Размещено на http://www.allbest.ru/

Творческое эссе

по дисциплине Математический анализ

Тема: Предел функции. Непрерывность

Выполнил:

Кочетков Николай Владимирович

К примеру, дано множество , а также установлено правило, согласно которому каждой точке будет соответствовать некоторое число . В данной ситуации подразумевают, что задана функция с областью определения и областью значений . Параллельно этому и называют независимыми переменными (аргументами), а - зависимой переменной (функцией).

Рисунок А

Функцию в основном всегда записывают в виде "". Согласно схеме функция не редко будет изображена как на рисунке А.

Пример: На множестве

определим функцию

;

тогда ее областью значений будет отрезок . Данную функцию определяют и на всей плоскости : и .

Рисунок Б

Графиком функции называют множество точек ; обычно графиком является некоторая поверхность, как изображено на рисунке Б.

При построении графика функции часто пользуются методом сечений.

Пример. Нужно построить график функции

и найти D.

В данном случае воспользуемся методом сечений.

- в плоскости - парабола.

Рисунок В

- в плоскости -парабола.

- в плоскости - окружность.

Искомая поверхность - параболоид вращения изображенный на рисунке В.

Расстоянием между двумя произвольными точками и (евклидова) пространства является число

.

Множество точек является открытым кругом радиуса r с центром в точке , -окружностью радиуса с центром в точке .

Открытый круг радиуса с центром в точке называется -окрестностью точки .

Определение . Точка является внутренней точкой множества , если существует -окрестность точки , целиком принадлежащая множеству (), как показано на рисунке Г.

Рисунок Г

Точка является граничной точкой множества , если в любой ее -окрестности содержатся точки, как принадлежащие множеству , так и не принадлежащие ему, как изображено на рисунке Д.

В зависимости от ситуации граничная точка множества может являться частью этого множества, то есть принадлежать ему, а также возможен такой поворот событий, что она не будет принадлежать этому множеству.

Рисунок Д

Множество является открытым, если все его точки - внутренние.

Множество является замкнутым, если оно имеет все свои граничные точки. Множество всех граничных точек множества будет его границей (и часто обозначается символом ). Множество

является замкнутым и называется замыканием множества G.

Пример: Если

,

то .

При этом

.

Точка является предельной точкой множества , если в любой - окрестности точки содержатся точки множества , отличные от .

Точка будет предельной точкой множества , если "к точке можно подойти сколь угодно близко, идя по точкам множества и не наступая на саму точку ". Предельная точка множества может принадлежать, а может не принадлежать этому множеству.

Пример: Множество

совпадает с множеством своих предельных точек. Множество

имеет единственную предельную точку . Последовательность точек сходится при к точке , если

при .

Поэтому точку называют пределом данной последовательности и представляют: при . Несложно выявить, что тогда, когда одновременно , (сходимость последовательности точек пространства эквивалентна покоординатной сходимости).

Пусть и - предельная точка множества .

Число называют пределом функции

при , если для такое, что , как только

.

В этом случае пишут:

или при .

На первый взгляд существует схожесть определений предела функции одной и двух переменных, но всё же существует большое различие. Ели брать во внимание функцию одной переменной для существования предела в точке необходимо равенство двух чисел - пределов по двум направлениям: справа и слева от предельной точки х 0. При рассмотрении функции двух переменных стремление к предельной точке может происходить по бесконечному числу направлений, причем не обязательно по прямой, на плоскости R2, в связи с этим требование существования предела у функции с двумя переменными "жестче", чем у функции с одной переменной.

Пример: Найти

.

К примеру, стремление к предельной точке происходит по прямой

.

Тогда

.

Предел, вероятно, не существует, так как число

зависит от .

Пример: Найти

.

По любой прямой

предел один и тот же:

.

С другой стороны, пусть стремление к предельной точке происходит по кривой

.

Тогда

;

следовательно, предел не существует.

Автоматически формируется понятие предела функции для случая, когда предельная точка имеет бесконечные координаты. Ограничимся случаем, когда , (остальное - по аналогии).

Определение. Число является пределом функции при и , если для такое, что из неравенств и следует неравенство . Этот факт коротко записывают так:

.

Непрерывность функции

К примеру, дана функция с областью определения и - предельная точка множества .

Определение. Функция непрерывна в точке , если:

1) ;

2) , т.е. .

Формируется определение непрерывности в эквивалентной форме. С этой целью обозначим

, и .

Функция непрерывна в точке , если выполняется равенство

.

Определение. Множество называется областью, если оно:

- является открытым множеством, то есть содержит каждую свою точку вместе с некоторой своей - окрестностью;

- является линейно связным множеством, то есть для любых двух различных точек существует ломаная, соединяющая и и целиком лежащая в .

Если - область, то множество называют замкнутой областью.

Функция непрерывна в области (или в замкнутой области ), если непрерывна в каждой точке этого множества.

Непрерывность по отдельным переменным

Взята переменная , предполагается, что , а переменной дано произвольное приращение . Функция получит приращение

,

которое является частным приращением функции в точке , соответствующим приращению аргумента . При этом функция является функцией одной переменной . Аналогично,

.

Функция называется непрерывной в точке по переменной (по переменной ), если

().

В отличие от непрерывности по отдельным переменным обычную непрерывность функции называют иногда непрерывностью по совокупности переменных. функция переменная график предел

Пример:Доказать, что функция

непрерывна в точке О (0;0) по каждой переменной x и y, но не является непрерывной в этой точке по совокупности переменных.

Рассмотрим частное приращение функции f(x,y) в точке О (0;0), соответствующее приращению аргумента x:

.

Очевидно, что

,

а это означает, что непрерывна в точке по переменной .

Аналогично можно доказать непрерывность в точке по переменной .

Предел

не существует. Пусть точка стремиться к точке по прямой , проходящей через точку . Тогда получают

.

Приближаясь к точке по различным прямым, которым соответствуют разные значения , получают разные предельные значения. Отсюда следует, что предел данной функции в точке не существует, а значит, функция не является непрерывной в этой точке.

Список использованных Интернет-ресурсов

1. Научный метод. http://ru.wikipedia.org/wiki/Научный_метод

2. Предел функции. http://ru.wikipedia.org/wiki/Предел функции

3. Непрерывность функции. http://ru.wikipedia.org/wiki/Непрерывность функции

Размещено на Allbest.ru