Новое доказательство одной теоремы об оценке числа особых точек второй группы кубической дифференциальной системы

Размещено на http://www.allbest.ru/

Новое доказательство одной теоремы об оценке числа особых точек второй группы кубической дифференциальной системы

Д.С. Ушхо

Исследованию числа особых точек второй группы дифференциальной системы

(1)

где , посвящена работа [1], основной результат которой сформулирован в виде теоремы 3: система (1) не может иметь более пяти особых точек второй группы с чисто мнимыми характеристическими корнями.

Напомним, что особая точка типа «фокус» или «центр» дифференциальной системы

(2)

называется особой точкой второй группы, если выполняется одно из условий:

(3)

(4)

Очевидно, условие (3) ((4)) соответствует случаю чисто мнимых (двух нулевых) корней характеристического уравнения особой точки .

Целью данной заметки является новое доказательство упомянутой теоремы 3[1].

Предварительно докажем некоторые вспомогательные утверждения.

Теорема 1. Пусть система (1) имеет шесть состояний равновесия, расположенных на параболе . Тогда - изоклина этой системы.

Доказательство. Существует [2] невырожденное линейное преобразование, переводящее параболу в параболу При этом система (1) преобразуется к системе:

(5)

По условию система (5) имеет шесть состояний равновесия на параболе . Это возможно в том и только в том случае, когда

(6)

где - абсциссы точек равновесия, расположенных на . Из (6) следует, что

то есть - изоклина системы (5). Так как свойство кривой быть изоклиной дифференциальной системы инвариантно относительно аффинного преобразования [3], то парабола - изоклина системы (1). Теорема доказана.

Теорема 2. Если система (1) имеет шесть состояний равновесия, расположенных на кривой второго порядка, являющейся эллипсом или гиперболой, то - изоклина этой системы.

Доказательство проведем в случае, когда - эллипс, так как в случае гиперболы рассуждения аналогичны.

Если

 (7)

или

, (8)

то - изоклина бесконечности или нуля системы (1), и теорема доказана. Заметим, что одновременно тождества (7) и (8) не могут быть выполнены, так как .

Пусть не выполняется ни одно из равенств (7) и (8). Тогда, не сужая общности рассуждений, считаем, что система (1) имеет шесть состояний равновесия на эллипсе [2]. Иначе говоря, система уравнений:

, (9)

имеет шесть решений.

Заменив в многочленах в силу третьего уравнения системы (9), получаем систему уравнений:

, (10)

равносильную системе (9). В системе (10):

 - многочлены i-й степени.

Прежде всего, отметим, что решения системы (10) расположены не менее чем на трех прямых

Случай 1. Все шесть состояний равновесия системы (1), расположенных на эллипсе , принадлежат прямым , . Тогда на каждой прямой из трех указанных лежат две особые точки. Это же означает, что при каждом уравнения:

имеют два решения. Так как линейное уравнение имеет более одного решения в том и только в том случае, когда коэффициент при переменной и свободный член равны нулю, то:

,

Из двух последних тождеств следует, что

,

то есть - изоклина системы (1).

Случай 2. Все шесть состояний равновесия системы (1), расположенных на эллипсе , лежат на четырех прямых , . Тогда на двух из них расположены две особые точки, а на двух других - по одной особой точке. Ради определенности считаем, что на прямых и расположены по два состояния равновесия. Тогда - корни уравнений . Так как в рассматриваемом случае то систему (10) перепишем в виде:

(11)

В силу выше отмеченного, а именно:

,

второе и третье уравнения системы (11) запишутся в виде:

где - многочлены первой (второй) степени. Так как система (11) имеет еще два решения , то Это же означает, что

(12).

Из (12) следует, что

Отсюда следует, что

то есть - изоклина системы (1).

Случай 3. Все шесть состояний равновесия системы (1), расположенных на эллипсе , лежат на пяти прямых , . Тогда на одной из них, например на прямой , расположены два состояния равновесия. Таким образом,

Поэтому уравнения системы (11) могут быть записаны в виде:

.

Поскольку система (11) имеет, кроме еще четыре решения, то ( - многочлен третьей степени). Следовательно, имеет место тождество (12), а значит коэффициенты в линейных относительно первых двух уравнениях системы (10) пропорциональны. Поэтому

то есть - изоклина системы (1).

Случай 4. Все шесть состояний равновесия системы (1), расположенных на эллипсе , лежат на пяти прямых , . Тогда левая часть второго уравнения системы (11) как многочлен пятой степени тождественно обращается в нуль, то есть и в этом случае - изоклина системы (1). Теорема доказана.

В заметке [3] доказана теорема 16, согласно которой прямые и представляют собой распавшуюся кривую второго порядка, являющуюся изоклиной системы (1), если сумма состояний равновесия этой системы на двух указанных прямых равна шести.

