Коэффициенты Дынкина когомологических операций Адамса
Получение дополнительной когомологической информации об операциях Адамса в К-теории. Поиск формулы для вычисления коэффициентов Дынкина операций Адамса. Образующие элементы алгебры когомологии однородного пространства. Анализ доказательства теоремы.
| Рубрика | Математика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 05.07.2013 |
| Размер файла | 70,4 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Коэффициенты Дынкина когомологических операций Адамса
В.А. Козлов
Нашей целью является получение дополнительной когомологической информации об операциях Адамса. А именно, найти формулу для вычисления коэффициентов Дынкина операций Адамса.
Вначале приведем необходимые сведения. Подробности можно найти в [1 - 3].
Коэффициенты Дынкина
Каждому образующему элементу алгебры когомологий унитарной группы соответствует определенный симметрический многочлен от переменных ( - координаты картановской подалгебры группы ), инвариантный относительно группы Вейля группы . Пусть - вложение группы в группу , - координаты картановской подалгебры группы . Тогда задает выражение весов представления , в виде линейных функций от , :
, (1)
т.к. максимальный тор группы вкладывается в максимальный тор группы .
Каждому образующему элементу алгебры когомологий соответствует определенный симметрический многочлен от переменных , инвариантный относительно группы Вейля группы . Через обозначим полином от переменных , полученный из , подстановкой (1), инвариантный относительно группы Вейля .
Пусть - группа движений, - стационарная подгруппа однородного пространства . В этом случае , . И пусть - алгебра симметрических полиномов от переменных . Обозначим через и введем градуировку, положив
, (2)
- степень однородного многочлена , - размерность однородного класса когомологий алгебры вещественных когомологий группы . Действие дифференциала определим условиями
, . (3)
- дифференциальная, градуированная алгебра, называемая алгеброй Картана.
Теорема (А. Картан)
Алгебра когомологий однородного пространства компактных групп и изоморфна алгебре когомологий алгебры .
Алгебра является внешней алгеброй от образующих . При этом
. (4)
когомологическая операция адамс дынкин
В алгебре в качестве образующих возьмем полиномы Ньютона . Через обозначим идеал, натянутый на , а через - произвольное вложение группы в группу . Тогда
, .
Разложим симметрический многочлен степени по образующим , получим
, . (5)
Коэффициенты , называют коэффициентами Дынкина.
Операции Адамса
Интерес к когомологическим операциям Адамса связан с тем, что, по существу, эти операции исчерпывают все многообразие когомологических операций в комплексной К-теории. Они обладают рядом замечательных свойств и, как кольцевые гомоморфизмы, применяются не только в кольце Гротендика клеточного комплекса , но и весьма эффективны в кольце представлений группы .
Пусть . Образующими элементами в кольце являются внешние степени группы . Степенные суммы от формальных переменных (полиномы Ньютона) выражаются через элементарные симметрические функции от переменных с помощью полинома .
Положим,
;
здесь под суммой и произведением понимается прямая сумма и тензорное произведение представлений, - виртуальное представление группы , называемое операцией Адамса
,
,
.
Теорема.
.
Доказательство. Сгруппируем в слагаемые с одинаковыми знаками. Тогда виртуальное представление можно записать в виде
,
где и уже обычные, невиртуальные представления. Следовательно, мы можем говорить о коэффициентах Дынкина и представлений и .
Под коэффициентом будем понимать разность
.
Ниже будет показано, что такое определение имеет смысл.
Покажем сначала, что для
,
где - характер, - след. Матрицу можно считать диагональной, поскольку существует базис (из собственных векторов ), в котором она имеет диагональный вид. Пусть ее собственными векторами являются векторы , а соответствующими собственными значениями - .
Пространство представления , ( - максимальная внешняя степень группы ) имеет базисные векторы
,,
- внешнее умножение.
Тогда веса представления имеют вид , а характером будет максимальная симметрическая функция переменных :
.
Учитывая определение операций и свойства характеров, получаем
. (6)
Перейдем к алгебре группы . Для этого воспользуемся разложением матрицы в ряд Тейлора в окрестности единицы группы : , где - уже элемент алгебры . При этом
, , …, , (7)
- координаты картановской подалгебры группы . Следовательно,
, , …, , (8)
т.е. матрице в алгебре соответствует матрица .
Пусть .
И пусть - веса представления , ; - веса представления , ( и - некоторые линейные комбинации элементов ).
Рассмотрим разность полиномов Ньютона от переменных и :
.
Принимая во внимание (6), (7), (8) и степень виртуального представления, равную , получаем
.
Последнее равенство истолкуем в терминах коэффициентов Дынкина:
.
Теорема доказана.
Примечания
1. Адамс Дж. Лекции по группам Ли. М., 1979.144 с.
2. Атья М. Лекции по К-теории. М., 1967.260 с.
3. Дынкин Е.Б. Топологические характеристики гомоморфизмов компактных групп // Математический сборник. М., 1954. Т.35, № 1. С.129-173.
4. Каруби М. К-теория. Введение. М., 1981.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Общая постановка задачи решения обыкновенных дифференциальных уравнений, особенности использования метода Адамса в данном процессе. Решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений методом Адамса и точным методом, сравнение полученных результатов.
курсовая работа [673,6 K], добавлен 27.04.2011Класифікація методів для задачі Коші. Лінійні багатокрокові методи. Походження формул Адамса. Різницевий вигляд методу Адамса. Метод Рунге-Кутта четвертого порядку. Підвищення точності обчислень методу за рахунок подвійного обчислення значення функції.
