Качественное исследование полиномиальных дифференциальных систем и некоторые приложения теории прямых изоклин

Размещено на http://www.allbest.ru/

Качественное исследование полиномиальных дифференциальных систем и некоторые приложения теории прямых изоклин

В общей качественной теории автономных систем двух дифференциальных уравнений важная роль отводится полиномиальным системам. Наиболее изученными из них являются системы вида:

, , (1)

где , . Это можно объяснить многочисленными их приложениями во многих областях, и прежде всего, в теории колебаний [1]. Для системы (1) решены многие проблемы, такие, как проблема различения центра и фокуса [2], числа особых точек второй группы и распределения особых точек в конечной части фазовой плоскости [3], сосуществования особой точки типа «центра» и предельных циклов [4], прямых изоклин и канонических форм [3, 5, 6].

Число работ, посвященных изучению кубической дифференциальной системы

, , (2)

где , , значительно меньше. Для частного случая системы (2) решена проблема различения центра и фокуса (см. монографию [2] и указанную в ней библиографию), проблема сосуществования предельного цикла и особой точки типа «центр» [7], оценки числа особых точек второй группы для системы (2) [8], проблема симметрии векторного поля системы (2) [9], сосуществования предельных циклов и инвариантных прямых [10], прямых изоклин и канонических форм [11].

В настоящей работе приводятся применения теории прямых изоклин к изучению некоторых вопросов качественного исследования систем (1) и (2).

Элементарное доказательство теоремы Берлинского А.Н. о числе особых точек второй группы системы (1)

Определение 1.1. Особая точка М (x₀, y₀) типа «фокус» или «центр» дифференциальной системы

, (3)

называется особой точкой второй группы, если выполняется одно из условий:

, , (4)

, . (5)

Очевидно, условие (4) ((5)) соответствует случаю чисто мнимых (двух нулевых) корней характеристического уравнения особой точки М (x₀, y₀). Согласно [2] система (1) может иметь только особые точки второй группы с чисто мнимыми характеристическими числами. В статье [3] доказана теорема 2, согласно которой квадратичная дифференциальная система (1) имеет не более двух особых точек второй группы.

Приведем доказательство этой теоремы, опирающееся на сведения из теории прямых изоклин [5, 6]. Предварительно дадим уточненное определение понятий контакта и согласованности точек на гладкой кривой.

Определение 1.2. Точка М называется контактом на гладкой кривой L, если вектор поля системы (3) в точке М является направляющим вектором касательной к L в этой точке.

Определение 1.3. Пусть прямая d - нормаль к гладкой кривой L в точке M, ,  - нормальная проекция точки N на прямую d. Тогда, позволяя себе некоторую вольность, проекцией вектора на нормаль назовем вектор .

Далее рассмотрим две произвольные точки и гладкой кривой L, не являющиеся контактами на L. Дугу кривой L достроим произвольным образом до простой гладкой замкнутой кривой . Односвязную (двусвязную) область, ограниченную кривой , обозначим через G₁(G₂). Условимся вектору ставить в соответствие сонаправленный с ним вектор такой, что его проекция (в смысле определения 1.3) на нормаль к кривой в точке целиком лежит в одной и только одной из двух областей G₁ и G₂.

Определение 1.4. Точки и называются согласованными на L, если проекции векторов и на нормали к кривой в точках и , соответственно, лежат в одной из областей: G₁ или G₂. Если проекции векторов и лежат в разных областях, то и не согласованы на L.

Из последнего определения в силу непрерывности векторного поля системы (3), следует, что на дуге кривой L имеется, по крайней мере, один контакт или одна точка покоя системы (3), если и не согласованы на L.

Согласно следствию 1 [12], а также [6, 11] сумма числа контактов и особых точек на произвольной прямой, не состоящей из траекторий системы (1), не более двух.

Теперь докажем теорему Берлинского.

