Методы оптимальных решений

Размещено на http://www.allbest.ru/

Вариант №1

1. Найти и построить на координатной плоскости XY область определения функции двух вещественных переменных

+ln(xy).

Решение

Область определения задается неравенствами:

Первое неравенство - это, очевидно, внутренность эллипса (включая границы) с полуосями :

Второе неравенство представляет собой две области с уравнениями:

и

Объединяя полученные области, получим требуемую область определения данной функции (это области A и B):

2. Получить уравнения изолиний функции двух вещественных переменных z(x,y), построить их на координатной плоскости XY и вычислить вектор градиента функции в точке М(1,1). Найдите также в этой точке уравнение касательной плоскости к поверхности графика функции и соответствующего ей вектора единичной нормали: z(x,y)=x2 + 4y2 - 2x -16y + 20.

Решение

1) Изолинии, или линии уровня, имеют уравнения: , где С - постоянная величина. Задавая разные С, будем получать уравнения разных изолиний (очевидно, это эллипсы):

2) Градиентом функции в точке называется вектор с началом в точке имеющий своими координатами частные производные функции

Вычисляем:

, , , .

Итак, искомый градиент есть:

3) Уравнение касательной плоскости к поверхности в точке записывается в виде:

В нашем случае: .

Поэтому искомое уравнение имеет вид:

4) Нормальный вектор касательной плоскости есть: .

Орт вектора - это единичный вектор, совпадающий по направлению с вектором , и имеющий координаты, вычисляемые по формуле: .

Вычисляем:

.

3) Исследовать на экстремум функцию двух вещественных переменных: .

Решение

Найдем стационарные точки нашей функции , для чего приравняем нулю обе ее частные производные и решим соответствующую систему уравнений:

, , откуда: , ,

, откуда имеем четыре решения:

В области вещественных корней решений всего два. Но если мы поставим решение в систему уравнений, то получим, что . Поэтому, у нас всего одна стационарная вещественная точка: .

Вычислим в этой точке вторые частные производные функции

.

Имеем:

,

.

А т.к. , то наша функция имеет в этой точке экстремум, при этом и А и С положительны. Поэтому, точка - это точка минимума нашей функции.

4) Исследовать на условный экстремум функцию двух вещественных переменных z(x, y) = x + 2y, при наличии уравнения связи: x2 + y2 = 5 .

Решение

Для нахождения экстремумов функции двух переменных при наличии некоторых дополнительных условий (уравнения связи ) составляют функцию Лагранжа: и приравнивают нулю все частные производные этой функции:

,

,

.

Составим функцию Лагранжа в нашем случае:

.

Приравнивают нулю все частные производные этой функции:

, , ,

, , , ,

, , .

Для имеем: ,

для имеем: , т.е. имеем две точки условного экстремума.

5) Даны зависимости спроса D и предложения S от цены р. Найдите равновесную цену, выручку при равновесной цене. Найдите цену, при которой выручка максимальна, и саму эту максимальную выручку.

Данные: D = 400 - 20р, S = 70 + 10р.

Решение

Точка равновесия характеризуется равенством спроса и предложения, т.е. , откуда имеем: , откуда равновесная цена равна , и выручка при равновесной цене: .

При цене объем продаж и выручка определяются функцией спроса, а при цене - предложения. Необходимо найти цену , определяющую максимум выручки:

При максимум вычисляется из условия , поэтому , т.е. , а .

При максимум вычисляется из условия , поэтому , т.е. , а .

Таким образом, максимальная выручка достигается не при равновесной цене, а при цене .

6) Дядя Федор, кот Матроскин и Шарик создали в деревне «Простоквашино» частное фермерское хозяйство «Burenka». На местный рынок они решили поставлять коровье молоко по цене 38 руб. за литр и свежие куриные яйца по цене 20 руб. за десяток. Как показали экономические исследования кота Матроскина, издержки производства этой незамысловатой сельхозпродукции (связанные с закупкой комбикормов для коровы, кур и прочей живности, а также уплатой натуральных налогов почтальону Печкину) можно приблизительно описать формулой:

g(x,y) = 3x2 + 2y2 -- 4xy,

где x -- объем молока в литрах, которое дает корова Буренка за неделю, а y -- число десятков яиц, получаемых от кур несушек за тот же период. Используя эту информацию, требуется написать функцию чистой прибыли для хозяйства «Burenka» и рассчитать оптимальный бизнес-план: выяснить, сколько литров молока и сколько десятков яиц следует производить за неделю, чтобы чистая прибыль была бы максимальной. Найдите эту прибыль!

