

8. Философия. Энциклопедический словарь. Под ред. А.А. Ивина. - М., Гардарики, 2004. - 1072 с.

9. Неклассическая логика: учебное пособие. Сост. М.Д. Купарашвили. - Омск: Изд-во ОмГУ, 2006. - 74 с.

10. Клини С.К. Математическая логика. - М.: издательство Мир, 1973. - 480 с.

11. Стяжкин Н.И. Становление идей математической логики - М.: издетельство "Наука", 1964. - 304с.

Размещено на Allbest.ru