Итак, из упомянутой теоремы [3] и доказанных выше теорем 1 и 2 следует:

Теорема 3. Если на кривой второго порядка расположены шесть состояний равновесия системы (1), то - изоклина этой системы.

Лемма 1. Пусть в открытой односвязной области система (1) имеет только четыре состояния равновесия причем все они грубые. Если в этой области - простая и при том единственная точка пересечения дуг и изоклины бесконечности , то и - седла (антиседла), а и - антиседла (седла).

Справедливость данного утверждения следует из определения индекса Пуанкаре [4]

,

и из того, что индекс простого состояния равновесия равен +1 или -1 [4]. Здесь - число скачков, совершаемых функцией от к (от к ), когда точка переходит через изоклину , обходя один раз в положительном направлении простую замкнутую кривую, окружающую состояние равновесия.

Аналогичными рассуждениями устанавливается справедливость следующих утверждений.

Лемма 2. Пусть в открытой односвязной области система (1) имеет только три состояния равновесия причем все они грубые, кроме того точка . Если в этой области - простая и при том единственная точка пересечения дуг и изоклины , то - седло (антиседло), а и - антиседла (седла).

Лемма 3. Пусть в открытой односвязной области система (1) имеет только простые состояния равновесия, и они расположены на ветви главной изоклины системы (1). Если имеет особую точку, являющуюся точкой возврата, то на седла чередуются с антиседлами.

Замечание 1. Под антиседлом следует понимать простое состояние равновесия системы (1), не являющееся седлом (т.е. узел, фокус, центр).

Из лемм 1 и 3 вытекает

Лемма 4. Пусть система (1) имеет только простые состояния равновесия, среди которых не более трех седел. Тогда на ветви неприводимой изоклины бесконечности или нуля с узловой особой точкой (с особой точкой возврата) эта система имеет не более восьми (семи) состояний равновесия.

Замечание 2. Узловую точку и точку возврата кривой следует понимать в смысле терминологии [5].

Из леммы 4 и теоремы 36[6] следует

Лемма 5. Пусть система (1) имеет три седла и шесть антиседел. Тогда неприводимая изоклина либо не имеет особой точки, но состоит не менее чем из трех различных ветвей, либо имеет единственную особую точку . В случае, когда является узловой точкой (точкой возврата), изоклина имеет, кроме ветвей, инцидентных точке , хотя бы одну ветвь (хотя бы две ветви).

Теорема 4. Никакие шесть простых состояний равновесия системы (1), каждая из которых имеет индекс Пуанкаре, равный +1 (_1) не могут принадлежать одной и той же кривой второго порядка.

Доказательство. Прежде всего, заметим, что система (1) не может иметь более шести состояний равновесия на кривой : второго порядка, так как система уравнений имеет не более шести решений.

Предположим, что на система имеет шесть состояний равновесия с одним и тем же индексом Пуанкаре. Тогда в силу теоремы 3 - изоклина системы (1). Поэтому, без ограничения общности рассуждений, считаем, что, распадается на кривую и прямую . Если является эллипсом, либо гиперболой, либо параболой, либо парой параллельных прямых, то прямая пересекает ее разве что в двух точках. В силу этого в одной из двух полуплоскостей, на которые прямая разбивает всю фазовую плоскость системы (1), окажутся не менее трех особых точек. Но это противоречит теореме 36[6], согласно которой две простые особые точки с одним и тем же индексом Пуанкаре не могут находиться рядом, если между ними нет особой точки самой изоклины.

Если кривая суть пара пересекающихся прямых, то в силу лемм 1 и 2 и теоремы 36[6] на не более четырех состояний равновесия с одним и тем же индексом Пуанкаре. Теорема доказана.

Теорема 5. Система (1) не может иметь шесть особых точек второй группы с чисто мнимыми характеристическими корнями.

Доказательство. Пусть система (1) имеет шесть особых точек второй группы с чисто мнимыми корнями характеристического уравнения. Тогда , так как в противном случае шесть состояний равновесия, индекс Пуанкаре каждого из которых равен +1, принадлежат кривой второго порядка . А это противоречит теореме 4.

По лемме 1[1] система (1), кроме шести антиседел имеет еще три седла. Исходя из лемм 1 и 2 и теоремы 36[6], легко показать, что ни одна из главных изоклин системы (1) не является распадающейся кривой. Тогда мы оказываемся в условиях леммы 5. Согласно [7] изоклина , удовлетворяющая условиям леммы 5, встречается только в одном из следующих классов: гиперболических гипербол, параболических гипербол, гиперболизмов конических сечений.

Пусть кривая принадлежит классу гиперболических гипербол. Тогда не уменьшая общности рассуждений, считаем, что система (1) имеет вид [7]:

 (13)

где .

