Закон инерции квадратичных форм

Размещено на http://www.allbest.ru/

21

Размещено на http://www.allbest.ru/

Контрольная работа

по дисциплине: «Фундаментальная и компьютерная алгебра»

на тему:

Закон инерции квадратичных форм

Введение

Данная работа посвящается вопросам квадратичных форм и в частности закону инерции. В работе приводятся предварительные общие сведения квадратичной формы и ее свойства.

Над теорией квадратичных форм работал не один математик, впервые она была развита французским математиком Лагранжем. Затем эта теория была значительно расширена Гауссом.

Целью моей курсовой работы является рассмотрение квадратичной формы и ее свойств, а также подробное рассмотрение закона инерции.

1. Основные понятия

квадратичный математический закон инерция

Квадратичной формой /(хих2,...,х„) п действительных переменных х1,х2,...,х„ называется сумма вида

Или

Д*1» *2. . *„) = ^ ^аих1х]' О,2)

.=1 7=1

Где о, у - некоторые числа, называемые коэффициентами. Не ограничивая общности, можно считать, что о, у = а;,.

Квадратичная форма называется действительной или комплексной в зависимости от того, являются ли ее коэффициенты соответственно действительными или комплексными числами. Будем рассматривать действительные квадратичные формы. Матрицей квадратичной формы называется матрица, составленная из ее коэффициентов. Квадратичной форме (11.1) соответствует единственная симметрическая матрица

 (11.3)

И наоборот, всякой симметрической матрице (11.3) соответствует единственная квадратичная форма с точностью до обозначения переменных.

Рангом квадратичной формы называют ранг ее матрицы. Квадратичная форма п переменных называется невырожденной, если ее матрица невырожденная, т. е. г = п, и вырожденной, если г < п.

Квадратичную форму (11.1) п переменных хх, х2, ...,х„ можно записать в матричном виде. Действительно, если X - матрица-столбец из переменных

- матрица, полученная транспонированием матрицыТ. е. матрица-строка из тех же переменных, то

(11.4)

Где А определяется формулой (11.3).

Пример 11.1. Записать матрицу квадратичной формы

И найти ее ранг.

В данном случае

Поэтому

Вычислим определитель этой матрицы

Так как то ранг матрицы равен тремЭта квадратичная форма является невырожденной, поскольку

2. Закон инерции

Предположим, что рассматриваются произвольные комплексные квадратичные формы и допускается применение невырожденных линейных преобразований также с произвольными комплексными коэффициентами. Всякая квадратичная форма от неизвестных, имеющая ранг , приводится к каноническому виду:

,

где все коэффициенты отличны от нуля. Пользуясь тем, что из всякого комплексного числа извлекается квадратный корень, выполняются следующее невырожденное линейное преобразование: при ; при . Оно приводит форм к виду:

, (3.1)

называемому нормальным; то есть сумма квадратов неизвестных с коэффициентами, равными единице.

Нормальный вид зависит лишь от ранга формы , то есть все квадратичные формы ранга приводятся к одному и тому же нормальному виду (3.1). Если формы и от неизвестных имеют одинаковый ранг , то можно перевести в (3.1), а затем (3.1) в , то есть существует невырожденное линейное преобразование, переводящее в . Так как с другой стороны, никакое невырожденное линейное преобразование не изменяет ранга формы, то получается следующий результат.

Теорема. Две комплексные квадратичные формы от неизвестных тогда и только тогда переводятся друг в друга невырожденными линейными преобразованиями с комплексными коэффициентами, если эти формы имеют один и тот же ранг.

Доказательство. Из этой теоремы вытекает, что каноническим видом комплексной квадратичной формы ранга может служить всякая сумма квадратов неизвестных с любыми отличными от нуля комплексными коэффициентами.

Всякую действительную квадратичную форму можно привести невырожденным линейным преобразованием с действительными коэффициентами к нормальному виду. Форма ранга от неизвестных приводится к каноническому виду, который можно записать следующим образом:

, ,

где все числа отличны от нуля и положительны. Тогда невырожденное линейное преобразование с действительными коэффициентами при ; при , приводит к нормальному виду,

.

квадратичный математический закон инерция

Общее число входящих сюда квадратов будет равно рангу формы.

