Математичні моделі технічних систем та методи їх ідентифікації

Размещено на http://www.allbest.ru/

ЛЕКЦІЯ 4

Математичні моделі технічних систем та методи їх ідентифікації

4.1 Методи ідентифікації математичних моделей технічних систем

Таким чином, під ідентифікацією розуміють визначення структури й параметрів математичної моделі, що забезпечують найкращу відповідність вихідних координат (сигналів) моделі та об'єкта при однакових вхідних впливах (сигналах). А саме математичне моделювання - це процес установлення відповідності даному реальному об'єкту деякого математичного об'єкта - математичної моделі.

Для початку відзначимо переваги математичних моделей:

- Можливість швидко провести ряд експериментів на математичній моделі з метою пошуку оптимального технологічного режиму або максимально достовірного прогнозу при мінімальних втратах часу й матеріальних ресурсів. На практиці, на ці досліди пішли б роки, або навіть десятиліття.

- Можливість на моделі задати умови експлуатації, які неможливі в реальності, для перевірки оптимальних режимів.

- Математична модель по розроблених методиках (метод крутого сходження, градієнтний метод і ін.) дозволяє швидко знайти оптимальні умови ведення технологічного процесу.

Математична модель (образ) являє собою абстрактне відображення реального об'єкта (оригіналу, прообразу). Залежно від типу об'єкта й цілей, заради яких будується й використовується модель, формальний опис може бути різним.

а) б)

Рис.1.

Для моделювання об'єктів можуть бути використані структурні схеми, операторні рівняння, алгебраїчні рівняння, диференціальні, інтегральні й інтегрально-диференціальні рівняння, Марковські ланцюги, передаточні функції, частотні характеристики, вагові функції, графи і т.д. Усі ці методи функціонально зв'язують вхідні й вихідні сигнали об'єкта. По кількості входів і виходів об'єкти й відповідні їм моделі розділяють на одномірні і багатомірні. Одномірними називають об'єкти, що мають один вхід і один вихід, багатомірними - об'єкти, що мають кілька входів і виходів, причому число входів не обов'язково дорівнює числу виходів. Блок-схеми одномірного й багатомірного об'єктів зображені відповідно на мал. 1а й мал. 1б.

Математична модель - найчастіше це або одне рівняння математичного взаємозв'язку вихідного сигналу об'єкта (системи) із вхідним, або система рівнянь взаємозв'язки вихідних сигналів із вхідними. Так, для одномірного (один вхід і один вихід) динамічного об'єкта (системи) це диференціальне рівняння зв'язку виходу із входом або його передаточна функція, яку одержують з їхнього диференціального рівняння шляхом перетворення за Лапласом.

Для багатомірного об'єкта (кілька вхідних і вихідних сигналів), математична модель може бути задана в матричній формі:

де - матриця (вектор-стовпець) вихідних сигналів,

- матриця (вектор-стовпець) вхідних сигналів,

- квадратна |3Ч3| матриця передаточних функцій зв'язків вихід-вхід сигналів, наприклад: w23 - зв'язок 2-го виходу з 3-м входом.

Потрібно уточнити, що, оскільки в САК об'єкт керування є найменш вивченим елементом, тому саме його математична модель є метою ідентифікації об'єкта як у динамічному (коли об'єкт виводиться зі стану рівноваги), так і в статичному (нормальний процес протікання технологічного процесу) режимах роботи. Математична модель динамічного режиму роботи об'єкта - одне або система диференціальних рівнянь; математична модель статичного режиму - одне або система алгебраїчних рівнянь.

Крім того, математична модель такого класу ставиться до об'єктів із зосередженими (компактно розміщеними в просторі) параметрами, і вхідні-вихідні сигнали мають детерміновану (певну, не випадкову природу), є безперервними (аналоговими), з лінійною характеристикою в статичному режимі при малих змінах вхідних-вихідних сигналів. Такі допущення можуть бути зроблені для багатьох промислових об'єктів.

Для такого класу об'єктів використовуються:

1. аналітичний метод одержання математичної моделі об'єкта;

2. експериментально-аналітичний метод з використанням типових впливів, що збурюють, застосовуючи математичний апарат ТАК у вигляді типових динамічних ланок.

Для ідентифікації об'єктів, у яких будь-який вихідний сигнал залежить від декількох вхідних сигналів, використовується:

3. метод регресійного аналізу, коли математична модель - рівняння регресії 1-го або 2-го порядку. При використанні цього методу застосовується теорія математичного планування експерименту.

Для об'єктів, у яких вхідні-вихідні сигнали носять випадковий (стохастичний) характер, використовується:

4. метод кореляційного аналізу для ідентифікації об'єкта.