Предположим, что система (1) имеет три особые точки второй группы A, B, C. Тогда для каждой из них выполняется условие (4), в силу которого особая точка второй группы:

а) либо расположена на прямой

, (6)

б) либо

. (7)

Так как квадратичная система не может иметь три состояния равновесия на одной прямой (6), то, очевидно, выполняется тождество (7). Поэтому особые точки A, B, C являются центрами [1, 2]. Рассмотрим треугольник ABC. Согласно [6, 11] каждая прямая AB, BC, AC является изоклиной системы (1). Рассмотрим в достаточно малой окрестности каждого из центров A, B и C по одной замкнутой траектории , и , соответственно. Какие бы направления обхода изображающей точки ни были на кривых , и , среди пар точек: и ; и ; и хотя бы одна является парой несогласованных точек на соответствующей стороне треугольника ABC. На такой стороне, которая, очевидно, не является инвариантной, имеется либо один контакт, либо одна особая точка (отличные от вершин треугольника). Пришли к противоречию со следствием 1 [12]. Теорема доказана.

Заметим, что приведенное выше доказательство теоремы Берлинского более компактно, а в работе [3] оно представлено на более чем четырех страницах.

П. 2. Исследование на ацикличность квадратичной системы

, . (8)

Предположим, что точки покоя O (0, 0), А (0, y₁), В (x₁, 0), С (x₂, y₂) образуют невыпуклый четырехугольник. При этом считаем, что точка С лежит внутри треугольника ОАВ. В этом случае справедливо утверждение: если O - седло и , то система (8) не имеет замкнутых траекторий.

Доказательство. Так как по условию O - седло, то тогда согласно [3] A и B также являются седлами, а C - антиседлом (узел, фокус или центр). Таким образом, если имеется замкнутая траектория системы (8), то она непременно окружает точку покоя C и только эту точку (индекс Пуанкаре замкнутой траектории равен +1 [1]). Согласно [6, 11] прямые OA, OB, AB - изоклины системы (8) и никакая траектория системы (8) не может пересекать указанные изоклины более одного раза. В самом деле, допустив противное, мы на одной из сторон треугольника OAB непременно будем иметь две несогласованные точки, и как следствие этого, на одной из сторон треугольника OAB сумма числа контактов и особых точек будет не менее трех. В результате пришли к противоречию со следствием 1 [12].

Предположим, что система (8) имеет замкнутую траекторию L. По критерию Бендиксона [1] кривая L должна пересекать прямую

. (9)

Покажем, что прямая (9) расположена во втором и четвертом квадрантах координатной плоскости. В силу выполнения неравенства особая точка C расположена в первом или третьем квадранте. Поэтому угловые коэффициенты главных изоклин: : , : отрицательны, то есть

, . (10)

По условию O - седло, следовательно,

 (11)

Легко видеть, что абсцисса (ордината) точки B(A) определяется по формуле:

(). (12)

Из (11) и (12) и условия следует неравенство

. (13)

Из (10) и (13) получаем неравенство , которое говорит о том, что прямая (9), действительно расположена во втором и четвертом квадрантах. В таком случае замкнутая траектория L, окружающая точку покоя C, должна пересекать одну из сторон треугольника OAB. Но выше мы показали, что это невозможно.

Утверждение доказано.

Если в доказанном утверждении неравенство заменить на неравенство , то прямая (9) будет расположена в первом и третьем квадрантах, тогда как антиседло C принадлежит второму или четвертому квадранту.

Рассуждая аналогичным образом, мы вновь придем к отсутствию замкнутых траекторий у системы (8).

Таким образом, верно следующее утверждение: если точки покоя O (0, 0), А (0, y₁), В (x₁, 0), С (x₂, y₂) образуют невыпуклый четырехугольник, причем C - антиседло, то система (8) ациклична, то есть не имеет ни замкнутых траекторий, ни особых циклов.