Действительная квадратичная форма может быть приведена к нормальному виду многими различными преобразованиями, однако с точностью до нумерации неизвестных она приводится лишь к одному нормальному виду. Это показывает следующая важная теорема, называемая законом инерции действительных квадратичных форм.

Теорема. Число положительных и число отрицательных квадратов в нормальном виде, к которому данная квадратичная форма с действительными коэффициентами действительным невырожденным линейным преобразованием, не зависят от выбора этого преобразования.

Доказательство. Пусть квадратичная форма ранга от неизвестных двумя способами приведена к нормальному виду:

. (3.2)

Так как переход от неизвестных к неизвестным был невырожденным линейным преобразованием, то, обратно, вторые неизвестные также будут линейно выражаться через первые отличными от нуля определителями:

. (3.3)

Аналогично,

, (3.4)

причем определитель из коэффициентов снова отличен от нуля. Коэффициенты же, как в (3.3), так и в (3.4) действительные числа.

Можно предположить, что , и написать систему равенств

. (3.5)

Если левые части этих равенств будут заменены их выражениями из (3.3), и (3.4), получится система линейных однородных уравнений с неизвестными . Число уравнений в этой системе равно меньше числа неизвестных, поэтому система обладает ненулевым действительным решением . Необходимо заменить в равенстве (3.2) все и все их выражениями (3.3) и (3.4), а затем подставить вместо неизвестных числа . Если через и будут обозначены значения неизвестных и , получающиеся после такой подстановке, то (3.2) превращается в равенство

. (3.6)

Так как все коэффициенты в (3.3) и (3.4) действительные, то все квадраты, входящие в равенство (3.6),положительны, а поэтому (3.6) влечет за собой равенство всех этих квадратов; отсюда следует равенства

. (3.7)

С другой стороны, по самому выбору чисел

. (3.8)

Таким образом, система линейных однородных уравнений , с неизвестными обладает, (3.7) и (3.8), ненулевым решением , то есть определитель этой системы должен быть равен нулю. Это противоречит, однако, тому, что преобразование (3.4) предполагалась невырожденным. Такое же противоречие будет, если . Отсюда следует равенство , доказывающее теорему.

Число положительных квадратов в той нормальной форме, к которой приводится данная действительная квадратичная форма , называется положительным индексом инерции этой формы, число отрицательных квадратов - отрицательным индексом инерции, а разность между положительным и отрицательным индексами инерции- сигнатурой формы .

Теорема. Две квадратичные формы от неизвестных с действительными коэффициентами тогда и только тогда переводятся друг в друга невырожденными действительными линейными преобразованиями, если эти формы имеют одинаковые ранги и одинаковые сигнатуры.

Доказательство. Пусть форма переводится в форму невырожденным действительным преобразованием. Уже известно что преобразование не меняет ранга формы. Оно и не может менять сигнатуры, так как противном случае и приводились бы к различным нормальным видам, а тогда и форма приводилась бы, в противоречие с законом инерции, к этим обоим нормальным видам. Обратно, если формы и имеют одинаковые ранги и одинаковые сигнатуры, то они приводятся к одному и тому же нормальному виду и поэтому могут быть переведены друг в друга.

Если дана квадратичная форма в каноническом виде,

, (3.9)

с неравными нулю действительными коэффициентами, то ранг этой формы равен . Если приводить такую форму к нормальному виду, то можно увидеть, что положительный индекс инерции формы равен числу положительных коэффициентов в правой части равенства (3.9). Отсюда и вытекает такой результат:

Квадратичная форма тогда и только тогда будет иметь форму (3.9) своим каноническим видом, если ранг формы равен , а положительный индекс инерции этой формы совпадает с числом положительных коэффициентов в (3.9).

Не всякая квадратичная форма может быть представлена в виде произведения двух линейных форм, и для этого необходимо ввести условие, при которых это имеет место, то есть при которых квадратичная форма является распадающейся.

Комплексная квадратичная форма распадается тогда и только тогда, если ее ранг меньше или равен двум. Действительная квадратичная форма распадается тогда и только тогда, если ее ранг не больше единицы, или же он равен нулю, а сигнатура равна нулю.

