Методическое содержание понятия ошибки в учебной математической деятельности

Размещено на http://www.allbest.ru/

Методическое содержание понятия ошибки в учебной математической деятельности

В.А. Стукалов

Н.А. Стукалова

Анализ содержания и причин возникновения типичных ошибок и затруднений, которые демонстрируют абитуриенты на вступительных испытаниях, позволяет строить методическую модель их математической подготовки.

Математические ошибки, которые допускают выпускники, неоднократно рассматривались в отечественной научно-методической литературе, в частности в работах Г.П. Бевза, В.Г. Болтянского, В.М. Брадиса [1], В.А. Далингера [2], [3], Ю.М. Колягина, Д.М. Маергойза, Н.А. Мацко, П.С. Моденова, Г.Н. Соболева, З.И. Слепкань. Различные аспекты причин ошибок, допускаемых школьниками, были исследованы в диссертациях Г.А. Асанова, Д.И. Икрамова, И.М. Кирилецкого [4], А.Г. Муханова, В.Г. Прочухаева, Д.А. Скрыпника, А.Ф. Сычикова и др. В этих работах перечислены типы допускаемых ошибок [1]. Приведено большое количество примеров ошибочных рассуждений и связанных с ними неверных решений [2]. Достаточно подробно исследованы отклонения действий учащихся от верных [3]. Большое внимание уделяется различным тонкостям в математических рассуждениях. Большинство исследователей единодушны в том, что чаще всего причина появления ошибки имеет методический характер, т. е. школьник либо не получил соответствующих знаний, либо не имеет устойчивых навыков их применения. При этом вопрос о фундаментальных причинах появления ошибок часто решается в чрезвычайно общей форме:

недостаточное качество мышления,

слабое проявление психических функций,

необоснованный перенос,

неверные ассоциации,

слабое развитие навыков активизации мыслительных действий.

Опираясь на требования к математической подготовке школьников, изложенные в Государственном образовательном стандарте школ России [6], анализируя содержание школьных учебников, задания к выпускным экзаменационным работам за среднюю школу, программы для подготовки к вступительным экзаменам в вузы, мы составили перечень обязательных знаний и обобщенных умений, уровень качества которых оценивается на конкурсных вступительных испытаниях по математике. Кроме этого, при составлении перечня были проанализированы и учтены внутрипредметные и межпредметные связи содержания школьного курса математики и математической подготовки студентов инженерных специальностей. В соответствии с этим перечнем каждый абитуриент должен уметь:

выражать числа в эквивалентных формах, выбирать наиболее подходящую в конкретной ситуации;

бегло и уверенно выполнять арифметические действия с рациональными числами;

находить значения выражений, содержащих степени с натуральным и целым показателем;

находить квадратичные и кубические корни;

при вычислениях сочетать устные и письменные приемы, применение калькулятора;

использовать способы рациональных вычислений;

применять пропорциональность величин, составлять и решать пропорции;

применять понятие процента в ходе решения задач;

осуществлять в выражениях и формулах числовые подстановки, выполнять соответствующие вычисления;

выражать в формулах одни переменные через другие;

выполнять основные действия со степенями с натуральным и целым показателями, многочленами, алгебраическими дробями; применять эти действия при преобразовании выражений;

владеть различными приемами разложения многочлена на множители: вынесением общего множителя за скобки, разложением квадратного трехчлена, применением формул сокращенного умножения;

выполнять преобразования числовых выражений, содержащих квадратные

корни;

решать линейные, квадратные, рациональные уравнения;

решать системы уравнений;

решать уравнения с параметрами, сводящиеся к линейным и квадратным;

применять геометрические представления для решения и исследования уравнений;

решать линейные неравенства с одной переменной и их системы;

решать неравенства второй степени;

решать неравенства методом интервалов;

решать текстовые задачи на составление уравнений и систем;

строить графики алгебраических функций - линейной, дробно-линейной, квадратичной;

владеть приемами преобразования графиков;

интерпретировать графики зависимостей между величинами;

находить значение степени, логарифма, тригонометрического выражения на основе определений;

выполнять преобразования выражений, применяя ограниченный набор формул, связанных со свойствами степени, логарифмов, тригонометрических функций;

изображать графики показательной, логарифмической, тригонометрических функций, описывать свойства функций, опираясь на график;

решать логарифмические, показательные, тригонометрические, иррациональные уравнения;

решать логарифмические и показательные неравенства;

распознавать на моделях и по описанию основные пространственные тела (призмы, пирамиды, цилиндры, конусы, шары);

иллюстрировать чертежом условие стереометрической задачи;

вычислять значение геометрических величин, применяя изученные формулы;

решать несложные задачи на вычисление с использованием изученных свойств и формул.

За последние четыре года нами было проанализировано около восьми тысяч письменных экзаменационных работ и более шести тысяч протоколов устных ответов абитуриентов, участвовавших в конкурсных вступительных испытаниях по математике в Омский государственный аграрный университет. Для измерения уровня качества перечисленных умений использовалась неравномерная порядковая десятибалльная шкала. Шкалирование производилось в соответствии с критериями, которые учитывали количество и качество ошибок и недочетов, допущенных испытуемыми. Результаты наложения шкалирования на систему интегрированных оценок качества приведены в таблице.

