Собственные колебания газа около пластины
Уравнения, описывающие акустические колебания. Условия антисимметрии собственных функций относительно пластины. Дискретизация задачи и численные исследования. Метод прямого принудительного учета конечности энергии, а также разложения определителя.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 29.07.2013 |
| Размер файла | 308,5 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
1 . Формулировка задачи
Уравнения, описывающие акустические колебания. На рис. 1 представлена геометрия области акустических колебаний, разбитая на подобласти 14.
Рис. 1
Потенциал u (x, y, t) акустического возмущения скорости предполагается периодически зависящим от времени . В силу этого уравнения для потенциала акустического возмущения скорости u (x, y, t) имеют вид
в , (1.1)
где - область, занятая газом. Безразмерные частота и переменные (,) имеют вид
, ,
где c скорость звука, H высота канала, - круговая частота акустических колебаний.
В безразмерных переменных ширина канала будет равна 1, длине L и толщине d пластины будут соответствовать безразмерные величины и характеризующие длину профиля и толщину пластины относительно высоты канала.
На стенках канала B, профиле и краях пластины Д должны выполняться условия непротекания
на В+Г и на Д (1.2)
Согласно физическому содержанию задачи, необходимо, чтобы для функции u было выполнено условие конечности энергии во всей области колебаний:
, (1.3)
где E(u) имеет смысл энергии колебаний.
Условия излучения и непрерывный спектр. Удобно выбрать систему координат (,) таким образом, чтобы начало координат находилось на нижней стенке канала и ось пересекала профиль пластины посередине. Тогда границы канала B можно описать соотношениями B=, а профиль и Д в виде множеств на плоскости (,):
=
Д=,
где h расстояние от пластины до нижней стенки канала, а d толщина пластины.
Определение 1.1. Решение уравнения (1.1) называется удовлетворяющим условию излучения, если для некоторого достаточно большого числа R (R>L/2) и всех R справедливы следующие представления:
(1.4)
(здесь и далее безразмерная длина профиля пластины l для удобства обозначена L). Предполагается, что для 2<(n)2 выбрана такая ветвь квадратного корня, что ; и комплексные числа такие, что ряды (1.4) сходятся.
Если функция удовлетворяет условию излучения, то она затухает либо возрастает в общем случае как экспонента при удалении от начала координат (препятствия). Более подробно условия излучения обсуждаются в работах [14].
Задача (1.1), (1.2) в классе функций, удовлетворяющих условиям излучения, является фредгольмовой [2] и имеет нетривиальные решения только для дискретного, на некоторой поверхности Римана, множества значений параметра уравнения Гельмгольца (1.1). В [14] называются квазисобственными значениями этой задачи, а соответствующие значениям решения u называются квазисобственными функциями. В случае, когда энергия квазисобственных колебаний конечна (), функция u описывает классические собственные колебания. Они локализованы в окрестности пластины и могут являться причиной резонансных явлений. В том случае, когда энергия квазисобственных колебаний бесконечна, физический смысл колебаний до конца не ясен.
Для целых n и всех функции вида описывают обобщенные собственные волны в канале без препятствия (имеющие неограниченную энергию). С точки зрения теории самосопряженных операторов это означает, что соответствующее самосопряженное расширение оператора Лапласа имеет непрерывный спектр, который заполняет всю неотрицательную часть вещественной прямой. Числа соответствуют обобщенным собственным значениям этого расширения оператора . Классическим собственным значениям соответствует чисто точечный спектр этого оператора, погруженный в непрерывный.
Определение 1.2. Обобщенные собственные волны в канале, которые описываются при помощи функций Y0=exp (i), далее будут называться поршневыми модами.
Замечание 1.1. Поршневая мода является обобщенной собственной функцией канала как с пластиной, так и без нее. Это обусловлено тем, что функции, описывающие поршневые моды, не зависят от переменной , направление которой перпендикулярно оси канала (см. рис. 1). Если в канале параллельно его стенкам находится пластина, то вид функций, описывающих обобщенные собственные волны в этой структуре, может быть существенно другим по сравнению с видом обобщенных собственных функций пустого канала.
