Исследование фредгольмовой разрешимости смешанных задач для параболического уравнения

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Российской Федерации

Северо-Восточный федеральный университет им. М.К. Аммосова

Кафедра дифференциальных уравнений

ИССЛЕДОВАНИЕ ФРЕДГОЛЬМОВОЙ РАЗРЕШИМОСТИ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

Выполнила:

Иванова Ксения Григорьевна

Якутск, 2013.



Введение

Актуальность темы. Многие задачи классической математической физики сводятся к краевым задачам для дифференциальных (интегро-дифференциальных) уравнений - уравнений математической физики, которые совместно с соответствующими граничными (или начальными и граничными) условиями образуют математические модели рассматриваемых физических процессов.

Основными классами таких задач являются эллиптические, гиперболические, параболические задачи и задача Коши. Среди постановок данных задач различают классические и обобщенные постановки. Важная концепция обобщенных постановок задач и обобщенных решений базируется на понятия обобщенной производной с применением пространств С.Л. Соболева.

Обобщенная разрешимость смешанных задач для параболического уравнения.

Цель. Доказательство теоремы фредгольмовости и теорем обобщенной разрешимости первой смешанной задачи для параболического уравнения.

Для достижения цели поставлены следующие задачи:

1. Анализ научных источников.

2. Исследование обобщенной разрешимости первой смешанной задачи для параболического уравнения.

3. Исследование фредгольмовой разрешимости смешанных задач для параболического уравнения.

Исследования основываются на известных работах О.А. Вихревой, И.Е. Егорова, О.А. Ладыженской.



Глава. 1. - Вводная глава

1.1 Пространство Соболева

Пусть в задана замкнутая ограниченная область . Рассмотрим линейное пространство функций:

раз непрерывно дифференцируемых на . Дифференцируемость на замкнутой области можно понимать в различных смыслах. Предположим, что в G функции u(x) раз непрерывно дифференцируемы, причем каждая частная производная функции имеет предел при стремлении к любой граничной точке области , так что в результате ее продолжения на она становится непрерывной в . Граница Г области предполагается достаточно гладкой. Кроме того, обычно мы будем считать область односвязной и удовлетворяющей таким дополнительным ограничениям, которые могут понадобиться в тех или иных рассуждениях.

Введем в рассмотренном выше линейном пространстве норму :

Полученное нормированное пространство обозначается (). Его пополнение в норме обозначается и называется пространством Соболева. В прикладных задачах дольно встречается случай . Общепринято следующее обозначение:



=

Пространство Соболева является гильбертовым пространством - пополнением пространства в норме, порожденной скалярным произведением:

Пространства Соболева и тесно связанное с ними понятие обобщенной производной в смысле Соболева были введены в математическую практику академиком С.Л. Соболевым и играют важнейшую роль в теоретических и прикладных вопросах математической физики и функционального анализа. Пополнение пространства гладких функций, некоторыми идеальными элементами, которые можно с любой степенью точности вычислить с помощью элементов из , приводит, с одной стороны, вследствие полноты к точности и завершенности многих математических утверждений, а с другой стороны сохраняет все вычислительные возможности.

Ниже мы подробнее остановимся на частных случаях m=1 и m=3, т.е. рассмотрим Соболевские пространства на вещественной оси и в трехмерном пространстве. Пространство .

Рассмотрим на [a,b] пространство , состоящее из всевозможных функций u(х), непрерывно дифференцируемых на [a,b], со скалярным произведением:



И соответствующей этому скалярному произведению нормой:

является пополнением в этой норме. Из каких же функций состоит Элементами , согласно теореме о пополнении, являются классы, состоящие из последовательностей:

Фундаментальных в в среднем, точнее, таких, что:

При n, m. Такие последовательности принадлежат одному классу, если:

Является бесконечно малой по норме , т. е. если:

При n. Из условия фундаментальности в среднем:



- следует, что отдельно при n,m:

Согласно определению пространства существуют функции:

u(x)

w(х)

Такие, что при:

n

а

- в среднем.

