Уравнение Фредгольма первого и второго рода

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное агентство по образованию РФ

Белгородский государственный университет

Курсовая работа

по дисциплине «Уравнения математической физики»

Уравнение Фредгольма первого и второго рода

Выполнил студент группы 010701

Путягин. Д.В.

Проверил Солдатов А.П.

Белгород 2007

Содержание

Введение

1. Уравнение Фредгольма первого и второго рода. Основные понятия

1.1 Метод определителей Фредгольма

1.2 Пример нахождения резольвенты ядра

2. Рекуррентные соотношения

2.1 Пример нахождения резольвенты ядра с помощью рекуррентных соотношений

3. Метод последовательных приближений

3.1 Пример решения интегрального уравнения методом последовательных приближений

4. Физические примеры

4.1 Задачи, приводящие к уравнению Фредгольма первого рода

4.2 Задачи, приводящие к уравнению Фредгольма второго рода

Список литературы

Введение

определитель фредгольм резольвента рекуррентный приближение

Фредгольм (Fredholm) Эрик Ивар (7.4.1866, Стокгольм, 17.8.1927, Мёрбю), шведский математик. Окончил Стокгольмский университет (1893), с 1906 профессор там же. Основные труды по интегральным уравнениям. В 1900 изложил основные свойства и теоремы теории интегральных уравнений, разработал общие методы решения некоторых их видов (т.н. уравнения Фредгольма).

В работе изложены характерные особенности интегральных уравнений и их классификация. Она является одним из разделов математического анализа.

Чтобы охарактеризовать ее место в современной математической науке, прежде всего, необходимо подчеркнуть основные понятия интегральных уравнений.

Изучая какие-либо физические явления, исследователь, прежде всего, создает его математическую идеализацию или, другими словами, математическую модель, т.е. пренебрегая второстепенным характеристиками явления, он записывает основные законы, управляющие этим явлением, в математической форме. Очень часто эти законы можно выразить в виде интегральных уравнений. Такими оказываются модели различных явлений механики сплошной среды, химических реакциях, электрических и магнитных явлений, в электростатике, гидростатике и многих других разделов физики.

Целью моей работы является рассмотрение особенностей интегральных уравнений Фредгольма и изучение применения этого метода в механических и физических явлениях.

Проблемой исследования природных явлений в виде интегральных уравнений нужно, как правило, знать только локальные связи и не нужна информация обо всем физическом явлении в целом.

1. Уравнение Фредгольма первого и второго рода. Основные понятия

Линейным интегральным уравнением Фредгольма первого рода называется уравнение вида:

(1)

Линейным интегральным уравнением Фредгольма второго рода называется уравнение вида:

(2)

где ц(x)- неизвестная функция, k(x,t) и f(x)- известные функции, x и t действительные переменные, изменяющиеся в интервале (a,b), л- численный множитель.

Функция k(x,t) называется ядром интегрального уравнения (2); предполагается, что ядро k(x,t) определено в квадрате Щ(a?x?b,a?t?b) на плоскости (x,t) и непрерывно в Щ, либо его разрывы таковы, что двойной интеграл:

имеет конечное значение.

Если f(x)?0, то уравнение (2) называется неоднородным; если же f(x)?0, то уравнение (1) принимает вид:

 (3)

и называется однородным.

Пределы интегрирования в уравнениях (3) и (2) могут быть

как конечными, так и бесконечными.

Решением интегральных уравнений (3) и (2) называется любая функция ц(x), при подстановке которой в уравнения последние обращаются в тождества относительно x принадлежащий (a,b).

Пример. Показать что функция является решением интегрального уравнения Фредгольма:

,

где ядро имеет вид:

Решение. Левую часть уравнения запишем в виде:

Подставляя в полученное выражение вместо ц(x) функцию , будем иметь:

Итак, получим , а это означает, согласно определению, что есть решение данного интегрального уравнения.

1.1 Метод определителей Фредгольма

Решение уравнения Фредгольма второго рода:

(1)

дается формулой:

(2)

Где функция , называемая резольвентой Фредгольма уравнения (1), определяется равенством:

 (3)

При условии что D(л)?0. Здесь D(x,t;л) и D(л)- степенные ряды по л;

(4)

(5)

коэффициенты которых определяются формулами:

(6)

причем

(7)

Функция от D(x,t;л) называется минором Фредгольма, а D(л)- определителем Фредгольма. В случае, когда ядро k(x, t) ограничено или же интеграл

имеет конечное значение, ряды (4) и (5) сходятся для всех значений, л и значит являются целыми аналитическими функциями от л.