Сужение класса решений. Оператор, который соответствует задаче о собственных колебаниях около пластины в канале, имеет непрерывный спектр, совпадающий с положительной полуосью вещественных чисел. Это затрудняет исследование собственных значений. Сужения пространства допускаемых решений могут отодвинуть нижнюю грань 0 непрерывного спектра от начала координат. Это может позволить применять в интервале [0, 0] известные вариационные методы определения собственных значений.
Далее задача (1.1) - (1.4) будет называться задачей СК (собственные колебания). Пространство допустимых решений этой задачи является пространством функций с локально конечной энергией в области . Это пространство будет обозначено Hs.
Определение 1.3. Собственным значением задачи СК называется такое значение параметра , для которого существует нетривиальное решение u этой задачи, которое удовлетворяет условию (1.3). Функция u называется собственной функцией задачи СК.
Необходимо отметить, что собственные значения и функции задачи СК позволяют полностью описать акустические резонансные явления около пластины в канале, собственные значения погружены в непрерывный спектр, поршневая мода Y0=exp (i) является обобщенной собственной функцией задачи СК. Для исследования собственных колебаний возможны два подхода:
1. Если задача СК обладает зеркальной симметрией относительно середины канала, то добавляется условие антисимметрии колебаний относительно середины канала ({(,), =1/2}). Условие вполне естественно и позволяет исключить поршневую моду из пространства допускаемых решений задачи СК. В этом подходе непрерывный спектр самосопряженного расширения оператора -, соответствующего задаче СК, равен . Подход не обоснован, если расположение пластины в канале произвольно.
2. Другой подход применен в работе [4]. Доказано, что в условиях излучения (1.4) для собственной функции задачи СК не может присутствовать слагаемое, соответствующее поршневой моде. При помощи аналитической теоремы Фредгольма доказано существование собственных значений задачи СК для произвольного положения достаточно длинного профиля пластины. Доказательство основано на том, что поршневая мода является обобщенной собственной функцией задачи СК.
В этих подходах сужение пространства допустимых решений задачи СК приводит к изменению непрерывного спектра и появлению чисто точечного спектра соответствующего оператора. Первый из них использует симметрию задачи, второй пользуется тем, что поршневые моды являются обобщенными собственными функциями задачи СК. Последний подход более общий. В силу результатов теории самосопряженных операторов собственные функции имеют нулевую проекцию в соответствующем пространстве функций на произвольную поршневую моду, так как она является обобщенной собственной функцией. Поэтому, если собственная функция u* задачи СК существует, то она должна для всех значений удовлетворять необходимому условию
.
Условие будет выполнено для всех значений тогда и только тогда, когда для всех значений справедливо тождество
. (1.5)
Это условие сужает пространство Hs допустимых решений задачи СК на пространство H0 (H0 Hs), которое является подпространством Hs. Далее задача СК с условием (1.5), выполненным для всех значений , будет называться задачей СКО (собственные колебания ортогональные). Непрерывный спектр, соответствующий задаче СКО, представляет собой множество на вещественной полуоси. Поэтому собственные значения СКО ищутся в интервале (0, 2).
Замечание 1.2. Условия антисимметрии собственных функций относительно пластины по переменной частный случай условий (1.5).
2 . Существование и вид собственных функций
Вид собственных функций вдали от пластины описывается при помощи условий излучения (отсутствие уходящих волн и условия конечности энергии).
Для более полного понимания механики собственных колебаний и создания алгоритмов численного исследования необходимо представление о виде собственной функции в окрестности пластины.
Вид собственной функции в окрестности пластины. Важным является исследование вида собственных функций в окрестности краев(концов) пластины. Физическими предпосылками для этого исследования в окрестности толстого края будут: а) энергия в окрестности края конечна; б) край пластины не излучает.
Замечание 2.1. Эти предпосылки эквивалентны друг другу и являются следствием условия конечности энергии собственных колебаний (1.3).
В окрестности края профиля решение u задачи СК (или СКО) имеет вид [6]
(2.1)
Здесь - расстояние от края, в окрестности которой исследуется вид решения, до точки (,); - угол, измеряемый от нижней границы профиля для вектора (-L/2, h) при изучении окрестности переднего края или (+L/2, h) при изучении заднего края (см. рис. 1).