презентация [1,6 M], добавлен 06.02.2014Решение дифференциального уравнения методом численного интегрирования Адамса. Методы, основанные на применении производных высших порядков. Формулы, обеспечивающие более высокую степень точности, требующие вычисления третьей производной искомого решения.
курсовая работа [81,9 K], добавлен 29.08.2010Соотношения между операторами дифференцирования и конечных разностей. Разностная аппроксимация дифференциальных уравнений. Интерполяционные рекуррентные формулы, метод Эйлера. Интерполяция конечными разностями "назад". Рекуррентные формулы Адамса.
реферат [156,8 K], добавлен 08.08.2009Определение и анализ многошаговых методов, основы их построения, устойчивость и сходимость. Постановка задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Адамса, значение квадратурных коэффициентов. Применение методов прогноза и коррекции.
контрольная работа [320,8 K], добавлен 13.03.2013Понятие и свойства n-арных операций, универсальной алгебры и сигнатуры. Характеристика централизаторов конгруэнции универсальных алгебр и доказательство их основных свойств. Нильпотентные и абелевы алгебры, формулировка и метод доказательства их лемм.
курсовая работа [399,1 K], добавлен 22.09.2009Многошаговые методы и их построение. Вычисление интеграла. Формула для определения неизвестного значения сеточной функции. Запись разностной схемы четвертого порядка. Сущность методов Адамса, Милна, прогноза и коррекции. Оценка точности вычислений.
презентация [162,9 K], добавлен 18.04.2013Построение таблицы и графика решения линейного дифференциального уравнения. Зависимость погрешности решения от выбора шага интегрирования. Метод Адамса-Башфорта и его применение. Основные функции и переменные, использованные в реализованной программе.
контрольная работа [2,0 M], добавлен 13.06.2012Свойства операций над множествами. Формулы алгебры высказываний. Функции алгебры логики. Существенные и фиктивные переменные. Проверка правильности рассуждений. Алгебра высказываний и релейно-контактные схемы. Способы задания графа. Матрицы для графов.
учебное пособие [1,5 M], добавлен 27.10.2013Решение дифференциального уравнения методом Адамса. Нахождение параметров синтезирования регулятора САУ численным методом. Решение дифференциального уравнения неявным численным методом. Анализ системы с использованием критериев Михайлова и Гурвица.
курсовая работа [398,2 K], добавлен 13.07.2010Анализ методов решения систем дифференциальных уравнений, которыми можно описать поведение материальных точек в силовом поле, законы химической кинетики, уравнения электрических цепей. Этапы решения задачи Коши для системы дифференциальных уравнений.
курсовая работа [791,0 K], добавлен 12.06.2010Понятие и основные характеристики пространства Соболева, их главные свойства, сущность простейшей теоремы вложения. Порядок применения пространства Соболева для доказательства существования и единственности обобщённого решения уравнения Лапласа.
курсовая работа [232,5 K], добавлен 12.10.2009Рішення з заданим ступенем точності задачі Коші для системи диференціальних рівнянь на заданому інтервалі. Формування мінімальної погрішності на другому кінці. Графіки отриманих рішень і порівняння їх з точним рішенням. Опис математичних методів рішення.
курсовая работа [258,9 K], добавлен 27.12.2010Системы цифровой обработки информации. Понятие алгебры Буля. Обозначения логических операций: дизъюнкция, конъюнкция, инверсия, импликация, эквивалентность. Законы и тождества алгебры Буля. Логические основы ЭВМ. Преобразование структурных формул.
презентация [554,8 K], добавлен 11.10.2014Исследование доказательства теоремы Ферма в общем виде. Показано, что кроме уравнения второй степени уравнения Ферма не содержат других решений в целых числах. Предложено к рассмотрению 4 метода доказательства теоремы при целых x, y.
статья [20,8 K], добавлен 29.08.2004Розгляд найбільш відомих скінченно-різнецевих методів рішення рівнянь руху з непереривною силою: чисельна ітерація рівнянь Ньютона; алгоритм Бімана і Шофілда; метод Рунге-Кутта; методи Адамса, Крилова, Чаплигіна. Програма Рунге-Кутта на мові С#.
курсовая работа [359,5 K], добавлен 27.01.2011Общее понятие и характеристика простейшего пространства элементарных исходов. Способы вычисления вероятности события. Классическая вероятностная модель, ее главные свойства и доказательства. Основные аксиомы теории вероятности, примеры решения задач.
реферат [42,6 K], добавлен 24.04.2009Теоремы дифференциального исчисления, как основа для правила Лопиталя и формулы Тейлора. Правило Лопиталя и методы раскрытия всех типов неопределенностей. Вывод формулы Тейлора и ее применение для нахождения эквивалентных функций и вычисления пределов.
курсовая работа [261,6 K], добавлен 05.09.2009Основные аксиомы и тождества алгебры логики. Аналитическая форма представления булевых функций. Элементарные функции алгебры логики. Функции алгебры логики одного аргумента и формы ее реализации. Свойства, особенности и виды логических операций.
реферат [63,3 K], добавлен 06.12.2010Геометрическая и алгебраическая формулировка теоремы Пифагора. Многочисленность ее доказательств: через подобные треугольники, методом площадей, через равнодополняемость, при помощи дифференциальных уравнений. Доказательства Евклида и Леонардо да Винчи.
презентация [378,7 K], добавлен 15.10.2013