Мы приходим к следующему важнейшему определению. Пусть:

Тогда определены элемент с представителем элемент с представителем:



- что называется обобщенной производной (в смысле Соболева) от . При этом пишут:

Из определения обобщенной производной видно, что она определяется локально, в отдельных точках, а глобально - сразу на всем []. Пусть

(n=1,2,…)

Так что:

Перейдем к пределу при nавенствах:

И, согласно теореме о пополнении и определению интеграла Лебега, придем к формулам, где теперь производные понимаются в обобщенном смысле, а интеграл - в смысле Лебега. Для конкретных вычислений, разумеется, можно и нужно пользоваться их гладкими приближениями

Другое определение обобщенной производной. Пусть - множество всех непрерывно дифференцируемых на [ финитных функций . Если теперь непрерывно дифференцируема для произвольной функции:

Справедливо следующее интегральное тождество:

Проверяемое интегрированием по частям. Этим тождеством производная полностью определяется. Допустим, что, кроме того, для любых:

И некоторой непрерывной на функции на :

Вычитая эти тождества, получим, что для любых:



Оказывается интегральное тождество можно принять за определение обобщенной производной. Прежде всего справедлива следующая лемма.

Лемма 1.

Доказательство:

Пусть:

Тогда имеем:

Вследствие свойства непрерывности скалярного произведения в последнем равенстве можно перейти к пределу при . В результате мы получим тождество для любой функции.

Лемма доказана.

Лемма 2.

Доказательство:

Пусть:

а

Тогда:



При для любого .

Пусть:

- класс, представителем которого является:

Тогда:

Для любых:

Отсюда . Лемма доказана.

1.2 Вспомогательные сведения из функционального анализа

Полные пространства.

Последовательность элементов метрического пространства называется фундаментальной (сходящейся в себе), если для любого числа найдется номер такой, что при .

Известно, что все сходящиеся последовательности являются фундаментальными, но обратное утверждение не верно. Если в метрическом пространстве каждая фундаментальная последовательность сходится к некоторому пределу, являющимся элементом этого же пространства, то пространство называется полным. Отметим, что любое замкнутое подмножество полного пространства есть само полное пространство.

Свойство полноты пространства в функциональном анализе имеет очень большую и во многих приложениях решающую роль.

Если пространство не полно, то для него можно построить другое, но уже полное пространство , обладающее всеми свойствами неполного пространства

Определение. Пусть метрическое пространство. Полное метрическое пространство называется пополнением пространства , если:

1) , такое, что изоморфно и изометрично

2) всюду плотно в , т.е замыкание совпадает с

Теорема. Каждое метрическое пространство имеет пополнение, и это пополнение единственно с точностью до изометрии, оставляющей неподвижными точки из

Сепарабельность. Компактность.

Пространство называется сепарабельным, если в этом пространстве существует счетное всюду плотное множество. Иными словами, пространство сепарабельно, если в нем существует последовательность такая, что для любого найдется под последовательность сходящаяся к

Множество метрического пространства называется компактным, если из всякого бесконечного подмножества множества можно выделить последовательность, сходящуюся к некоторой точке этого множества.

Из определения компактности и того факта, что в метрическом пространстве всякая под последовательность сходящейся последовательности сходится к тому же пределу, следует, что компактное множество замкнуто. Ясно, что замкнутое подмножество компактного множества является компактным.

Теорема Рисса. Пусть гильбертово пространство. Для любого линейного ограниченного функционала , заданного всюду на , существует единственный элемент такой, что для всех .

Неравенство Гельдера:

Где числа связаны условием:

При неравенство Гельдера называется неравенством Коши - Буняковского:

Интегральное неравенство Гельдера:



Интегральное неравенство Коши - Буняковского:



Глава 2. Исследование обобщенной разрешимости первой смешанной задачи для параболического уравнения

2.1 Постановка краевой задачи

Пусть - ограниченная область в с кусочно-гладкой границей

В цилиндрической области:

Рассмотрим параболическое уравнение:

Предположим, что коэффициенты уравнения достаточно гладкие в

Краевая задача.

Найти решение уравнения в области Q такое, что

Пусть класс гладких функций, удовлетворяющих условиями выше.

Через обозначим класс гладких функций, удовлетворяющих сопряженным краевым условиям:



Введем следующие обозначения:

- пополнение класса по норме пространства Соболева

- пространства линейных непрерывных функционалов над гильбертовым пространством .

- - замыкание класса по норме пространства Соболева

Определение: Функция:

- называется обобщенным решением краевой задачи, если выполнено интегральное тождество:

- для любой функции.

Имеет место оценка:

математический интеграл множество

В силу теоремы Рисса о представлении линейных непрерывных функционалов левая часть интегрируемого тожества равна , где T- линейный ограниченный функционал, а сопряженный оператор определяется равенством.

Введем пространство замыкание по норме:



Размещено на Allbest.ru

...