В области решение u задачи СК (или СКО) можно считать достаточно гладким, поэтому в области его можно представить в виде
(2.2)
где функция, разрывная на множестве точек Г; функция, непрерывная во всей области .
Утверждение 2.1. Каждое решение задачи СК представимо в виде (2.2). Функция непрерывна в краях профиля, =0 в областях 3 и 4 (слева и справа от профиля) (см. рис. 1), в областях 1 и 2 (над и под профилем) ее можно записать в виде
. (2.3)
В том случае, когда функция uр удовлетворяет условиям ортогональности поршневой моде (1.5) и координаты безразмерны, справедливо равенство =h.
Доказательство. Методом от противного. Пусть u+ - предельное значение при h+0 а u- предельное значение при h+d0 функции . Тогда функция = (u+u-) описывает интенсивность разрыва на профиле функции и справедливо представление (2.3). Если непрерывность в точках краях профиля нарушается, то не выполняется условие (2.1), которое является следствием условия конечности энергии (1.3). Выражение для константы получено из условия ортогональности (1.5). Необходимо отметить, что может не удовлетворять условию конечности энергии. Утверждение доказано.
Следствие. На краях профиля разрыва потенциала скорости нет, =0 при =L/2 и =L/2.
Можно заметить, что задача СКО при надлежащем выборе начала координат (=0 середина профиля) переходит сама в себя (инвариантна) относительно замены переменных . Поэтому любое решение u этой задачи можно представить в виде u = us + ua. Здесь и далее us(us( симметричная (четная) по , ua(=ua( - антисимметричная (нечетная) по составляющие решения u. Так как задача СКО линейна, то пространство Hо всех допустимых её решений можно представить в виде прямой суммы пространств симметричных Hsym и антисимметричных Ha по решений, Hо=HsymHa. В силу этого и линейности задача разбивается на две независимые задачи для четных и нечетных по функций, исследования их аналогичны, поэтому дальнейшее изложение ведется для случая симметричных (четных) по решений. Необходимые изменения для исследования случая нечетных по решений будут приведены по ходу изложения.
Пусть ui, i=1,…, 4 есть сужения решения u задачи СКО на области 1,…, 4 соответственно. Общее решение задачи СК в областях 13 в классе четных по функций имеет вид
(2.4)
Для нечетных по функций справедливо представление
(2.5)
Условия (1.5) будут выполнены в том случае, когда
(2.6)
Для того чтобы функция вида (2.3), (2.4) (или (2.5)) с условиями (2.6) была решением задачи СКО, на границах областей 14 должны быть выполнены условия непрерывности решения и его нормальной производной, которые называются условиями склейки или сшивания [7]. В силу симметрии задачи по достаточно выполнения условий склейки на границах областей 13 и 23. Пусть 13 обозначает границу между 1 и 3, а 23 границу между 2 и 3. Условия склейки имеют вид
(2.7)
Условия (2.7) означают, что функция вида (2.3) будет слабым решением задачи СКО в энергетическом пространстве Соболева. Известно, что для эллиптических уравнений слабое решение автоматически является сильным решением.
Существование собственных колебаний около профиля в канале. Для обоснования корректности математического описания собственных акустических колебаний около профиля в канале необходимо показать, что хотя бы для некоторых геометрических параметров структуры собственные колебания описываются при помощи предложенной математической модели.
Для этого будут рассмотрены вспомогательные задачи и использован метод вилки Дирихле - Неймана [8]. Пусть дополнительно к граничным условиям задачи на отрезках G={(,): =R, 01, R>L/2} выполнены условия Дирихле D (либо Неймана N):
D u(, ) = 0 при = R>L/2,
либо
N u(, ) = 0 при = R>L/2.
Для удобства дальнейшего изложения задача СКО с дополнительным условием D будет обозначаться СКО(DR), а с условием N - СКО(NR). Пусть DR, uDR и NR, uNR - собственные значения и собственные функции задач СКО(DR) и СКО(NR) соответственно. Так как условие N расширяет пространство допустимых решений задачи СКО, а условие D сужает его, то для всех чисел R, R>L/2 справедливы неравенства, которые можно получить при помощи вариационной формулировки задачи [8],
NR DR. (2.8)
Замечание 2.3. Если для некоторых значений R (R L/2) выполнены строгие неравенства 0<NR и 0<DR< , то из соотношения (2.8) следует существование собственного значения задачи СК.