математический ошибка абитуриент

Мы ограничились анализом лишь тех ошибок, которые не связаны с тонкими специфическими идеями элементарной математики и преодоление которых требует математического склада ума. По своему содержанию эти ошибки связаны с теми знаниями и умениями, которые являются обязательными для каждого школьника в соответствии с Государственным образовательным учебным стандартам.

Остановимся подробнее на методическом смысле понятия «ошибка». Для того чтобы добиться как одной из целей математической подготовки абитуриентов существенного снижения вероятности различных ошибок, необходимо отчетливо понимать, что же мы подразумеваем, говоря «ученик (абитуриент, студент) допустил ошибку в решении математической задачи, в ответе на вопрос и т. п.».

Очевидно, что мы обнаруживаем ошибку, когда налицо неверный результат, т. е. выявлен формальный признак несостоятельности некоторых правил, законов, принципов. Понятно, что этот неверный результат возникает (формируется) на субъективном внутреннем плане и является внешним проявлением соответствующего умственного действия. Например, выявлена ошибка: 1п(х2 + 2 х) = 1п х2 + 1п2 х.

После выявления ошибки происходит анализ ее содержания, в ходе которого выясняется, какие положения нарушены и что могло послужить причиной такого нарушения. В приведенном примере налицо нарушение свойств логарифмов, наделение понятия логарифма суммы общим свойством 1п(а + Ь) = 1п а + 1п Ь и логарифма произведения свойством 1п ах = а 1п х, которыми эти понятия не обладают. Таким образом, допущена математическая ошибка. Рассматривая причину этой ошибки, можно предположить, что абитуриент плохо знает (или не знает) свойства логарифмов. В то же время, в момент выполнения преобразования была использована недопустимая аналогия, применялось правило а(Ь + с) = аЬ + Ьс раскрытия скобок в алгебраическом выражении на основе внешнего сходства записей: 1п(х2 + 2х) и а(Ь + с) . Необоснованное расширение объема понятия, недопустимая аналогия являются логическими ошибками.

Аналогичный анализ большого количества ошибок позволил сделать вывод о том, что их содержание имеет две составляющие: математическую и логическую.

Таким образом, рассматривая ошибку как атрибут методики, можно полагать, что под ошибкой в учебной математической деятельности можно понимать результат умственных действий, который фактически нарушает (искажает) принципы, законы, правила логики и (или) школьной математики.

Необходимо заметить, что логика является основным инструментом, с помощью которого осуществляется процесс применения математических знаний. В этом смысле законы и правила логики являются более общими по отношению к математическим. Логическая и математическая составляющие содержания большинства ошибок тесно переплетаются, допущенные логические ошибки ведут к математическим либо являются причиной неверного решения. Выявляя соотношение логических и математических ошибок, нам удалось установить следующее:

Абитуриенты значительно чаще допускают логические ошибки, чем математические. Это соотношение колеблется в пределах от 2:1 до 3:1.

Чем сложнее структура учебной математической деятельности, а в нашем случае это решение математических задач, тем больше вероятность появления ошибки.

Эта тенденция отчетливо проявляется при соответствующем взгляде на таблицу. Например, анализ показывает, что наиболее сложными логическими структурами обладают процессы решения неравенств. В таблице результаты контроля уровня соответствующих умений расположены в 18 и 29 строках. Качественными умениями решать алгебраические неравенства обладают 8 % испытуемых, уровень качества у 79 % ниже удовлетворительного. Для уровня качества умений решать показательные и логарифмические неравенства показатели составляют соответственно 11 % и 72 %. Эти показатели для данной таблицы близки к абсолютному минимуму и максимуму.

Сложившаяся система обучения математике в школе практически не уделяет внимания формированию логической грамотности школьников [5]. Ее элементы формируются стихийно в результате решения математических задач, когда применение правил и законов логики происходит на интуитивном уровне. Можно с уверенностью утверждать, что методические средства и приемы, позволяющие управлять процессом осознанного безошибочного применения правил и законов логики в математических рассуждениях и действиях, существенно повысят уровень качества математической подготовки абитуриентов.

Литература

1. Брадис В.М. Ошибки в математических рассуждениях: Пособие для учителей. М.: Просвещение, 1967. 191 с.

2. Далингер В. А. Начала математического анализа. Типичные ошибки, их причины и пути их предупреждения. Омск: ООО «Издатель-полиграфист», 2002. 158 с.

3. Далингер В. А. Все для обеспечения успеха на выпускных и вступительных экзаменах по математике. Выпуск 5. Показательные, логарифмические уравнения, неравенства и их системы: Учебное пособие. Омск: Изд-во ОмГПУ, 1996. 106 с.

4. Кирилецкий И.М. К анализу ошибок учащихся при изучении математики // Методика преподавания математики и физики. 1986. № 3. С. 38-42.

5. Симонов В.П., Черненко Е.Г. Десятибалльные шкалы оценки степени обученности по предметам: Учебно-справочное пособие. М.: Международная педагогическая академия, 2001. 68 с.

6. Учебные стандарты школ России. Государственные стандарты начального общего, основного общего и среднего (полного) общего образования. Книга 2. Математика. Естественно-научные дисциплины / Под ред. В.С. Леднева, Н.Д. Никандрова, М.Н. Лазутовой. М., 1998. 336 с.

Размещено на Allbest.ru