Решение

Очевидно, чистая прибыль за неделю описывается формулой:

.

Нужно найти максимум этой функции.

Найдем стационарные точки этой функции, для чего приравняем нулю обе ее частные производные и решим соответствующую систему уравнений:

, ,

откуда: , , .

Вычислим в этой точке вторые частные производные нашей функции. Имеем:

, , .

А т.к. , то наша функция имеет в этой точке экстремум, при этом и А и С отрицательны. Поэтому, точка - это точка максимума нашей функции, равного руб.

Итак, максимальная прибыль хозяйства «Burenka» равная 891 руб. будет получена при реализации 29 литров молока и 34 десятков яиц.

7) Научно-производственное объединение «Стрела» занимается изготовлением комплектующих изделий для предприятий ВПК. При изготовлении изделий типа A и типа B используются сталь и цветные металлы. Технологический процесс также включает обработку изделий на токарных и фрезерных станках. По технологическим нормам на производство одного изделия типа A и одного изделия типа B требуется определенное количество сырья и некоторый объем станко-часов для обработки на станках в цеху. Технологические данные производственного процесса приведены в таблице ниже.

В течение месяца цеха НПО «Стрела» располагает ограниченными ресурсами по сырью и по времени работы в производственных цехах (см. таблицу). Прибыль от реализации одного изделия типа А составляет 60 руб., а от единицы изделия типа В - 160 руб.

	Сырье, кг	Работа в цеху, станко-час	Прибыль от реализации, руб.
	Цветные металлы	Сталь	Токарные работы	Фрезерные работы
Изделие А	10	20	70	150	60
Изделие В	60	50	40	200	160
Ресурсы	6000	5700	10500	30000

Найти оптимальный план производства для НПО «Стрела» (количество изделий типа A и типа B), дающий наибольшую прибыль.

Решение

Пусть произведено количество изделий типа А - , а изделий типа В - . Тогда прибыль от реализации равна .

Ограничения по ресурсам:

Таким образом, получаем задачу линейного программирования:

,

Наиболее просто эта задача решается в Excel 2010 с помощью функции «Поиск решения».

Введем исходные данные в лист Excel:

В ячейки для целевой функции и для левых частей ограничений вводим соответствующие формулы:

Устанавливая курсор в целевую ячейку, с помощью команд меню Данные+Анализ+Поиск решения запускаем процедуру поиска оптимального решения, которая предлагает заполнить диалоговое окно «Поиск решения». Заполняем его следующим образом:

Нажимая кнопку параметры заполним соответствующее диалоговое окно следующим образом и нажмем кнопку ОК:



Теперь запускаем процедуру поиска кнопкой «Найти решение» и наблюдаем промежуточные результаты, нажимая кнопку «Продолжить»:

Т.к. задача имеет решение, то через конечное число итераций Excel нашел его и выдал результат. Таким образом, при целевая функция принимает свое наибольшее значение, равное 18000.

8) Автомобильный концерн "Кайзер", выпускающий автомобили марки "Родео" трех основных модификаций седан, хэтчбэк и универсал провел маркетинговые исследования и проанализировал объемы продаж машин за три сезона осень, зима, весна. В зависимости от времени года эксперты определили нормы прибыли (в условных единицах), которые могут быть записаны в виде матрицы выигрышей концерна "Кайзер":

	Стратегии	В1	В2	В3
А1 - выпуск автомобилей "Родео" типа седан	А1	4	2	3
А2 - выпуск автомобилей "Родео" типа хетчбэк	А2	2	5	1
А3 - выпуск автомобилей "Родео" типа универсал	А3	1	2	5

Конкурирующие стратегии (сезонный спрос на автомобили): В1 спрос на автомобили осенью; В2 спрос на автомобили зимой; В3 спрос на автомобили весной. Определить оптимальные смешанные стратегии для концерна «Кайзер» по выпуску автомобилей «Родео», обеспечивающие наибольшую прибыль в любое время года.