Если R=L/2 то условие D представляет собой «мягкое» условие излучения для колебаний в каналах 1 и 2 (см. рис. 1). В этом случае безразмерная собственная частота продольных колебаний DL вычисляется по формуле DL=. В силу этого для выполнения неравенства < достаточно чтобы <, которое будет справедливо, если длина профиля больше высоты канала (L>1). Из условия (1.5) при R>L/2 следует строгое неравенство NR>0. Это означает, что собственное значение задачи Неймана для оператора Лапласа в связной области 1 строго больше 0.
Теорема 2.1. (Достаточное условие существования собственных колебаний около профиля в канале). Если безразмерная длина профиля L удовлетворяет строгому неравенству 1< L, то нетривиальные собственные значения задачи СКО существуют.
Доказательство. Пусть h1d (или h0), (h+d/2) - ордината положения продольного среза пластины, ((h+d/2) 1/2) отклонение положения продольного среза от середины канала, тогда существует собственная функция u(,) задачи СКО(DR), локализованная в области [L/2, L/2][h+d, 1], которая имеет вид
u(,) =
Этой собственной функции соответствует собственное значение , которое удовлетворяет соотношению /L при h1d. Для случая h0 необходимо сделать очевидные замены. Теорема доказана.
В теореме 2.1. доказано существование собственных значений задачи только для достаточно больших относительных длинах профиля.
Теорема 2.2. (Существование собственных колебаний). Собственные колебания около профиля в канале всегда (для любых длин и места положения профиля) существуют.
Доказательство. Достаточно показать, что для любого значения L>0 существует такое R>0, что справедливы неравенства
0 <NR DR <. (2.9)
Оценка снизу. Если R>L/2, то 0<NR в силу связности области и ортогональности решения константе, так как (NR)2 есть второе собственное значение задачи Неймана для оператора Лапласа в ограниченной связной области.
Оценка сверху. Пусть в представлении (2.2) непрерывная составляющая uн приближенной собственной функции u имеет вид
ui=cos(ж) cos(/R) в .
Разрывная на профиле составляющая приближенной собственной функции (2.3) имеет вид
( некоторая произвольная константа). Функцию uр можно считать определенной во всей области колебаний, если ее продолжить тождественно равной 0 вне областей 1 и 2. Для всех значений справедливо соотношение, которое отражает вариационное свойство собственных значений,
(2.10)
где R={(,): R}. Прямым вычислением проверяется (это есть следствие ограниченности носителя функции uр), что для больших значений R справедливо асимптотическое представление
.
Величины A и B зависят от . Так как параметры R и независимы, то для достаточно больших R определяющим является значение величины A. Справедливо выражение
.
Отсюда следует, что для достаточно малых отрицательных значений величины значения A будут отрицательными. Следовательно, для достаточно больших значений R и малых отрицательных значений справедливо строгое неравенство
.
В силу соотношения (2.10) справедливы неравенства (2.9). Теорема доказана.
Замечание 2.4. Метод доказательства теоремы 2.2 фактически основан на оценке возмущения обобщенной собственной функции, вносимого профилем. Отсюда следует, что при уменьшении длины профиля собственная функция все более «походит» на обобщенную собственную функцию, удовлетворяющую условиям (1.5).
Замечание 2.5. Механика собственных колебаний при L>1 и L<1 не имеет принципиальных отличий. При L<1 собственные функции не могут быть локализованы между профилем и стенками канала. Этот факт наиболее существен при h или h(d). В этом случае собственная функция «выдавливается» наружу из пространства между профилем и стенкой (малость величины ). Если L>1, то, как следует из доказательства теоремы 2.1, при h или h(d) собственная функция локализована между профилем и ближайшей стенкой канала. Необходимо отметить, что обсуждается поведение наименьших собственных значений.