Трохи відокремлено розташований метод ідентифікації об'єкта й системи за допомогою імітаційних моделей. Імітаційна модель задається не у вигляді системи математичних рівнянь, а у вигляді програми на ЕОМ. За допомогою імітаційної моделі з використанням теорії математичного планування експерименту програють на ЕОМ різні варіанти дослідів для пошуку оптимального керування об'єктом (системою). По суті, імітаційна модель - це алгоритм, що реалізує модель процесу і відтворюючий процес функціонування системи в часі на ЕОМ.

Розвиток імітаційних моделей знаходить у віртуальному моделюванні об'єктів і систем, коли на ЕОМ виконується віртуальне зображення фізичних параметрів об'єкта й системи, і їх поведінку в часі можна буде спостерігати так, як зараз спостерігають об'єкти в комп'ютерних іграх.

4.2 Математичні моделі в просторі станів

математичний модель ідентифікація інформативний

При використанні будь-якого методу ідентифікації об'єкта або системи необхідно розв'язати наступні завдання:

1. вибір структури математичної моделі й методу ідентифікації;

2. вибір інформативних вхідних і вихідних змінних (сигналів);

3. оцінка ступеня стаціонарності (незмінності в часі), лінійності характеристик об'єкта;

4. оцінка ступеня й форми впливу вхідних змінних (сигналів) на вихідні.

Найбільш повно ідентифікований об'єкт описується в термінах простору станів. Під станом об'єкта розуміється сукупність величин xi, що повністю визначають його положення в цей момент часу.

Найбільш вживаною моделлю динамічних об'єктів є диференціальні рівняння. Будемо розглядати тільки об'єкти із зосередженими параметрами, які описуються звичайними диференціальними рівняннями. Порядок системи диференціальних рівнянь, що описує модель об'єкта, безпосередньо не визначається кількістю входів і виходів, а залежить від операторів, що перетворять вхідні сигнали у вихідні.

Для динамічних систем, у яких фізичні процеси протікають безупинно в часі, швидкості зміни змінної стану об'єкта можна також задати вектором:

(4.1)

де - швидкості зміни компонент багатомірної змінної стану.

В свою чергу ці швидкості визначаються поточними значеннями змінної стану x, керуваннями u і збурюваннями f, що діють на об'єкт:

(4.2)

де - вектор функція; x10, x20, ..., xn0 - початкові умови.

Якщо g() - нелінійна функція, то рішення рівняння (4.2) ускладнюється, тому що зводиться до інтегрування системи нелінійних ДР. Тому що методи інтегрування систем ДР добре розроблені тільки для лінійних систем, де перед роботою з ними необхідно лінеаризувати g() в околі робочої крапки, якій відповідає встановлений режим роботи об'єкта.

Для лінеаризованої функції g() ДР виду (4.2) з урахуванням впливу середовища можна представити у векторній формі:

(4.3)

де A(t); B(t); E(t) - матриці перетворення, елементи яких у загальному випадку є функціями часу.

Елементи xi у рівнянні (4.3) називаються змінними стану об'єкта або фазовими координатами. Змінні стани x (фазові координати) утворюють вектор стану, змінні керування u і збурення f утворюють вектори керування й збурення. Безліч цих векторів становлять простір станів (фазовий простір) X, простір керувань U і збурень F.

У багатьох фізичних об'єктах регулюються, виміряються й передаються по інформаційних каналах не значення вектора стану x, а інші значення - функції складових вектора фазових координат, що називаються керованими або вихідними величинами. Позначимо вимірювані величини через y1(t), y2(t),..., ys(t), причому звичайно s?n. Тоді рівняння виміру, що зв'язує регульовані й фазові координати об'єкта прийме вид:

(4.4)

Для лінійного об'єкта це співвідношення буде лінійне:

(4.5)

Матриця С(t) - називається матрицею виміру. Вона показує, як змінюються значення вектора станів при вимірюванні. При вимірах, що описуються виразами (4.4) і (4.5), вектором вихідних сигналів (або просто вектором виходу) є вектор y(t). Відзначимо, що між векторами входу, виходу й стану існує принципова відмінність. Якщо всі складові вектора входу й вектора виходу є цілком конкретними фізичними величинами, то елементами вектора стану можуть бути деякі абстрактні змінні, фізична природа яких не завжди визначена.

Векторно-матричний запис моделі лінійного динамічного об'єкта з урахуванням рівняння виміру приймає вид:

(4.6)

Якщо матриці A(t), B(t) і C(t) не залежать від часу, то об'єкт називається об'єктом з постійними коефіцієнтами, або стаціонарним об'єктом. А якщо ні, то об'єкт буде нестаціонарним.

При наявності похибок при вимірі, вихідні (регульовані) сигнали задаються лінеаризованим матричним рівнянням:

 (4.7)

де y(t) - вектор регульованих (вимірюваних) величин; C(t) - матриця зв'язку вектора вимірів з вектором станів; v(t) - вектор помилок вимірів (перешкоди).

Размещено на Allbest.ru