Решение

Платежная матрица имеет вид:

.

Нижняя цена игры б -- это максимальный выигрыш, который мы можем гарантировать себе, в игре против разумного противника, если на протяжении всей игры будем использовать одну и только одну стратегию (такая стратегия называется "чистой").

Найдем в каждой строке платежной матрицы минимальный элемент (это 2,1,1).

Затем найдем максимальный элемент среди найденных минимальных значений (это 2), это и будет нижняя цена игры.

В нашем случае нижняя цена игры равна: б = 2, и для того чтобы гарантировать себе выигрыш не хуже чем 2, мы должны придерживаться стратегии A1.

Верхняя цена игры в -- это минимальный проигрыш, который может гарантировать себе игрок "В", в игре против разумного противника, если на протяжении всей игры он будет использовать одну и только одну стратегию.

Найдем в каждом столбце платежной матрицы максимальный элемент (это 4,5,5).

Затем найдем минимальный элемент среди найденных максимальных значений (это 4), это и будет верхняя цена игры.

В нашем случае верхняя цена игры равна: в = 4, и для того чтобы гарантировать себе проигрыш не хуже чем 4 противник ( игрок "B") должен придерживаться стратегии B1.

Сравним нижнюю и верхнюю цены игры, в данной задаче они различаются, т.е. б ? в, платежная матрица не содержит седловой точки. Это значит, что игра не имеет решения в чистых минимаксных стратегиях, но она всегда имеет решение в смешанных стратегиях.

Смешанной стратегией называется случайная величина, значениями которой являются чистые стратегии с соответствующими им вероятностями. Смешанную стратегию игрока А удобно записывать в виде следующей подстановки:

, где .

Аналогично, смешанную стратегию игрока В также удобно записывать в виде следующей подстановки: , где .

Очевидно, что каждая чистая стратегия является частным случаем смешанной стратегии. А именно, чистой стратегии А1 соответствует подстановка:

а чистой стратегии В1 - подстановка:

В общем случае чистой стратегии Аi соответствует следующий набор вероятностей:

,

а чистой стратегии Bj - набор вероятностей

.

Будем считать, что для соблюдения секретности каждый из игроков применяет свои стратегии независимо друг от друга.

Итак, смешанные стратегии игроков А и В могут быть охарактеризованы заданием векторов вероятностей применения соответствующих стратегий:

P={p1, p2, … ,pm}, Q={q1, q2, … ,qn}.

функция изолиния математический модель

Следовательно, выбор игроком А стратегии Аi, а игроком В стратегии Bj, является случайным событием с вероятностью piqj (по теореме умножения независимых событий). Тогда математическое ожидание выигрыша будет равно:

.

Число M(A,P,Q) будем считать средним выигрышем игрока А в условиях смешанных стратегий.

Стратегии А* и В* :

, ,

называются оптимальными, если

M(A,P,Q*)?M(A,P*,Q*)?M(A,P*,Q)

Выигрыш, соответствующий оптимальному решению, называется ценой игры:

v=M(A,P*,Q*)

Цена игры удовлетворяет неравенству:

a?v?b

Решением матричной игры в смешанных стратегиях называется набор (P*,Q*,v), состоящий из оптимальных смешанных стратегий игроков и цены игры.

Использование в игре оптимальных смешанных стратегий обеспечивает первому игроку выигрыш, не меньший, чем при использовании им любой другой стратегии, а второму игроку - проигрыш, не больший, чем при использовании им любой другой стратегии.

Математические модели пары двойственных задач линейного программирования можно записать так.

Найти минимум функции (что соответствует максимальной цене игры, т.е. своему максимальному выигрышу) при ограничениях:

Здесь .

Найти максимум функции (что соответствует минимальной цене игры, т.е. своему минимальному проигрышу) при ограничениях:

Здесь .