3 . Дискретизация задачи и численные исследования
Дискретизация задачи должна приближенно учитывать все ее свойства. Учет условия конечности энергии - наиболее специфическая проблема, характерная только для задач подобного типа. Если соотношения (2.7) рассматривать как равенства рядов Фурье на всем интервале 15 и 23, то они примут вид бесконечной однородной системы уравнений [8].
Элементы матриц этих уравнений аналитически зависят от параметра . Эта система обладает существенным недостатком для численных методов решения, на который следует обратить внимание. Необходимы дополнительные условия [8], чтобы численное решение этих уравнений сходилось к решению, для которого справедливы условия конечности энергии. В предлагаемой работе для корректности вычислений при h=(1-d)/2 дискретизованные соотношения (2.7) дополнялись принудительным условием конечности энергии, которое позволяет существенно повысить точность и скорость вычислений. В силу следствия 2.1 на краях профиля L/2 и L/2 для четных по оси абсцисс мод колебаний справедливо равенство
, (3.1а)
для нечетных
. (3.1б)
Соотношения (3.1) имеют смысл принудительного выполнения условия конечности энергии на краях профиля для приближенных собственных функций и являлись добавочными при вычислениях собственных значений и функций (количество неизвестных {am} и {bm} было равным). Аналогичные соотношения использованы для вычисления собственных значений и частот антисимметричных по оси абсцисс собственных колебаний. Это позволяет использовать результаты [8] для обоснования численных исследований. Для численного определения зависимости собственных значений и функций от параметра d применялся обобщенный метод разложения определителя. Для выполнения условия конечности энергии в дискретных моделях использована известная методика решения бесконечных систем уравнений в специальных пространствах допускаемых решений [8].
Метод прямого принудительного учета конечности энергии. Этот метод применяется в предлагаемой работе для численного исследования зависимости частоты собственных колебаний от толщины профиля в том случае, когда профиль находится посередине канала (hd/2=(1-h+d/2)=(1d)/2). Поэтому условия (2.6) примут вид . Если профиль находится посередине канала, то любую собственную функцию u* задачи СКО можно представить в виде суммы двух функций u*=ua +us, из которых us симметрична относительно профиля, а ua антисимметрична. Так как любая собственная функция задачи СКО удовлетворяет условию (1.5), то можно считать, что собственная функция u* антисимметрична относительно профиля, если профиль находится посередине канала. В силу этого можно считать, что u1( u2( или am=bm для всех значений m. Кроме того, поскольку u3( u5( функция u3 антисимметрична относительно места положения пластины, в представлениях (2.4) и (2.5) для них все коэффициенты ck c четными номерами (c2m=0 (m=1,2…)) равны нулю. Система уравнений, полученная из (2.7) с условием (3.1) и (1.5) обрезалась и исследовалась численно.
Метод разложения определителя. Наибольшая трудность, которая встречается при численных исследованиях задачи типа СКО, заключается в том, что необходимо контролировать сходимость приближенных решений к решению задачи в классе функций с условиями конечности энергии на крае.
Пусть пластина находится по середине канала (h=(1d)/2), что означает, что для областей 1 (над профилем) и 2 (под профилем) собственные функции равны и представлены в виде
Это выражение аналитически зависит от и содержат K=(M+1) неизвестных констант и параметр d. Для определения этих неизвестных необходимо K дополнительных соотношений, которые можно получить при помощи условий (2.7). По сути требуется выполнение для приближенной собственной функции K парциальных условий излучения. Пусть
Условия излучения или склейка (2.7) приводят к системе выражений для неизвестных коэффициентов ck (k=1…K=M+1):
Если исключить ck из этих соотношений, то получается однородная система уравнений с K неизвестными константами am (m=0, 1,…, M):
где, (k=1,…, K).
Если сделать замену переменных, то система уравнений примет канонический вид
она исследована при помощи метода разложения определителя [8]. Получено выражение, которое позволяет приближенно рассчитать собственные частоты колебаний около профиля в канале:
(3.2)
(для четных по оси собственных колебаний k - нечетное число, для нечетных - четное.).
4 . Численные исследования
Зависимость частоты от ширины пластины. На рис. 2 представлены результаты численных исследований зависимости частоты собственных колебаний от толщины d пластины длинны L=2. Сплошной линией показаны результаты вычислений проведенных при помощи неявного выражения (3.2).