Для начала необходимо рассмотреть произведение линейных форм и . Если хотя бы одна из этих форм нулевая, то их произведение будет квадратичной формой с нулевыми коэффициентами, то есть оно имеет ранг 0. Если линейные формы и пропорциональны, , причем и форма ненулевая, то пусть, например, коэффициент . Тогда невырожденное линейное преобразование при приводит квадратичную форму к виду .

Справа стоит квадратичная форма ранга 1, а поэтому и квадратичная форма имеют ранг 1. Если же, линейные формы и не являются пропорциональными, то пусть, например,.

Тогда линейное преобразование

,

,

при

будет невырожденным; оно приводит квадратичную форму к виду . Справа стоит квадратичная форма ранга 2, имеющая в случае действительных коэффициентов сигнатуру 0.

Необходимо перейти к доказательству обратного утверждения. Квадратичная форма ранга 0 может, конечно, рассматриваться как произведение двух линейных форм, одна из которых нулевая. Далее, квадратичная форма ранга 1 невырожденная линейным преобразованием приводится к виду , то есть к виду . Выражая линейно через , получится представление формы в виде произведения двух линейных форм. Тогда действительная квадратичная форма ранга 2 и сигнатуры 0 приводится невырожденным линейным преобразованием к виду ; к этому же виду может быть приведена любая комплексная квадратичная форма ранга 2. Однако , но справа, после замены и их линейными выражениями через , будет стоять произведение двух линейных форм. Теорема доказана.

3. Примеры решения задач квадратичных форм

Задача № 1. Написать матрицу квадратичной формы

.

Решение. Здесь

Следовательно:

Задача № 2. Привести к каноническому виду квадратичную форму

.

Решение. Коэффициенты:

.

Составим характеристическое уравнение

;

Задача № 3

Привести к каноническому виду уравнение второго порядка:

.

Решение

Коэффициенты

.

Составим характеристическое уравнение:

Итого:



-

каноническое уравнение эллипса.

Задача № 4

Привести к каноническому виду уравнение второго порядка:

.

Решение

Коэффициенты

.

Составим характеристическое уравнение:

Итого:

- каноническое уравнение параболы.

Задача № 5

Привести к каноническому виду уравнение второго порядка:

.

Решение

Коэффициенты

.

Составим характеристическое уравнение:

Итого:

- каноническое уравнение эллипса.

Задача № 6

Привести к каноническому виду уравнение второго порядка:

.

Решение. Коэффициенты

 .

Составим характеристическое уравнение:

Итого:

- каноническое уравнение гиперболы.

Задача № 7

Привести к каноническому виду уравнение второго порядка:

.

Решение

Коэффициенты

.

Составим характеристическое уравнение:

Итого:

- каноническое уравнение гиперболы.

Задача № 8

Привести к каноническому виду уравнение второго порядка:

.

Решение

Коэффициенты

.

Составим характеристическое уравнение:

Итого:

- каноническое уравнение гиперболы.

Задача № 9

Привести к каноническому виду уравнение второго порядка:

.

Решение

Коэффициенты

.

Составим характеристическое уравнение:

Итого:

- каноническое уравнение гиперболы.

Задача № 10

Привести к каноническому виду уравнение второго порядка:

.

Решение

Коэффициенты

.

Составим характеристическое уравнение:

Итого:

- каноническое уравнение гиперболы.

Заключение

В выполненной работе рассмотрены математические постановки для изучения материала: приведение квадратичной формы к каноническому виду, законы инерции, положительно определенные формы. Для того, чтобы использовать квадратичные формы на практике, в начале необходимо привести ее к каноническому виду. Всякая квадратичная форма может быть приведена некоторым невырожденным линейным преобразованием к каноническому виду. Любую действительную квадратичную форму можно привести невырожденным линейным преобразованием с действительными коэффициентами к нормальному виду. Если две квадратичные формы с действительными коэффициентами имеют одинаковые ранги и одинаковые сигнатуры, то эти формы могут быть переведены друг в друга невырожденными действительными линейными преобразованиями.

Квадратичная форма с действительными коэффициентами будет положительно определенной, если все главные миноры строго положительны, или если при всяких действительных значениях неизвестных, хотя бы одно из которых отлично от нуля.

Список использованной литературы

1. Курс высшей алгебры/ Курош А.Г.- М., 2008;

2. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии/ Бугров Я.С., Никольский С.М.-М.,2010.

Размещено на Allbest.ru

...