Как и в задаче 7, используем Excel 2010 для решения:

Получим:

, ,

, , ,

, , .

Оптимальная стратегия игрока А: , игрока В: (0.24;0.4;0.36).

Итак, предприятие (автомобильный концерн "Кайзер") должно выпускать 52% продукции А1 (автомобили "Родео" типа седан), 28% продукции А2 (автомобили "Родео" типа хетчбэк), 20% продукции А3 (автомобили "Родео" типа универсал).

Оптимальный спрос в 24 % времени находится в состоянии В1(осень), в 40% времени находится в состоянии В2 (зимой), в 36% времени находится в состоянии В3 (весной). При этом математическое ожидание прибыли составит 2,84 ден. ед.

9) Фирма «Три Толстяка» занимается доставкой мясных консервов с трех складов, расположенных в разных точках города в три магазина. Запасы консервов, имеющихся на складах, а также объемы заказов магазинов и тарифы на доставку (в условных денежных единицах) представлены в транспортной таблице.

Найти план перевозок, обеспечивающий наименьшие денежные затраты.

Склады	Магазины	Запасы тыс.шт. ()
Склад №1 ()	1	2	3	100
Склад №2 ()	5	1	4	200
Склад №3 ()	4	2	1	300
Заказы тыс. шт. ()	250	250	100	Сумма=600

Решение

Под планом задачи будем подразумевать матрицу:

,

где - количество единиц груза, который необходимо перевести из пункта в пункт .

Записывая исходные данные задачи на языке формул, получим, что математическая модель сформулированной задачи, называемой транспортной задачей, имеет следующий вид:

требуется найти неотрицательную матрицу Х, удовлетворяющую условиям:

1) (), 2) ()

и доставляющую минимум целевой функции

,

где - транспортные расходы по перевозке единиц груза из пункта в пункт .

Известно, что транспортная задача имеет решение тогда и только тогда, когда выполнено условие баланса . В нашей задача это условие выполнено, следовательно, она имеет решение. Будем искать его, используя надстройку «Поиск решения» программы Excel 2010.

Введем исходные данные задачи в рабочий лист Excel следующим образом:

В ячейки для целевой функции, для суммы переменных по строкам и для суммы переменных по столбцам введены соответствующие формулы:

Устанавливая курсор в целевую ячейку, с помощью команд меню Данные+Анализ+Поиск решения запускаем процедуру поиска оптимального решения, которая предлагает заполнить диалоговое окно «Поиск решения». Заполняем его следующим образом:

Ограничения вводятся с помощью кнопки Добавить. Нажимая кнопку Параметры, заполним соответствующее диалоговое окно следующим образом и нажмем кнопку ОК:

Теперь можно запустить процедуру поиска оптимального решения кнопкой «Найти решение» и наблюдать промежуточные результаты, нажимая кнопку Продолжить.

Таким образом, найден оптимальный план перевозок:

от первого поставщика нужно везти 100 ед. груза первому потребителю;

от второго поставщика нужно везти 200 ед. груза второму потребителям;

от третьего поставщика нужно везти 150, 50, 100 ед. груза первому, второму и третьему потребителям.

При этом суммарная стоимость перевозок будет минимальной, равной 1100.

10) (модель Леонтьева)

Даны вектор С непроизводственного потребления и матрица А межотраслевого баланса. Найдите вектор валового выпуска, обеспечивающий данный вектор потребления

.

Решение

Известно, что . Вычисляем:

Получаем: .

11) (модель Неймана)

Дана матрицы А, В технологических процессов, вектор цен Р и вектор S начальных запасов. Найдите интенсивности z1 и z2 технологических процессов, максимизирующие стоимость выпуска процессов за один производственный цикл и эту саму максимальную стоимость

.

Решение

Пусть - вектор-столбец искомых интенсивностей, тогда для их нахождения имеем задачу линейного программирования: , , или в развернутом виде:



Т.е.:

,

Точка максимума (10;10) и максимальная стоимость продукции, которая может быть выпущена за один цикл, равна 520.

Размещено на Allbest.ru

...