Резольвента

есть аналитическая функция от л, кроме тех значений л, которые являются нулями функции D(л).

1.2 Пример нахождения резольвенты ядра

С помощью определителей Фредгольма найти резольвенту ядра k(x,t)=xe^t ; a=0 ; b=1.

Решение. Имеем B₀(x,t)=xe^t.

Так как определители под знаком интеграла равны нулю. Очевидно, что и все последующие B_n(x,t)=0. Находим коэффициенты C_n:

Очевидно, что и все последующие C_n=0. Согласно формулам (4) и (5) в нашем случае имеем:

D(x,t;л)=k(x, t)= xe^t; D(л)=1-л.

Таким образом,

Применим полученный результат к решению интегрального уравнения:

(л?1)

Согласно формуле (2):

В частности, для f(x)=e^-x получаем:

2. Рекуррентные соотношения

Вычисление по формулам (1) и (2)

(1)

(2)

коэффициентов B_n(x,t) и C_n практически возможно лишь в очень редких случаях, но из этих формул получаются следующие рекуррентные соотношения:

(3)

(4)

Зная, что коэффициент C₀=1 и B₀(x,t)=k(x,t) по формулам (3) и (4) найдем последовательно C₁, B₁(x,t), C₂, B₂(x,t), C₃ и т.д.

2.1 Пример нахождения резольвенты ядра с помощью рекуррентных соотношений

Пользуясь формулами (3) и (4) найти резольвенту ядра k(x,t)=x-2t, где 0?x?1, 0?t?1.

Решение. Имеем C₀=1, B₀(x,t)= x-2t. Пользуясь формулой (9) найдем:

По формуле (3) получим:

Далее будем иметь:

C₃=C₄=…=0, B₃(x, t)=B4(x, t)=…=0

Следовательно,

Резольвента данного ядра будет:

3. Метод последовательных приближений

Мы докажем существование уравнения

(1)

(при достаточно малых |л|) методом последовательных приближений.

Для простоты выкладок будем предполагать, что:

ядро k(x, s) непрерывно в квадрате a?x, s?b; тогда оно ограничено некоторой константой А, |k|?А.

функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], следовательно, она ограничена на этом отрезке некоторой константой В, |f|?В.

Построим последовательность функций

ц ₁(x),ц₂(x),…,ц_n(x)

по следующему правилу:

(2)

где ц ₀(s) - произвольная фиксированная непрерывная функция.

(3)

(4)

Теорема 1. Последовательность (2) - (4) функций ц_n(x) равномерно сходится на отрезке [a, b], к функции ц(x), являющейся решением уравнения (1) при .

Доказательство:

Преобразуем формулы для получения ц_n(x). Подставляя функцию ц₁(x) в ц₂(x), получим:

Меняя в последнем интеграле порядок интегрирования, получим:

K₁(x, s)=k(x, s),

Аналогично находим:

Где

Предел функции ц_n(x), если он существует, равен сумме ряда:

 (5)

Докажем равномерную сходимость ряда. Для этого оценим интегралы:

Имеем

Поэтому

Следовательно, числовой ряд

(6)

является мажорантным для ряда (5). Если , то ряд (6) сходится. Следовательно, при таких л ряд (6) сходится, а вместе с ним и последовательность функций ц_n(x) равномерно сходится к функции . Эта функция является решением уравнения (1.) В самом деле, переходя в формуле (4) к пределу при n> ?, получим

Переход к пределу под знаком интеграла здесь закончен, так как последовательность сходится равномерно.

Заметим, что предел не зависит от выбора функции ц₀(x)(нулевого приближения). В самом деле, если существует еще одно решение ш(x) уравнения (1), то, полагая в процедуре построения функций (2) - (4) ц₀(x)= ш(x), получим

ц₁(x)= ш(x), ц₂(x)= ш(x),…, ц_n(x)= ш(x)…

Эта последовательность имеет пределом функцию . Но вместе с тем очевидно:

Таким образом, =ш(x). Теорема доказана.

Поскольку ряд (6) сходится при , то при таких же л сходится и ряд:



Но этот ряд является мажорантным для ряда:

(7)

Следовательно, ряд (7) сходится равномерно. Поэтому ряд (5) можно записать в виде:

Или

(8)

где функция

называется резольвентой уравнения (1).