Так как , то коэффициенты системы (13) подчинены условиям:

(14)

- центр.

Исследуем особые точки системы (13) на бесконечности. Посредством преобразований Пуанкаре [4]:

и

система (13) с учетом (14) приводится соответственно к виду:

(15)

и

(16)

.

Очевидно, особая точка системы (16) является простым устойчивым узлом [4]. Координаты остальных бесконечно удаленных особых точек системы (13) согласно [4] удовлетворяют системе уравнений

.

Важно отметить следующее. Так как система (13) имеет девять состояний равновесия в конечной части фазовой плоскости, то сложные состояния равновесия системы (15) могут появиться лишь в результате слияния простых особых точек, расположенных на экваторе сферы Пуанкаре.

Характеристические корни особой точки системы (15), как нетрудно видеть, определяются по формулам:

(17)

где - корень уравнения

(18)

Сразу заметим, что уравнение (18) не имеет трехкратного корня в силу .

Итак, уравнение (18) имеет: а) либо три различных действительных корня; б) либо один простой и один двукратный действительные корни; в) либо один простой действительный и два комплексно-сопряженных корня.

В случае а) согласно (17) все три особые точки системы (15) узлы. В случае б) система (15) имеет один простой узел и одну сложную двукратную особую точку с двумя нулевыми характеристическими корнями. В силу выше приведенных рассуждений, сложная точка покоя имеет индекс Пуанкаре, равный +2. В случае в) простому корню уравнения (18) соответствует особая точка типа «узел».

Таким образом, сумма индексов особых точек системы (13) на бесконечности не менее +2. Однако это противоречит известному утверждению о том, что сумма индексов Пуанкаре всех состояний равновесия, как конечных, так и бесконечно удаленных, автономной дифференциальной системы (2) равна +1 (см., например с. 124[8]).

Итак, изоклина системы (1) не может являться представителем класса гиперболических гипербол.

Если предположить, что кривая принадлежит классу параболических гипербол, то согласно [7] можно рассмотреть систему (13), где

Соответствующим образом изменятся системы (15) и (16). Однако начало координат системы (16) является также узлом, а характеристические корни особых точек системы (15) определяются по формулам:

(19)

где - корень уравнения

(20)

Согласно (19) и (20) единственная точка покоя системы (15) будет только узлом. Снова приходим к противоречию с тем, что сумма индексов особых точек на всей фазовой плоскости равна +1.

Предположим, что изоклина является кривой класса гиперболизмов конических сечений. Тогда согласно [7] рассматриваем систему (13), где

Корни характеристических уравнений особых точек системы (15) определяются по тем же формулам (19), где - узел системы (16). И в этом случае сумма индексов Пуанкаре всех состояний равновесия системы (13) не равна +1.

Теорема доказана.

Замечание 3. В заметке [1] приводится пример кубической системы с пятью центрами, характеристические корни каждого из которых являются чисто мнимыми. В этой связи уместно отметить, что, если система (1) имеет хотя бы одну особую точку второй группы с кратным нулевым характеристическим корнем (их число не более двух [9]), то общее число особых точек второй группы системы (1) заведомо меньше пяти.

Литература

эллипс гипербола пуанкаре уравнение изоклина

1. Ушхо Д.С. О числе особых точек второй группы кубической системы / Д.С. Ушхо// Дифференциальные уравнения, 1993. - Т.29. - №2. - С. 240-245.

2. Ильин В.А. Аналитическая геометрия / В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. - М.: Наука, 1981. - 232 с.

3. Ушхо Д.С. О прямых изоклинах кубической дифференциальной системы / Д.С. Ушхо // Труды ФОРА. - 2003. - № 8. - С. 7-21.

4. Андронов А.А. Качественная теория динамических систем второго порядка / А.А. Андронов, Е.А. Леонтович, И.И. Гордон, А.Г. Майер. - М.: Наука, 1966. - 568 с.

5. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В трех томах. Т.1 / Г.М. Фихтенгольц. - М.: Наука, 1966. - 608 с.

6. Андронов А.А. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости / А.А. Андронов, Е.А. Леонтович, И.И. Гордон, А.Г. Майер. - М.: Наука, 1967. - 488 с.

7. Смогоржевский А.С. Справочник по теории плоских кривых третьего порядка / А.С. Смогоржевский, Е.С. Столова. - М.: Физматгиз, 1961. - 263 с.

8. Баутин Н.Н. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости / Н.Н. Баутин, Е.А. Леонтович. - М.: Наука, 1976. - 496 с.

9. Ушхо Д.С. Оценка числа центров кубической дифференциальной системы в случае кратного нулевого корня характеристического уравнения / Д.С. Ушхо // Вестник АГУ. - 1999. - № 3. - С. 97_100.

Размещено на Allbest.ru