П. 3 Исследование сложной особой точки кубической дифференциальной системы

Задача нахождения координат особых точек, а также исследования топологической структуры начала координат (0; 0) дифференциальной системы

,

(14)

где , в общем случае достаточно сложна. Однако она упрощается, если учесть, что через начало координат O (0,0) системы (14) проходит хотя бы одна прямая изоклина [11]. В этом случае можно поступить следующим образом: найти указанную прямую изоклину, а затем подходящим линейным преобразованием [11] перевести эту прямую в одну из главных изоклин, например, в изоклину бесконечности. Тогда система (14) преобразуется в систему:

, (15)

В силу теоремы 7 [11] и неравенства в системе (15) выполняется условие . Отсюда по теореме о неявной функции [13] существует решение уравнения в виде или , где  - ряд по степеням . Таким образом, мы имеем информацию о характере изоклины бесконечности системы (15) в достаточно малой окрестности точки покоя O (0,0). А изоклина нуля в качестве ветви имеет хотя бы одну прямую. Все эти сведения, вместе взятые, позволяют полностью охарактеризовать поведение траекторий системы (15) вблизи точки O (0,0), то есть установить ее тип.

Пример 1. Дифференциальная система

, (16)

имеет две прямые изоклины: ; , на которых она индуцирует направление и три изоклины нуля: , , .

Следуя работе [11], совершим в системе (16) преобразование: , , переводящее прямые и в изоклины бесконечности. Далее, изменяя масштаб времени , приходим к системе:

, (17)

Анализ проведенного исследования свидетельствует о том, что окрестность особой точки O (0,0) системы (17) состоит из одного параболического (узлового) и двух гиперболических секторов.

П. 4. Новое доказательство теоремы о числе особых точек второй группы кубической дифференциальной системы

В работе [8] доказано, что число особых точек второй группы системы (2) не превосходит пяти. При этом рассмотрены только особые точки с чисто мнимыми характеристическими числами.

Основной результат работы [8] следует из теорем 1 и 2 [8]. Здесь мы хотим показать новое доказательство теоремы 1 [8], согласно которой система (2) не может иметь шесть особых точек второй группы, если

(18)

Если допустить существование шести особых точек второй группы у системы (2), то в силу неравенства (18) и (4) они все расположены на кривой

. (19)

полиномиальный уравнение дифференциальный ацикличность

Но, согласно работе [14], кривая (19) является изоклиной системы (2). Не нарушая общности, считаем, что кривая (19) является одной из главных изоклин, например, изоклиной бесконечности системы (2).

Таким образом, изоклина бесконечности системы (2) распадается на прямую , которой, впрочем, принадлежат три седла, и кривую второго порядка (19). Если кривая (19) является гиперболой, либо параболой, либо эллипсом, либо парой параллельных прямых, то прямая пересекает ее разве что в двух точках. В силу этого в одной из двух полуплоскостей, на которые прямая разбивает всю фазовую плоскость системы (2), окажутся не менее трех особых точек второй группы. Но это противоречит теореме Пуанкаре [15], согласно которой две простые особые точки с одним и тем же индексом Пуанкаре не могут быть расположены рядом, если они не разделены особой точкой самой изоклины (в данном случае бесконечности). Пусть далее кривая (19) суть пара пересекающихся прямых. В соответствии с упомянутой теоремой Пуанкаре [15] три седла на расположены так, что два соседних разделены точками самопересечения изоклины бесконечности. По этой же причине особые точки второй группы, расположенные на кривой (19), чередуются с особыми точками изоклины бесконечности . Анализ расположения траекторий системы (2) в окрестности каждой из девяти ее особых точек показывает, что хотя бы на одной из трех прямых изоклин, на которые распадается изоклина бесконечности, найдется пара несогласованных точек, расположенных между двумя соседними состояниями равновесия. Но это означает, что на прямой изоклине кубической системы имеется не менее четырех контактов и особых точек (в сумме). Это противоречит работе [11]. Теорема доказана.

Мы привели лишь некоторые примеры применения теории прямых изоклин в качественной теории, которыми, естественно, не ограничиваются возможности применения этой теории.

В заключение отметим, что проблеме прямых изоклин полиномиальных систем на плоскости посвящена работа Чересиза В.М. [16]. В ней доказана теорема 1, аналогичная одной из теорем работы [11].

Размещено на Allbest.ru