3.1 Пример решения интегрального уравнения методом последовательных приближений

Решить интегральное уравнение , 0?x?1 методом последовательных приближений. Здесь k(x, t)=xt, a=0, b=1.

Решение. Последовательно найдем

K₁(x, t)=xt,

Согласно формуле

Получим

,

причем |л|<3 и в силу формулы:

решение данного интегрального уравнения запишется в форме:

, 0?x?1, л?3

В частности, при f(x)=x получим

, 0?x?1, л?3

4. Физические примеры

4.1 Задачи, приводящие к уравнению Фредгольма первого рода

Многие задачи математической физики приводят к линейным интегральным уравнениям. Рассмотрим некоторые примеры.

К интегральному уравнению Фредгольма первого рода приводит задача восстановления размытого изображения. Пусть при фотографировании объекта его изображение было сфокусировано не в плоскости эмульсионного слоя пленки, а на некотором малом расстоянии h от него. Обозначим: (A) -- плоскость фотопленки; (В) плоскость изображения объекта; R радиус объектива; f расстояние от линзы до плоскости (В); х и у координаты в плоскостях (A) и (В); v(x,y) -- освещенность в плоскости (A); u(х,у) -- освещенность в плоскости (В); S -- поверхность фотокадра. Тогда в рамках геометрической оптики получаем, что пучок лучей, сходящийся в точку на плоскости (В), в плоскости (.A) равномерно осветит круг Щ_r радиуса t = Rh/f.

Аналитически эта ситуация описывается так: сходящемуся в точку с координатами (о, з;) на плоскости (В) световому пучку, несущему единичный световой поток, соответствует освещенность u₀(х.у) = д(x-о, y-з); при этом в плоскости (A) получим освещенность v₀(х,у)=F[(x-о)²+(y-з)²]. Здесь д -- дельта-функция,



Отсюда, распределенной освещенности

в плоскости (B) соответствует освещенность в плоскости (А):

Это соотношение является интегральным уравнением Фредгольма первого рода, определяющим u(х,у) при заданной v(x,у). Измеряя на фотографии значение функции v(х, у) и решая полученное интегральное уравнение, можно восстанавливать неразмытое изображение u(х,у).

4.2 Задачи, приводящие к уравнению Фредгольма второго рода

К однородным интегральным уравнениям Фредгольма второго рода приводят задачи о собственных колебаниях систем, т.е. колебаниях при отсутствии внешней силы. Рассмотрим задачу о малых поперечных свободных колебаниях струны переменной плотности р(х). Пусть концы струны закреплены. Тогда для поперечных отклонений струны u(x,t) выполнено:

P(x)u_tt = A²u_xx , u(0, t)=0 , u(l, t)=0. (1)

Поставим задачу определить профиль струны при свободных гармонических колебаниях, т.е. будем искать решения вида u(x,t)= y(x)sin(щt). Значения щ, при которых существует решение такого типа, называются собственными частотами колебаний струны.

Для у(х) из (1) получаем задачу

, y(0)=0 , y(l)=0. (2)

Рассматривая правую часть уравнения (2) как неоднородность, записываем решение задачи (2) в форме

(3)

где G(x,s) -- функция Грина. Таким образом, поставленная задача свелась к определению тех значений щ, при которых существует нетривиальное решение однородного уравнения Фредгольма второго рода (3), и нахождению этих решений.

Список литературы

1. М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко: Интегральные уравнения; Издательство Наука, Москва 1968.

2. Б.А. Зон: Лекции по интегральным уравнениям; Москва «Высшая школа» 2004.

3. Васильева А.В., Медведев Г.Н., Тихонов Н.А., Уразгильдина Т.А. Дифференциальные и интегральные уравнения, вариационное исчисление в примерах и задачах. -- М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003.

4. Васильева А.Б., Тихонов Н.А. Интегральные уравнения. - 2-е изд., стереот. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002.

5. Манжиров А.В., Полянин А. Д. Методы решения интегральных уравнений: Справочник. -- М.: «Факториал».

6. Байков В.А., Жибер А.В. Уравнения математической физики. -- Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.

7. Лизоркин П.И. Курс дифференциальных и интегральных уравнений с дополнительными главами анализа. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981.

8. Шубин М.А. Лекции об уравнениях математической физики. -- 2-е изд., испр. -- М.: МЦНМО.

Размещено на Allbest.ru

...