Из результатов численных исследований видно, что с увеличением толщины пластины значения частоты собственных колебаний увеличиваются. Наибольшей возможной частотой собственных колебаний является , которая достигается при уменьшении длины пластины до некоторой критической величины, устремив толщину пластины к ширине канала.
Эффективная длина профиля. Пусть L>>1. Если длина профиля стремится к бесконечности или профиль приближается к стенке канала, то первая безразмерная частота собственных колебаний около профиля * приближенно имеет вид * /L. В силу этого для изучения механики колебаний на первой собственной частоте удобно ввести понятие эффективной длины профиля Leff, которая равна половине длины волны собственных колебаний (Leff =/*). В силу теорем 2.1 и 2.2 справедливы:
Утверждение 4.1. (Зависимость эффективной длины от длины профиля). Если L0, то Leff 1. Если L, то Leff L.
Утверждение 4.2. (Зависимость эффективной длины от места положения профиля). Пусть L>1. Если h0 (h1), то Leff L. Пусть L<1. Если h0 (h1), то Leff 1.
Пусть Leff = /* = L (1+) или . На рис. 4 приведена зависимость величины от безразмерной длины профиля, которая получена численно при помощи метода принудительного учета конечности энергии. Можно отметить хорошее совпадение результатов, полученных в ходе расчетов, с приведенными выше утверждениями.
Теоретические и численные исследования позволяют утверждать, что не существует минимальной или максимальной длины профиля, при которой отсутствуют собственные колебания.
Вид собственных функций, зависимость амплитуды от координат. При помощи метода принудительного учета конечности энергии произведены расчеты зависимости собственной функции от координат для L=2, h=1/2. На рис. 5a приведена зависимость амплитуды колебаний под пластиной для первой (четной) моды собственных колебаний от координат. В силу ортогональности собственных колебаний поршневой моде собственная функция антисимметрична относительно профиля, если он находится посередине канала (колебания сверху и снизу профиля находятся в противофазе).
Вид собственных колебаний, направление акустических скоростей потока. На рис. 5б показано поле акустических скоростей для первой моды собственных колебаний (над пластиной фаза сжатия, под пластиной фаза разрежения), а на рис. 5в показано поле давления (или плотности) этой же моды колебаний. Проведенные исследования позволяют понять механику собственных колебаний около профиля в канале. Из рис. 5б и 5в ясно, что первая мода собственных колебаний - это перетекание газа из области 1 в область 2 и наоборот.
Заключение
1. Исследована математическая модель, описывающая собственные колебания около тонкой пластины в канале. Построена модель для толстой пластины. Проведен ряд численных исследований собственных колебаний.
2. Численно найдены зависимости частот собственных колебаний от толщины пластины, от положения пластины в канале, а также эффективная толщина профиля пластины.
3. Показано, что собственные колебания существуют для любых длин профиля и произвольного положения толстой пластины в канале.
4. Исследованы асимптотики собственных частот при приближении пластины к стенке канала и бесконечном удлинении или уменьшении длины профиля. Обнаружено, что при приближении пластины к стенке канала собственная функция локализуется между пластиной и стенкой, если длина профиля пластины больше высоты канала. Если длина профиля стремится к нулю, то собственная частота колебаний стремится к низшей частоте, соответствующей допускаемым обобщенным собственным волнам в канале без препятствия.
5. Исследована зависимость амплитуды собственных колебаний от координат. Показано, что собственные колебания над и под профилем находятся в противофазе.
Список литературы
Сухинин С.В. Об акустических и электромагнитных колебаниях около периодической решетки // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр./АН СССР. Сиб. Отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1981. Вып. 51. С. 159-168.
Сухинин С.В. Качественные вопросы теории рассеяния на периодических цилиндрических препятствиях // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр./АН СССР. Сиб. Отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1984. Вып. 67. С. 118-134.
Сухинин С.В. Эффект волновода // Тез. Докл. 6-го Всесоюз. съезда по теорет. и прикл. механике. Ташкент, 1986.
Сухинин С.В. Эффект волновода // ПМТФ. 1989. №2. С. 92-101.
Evans D.V., Linton C.M. Trapped Mode Frequencies Embedded In the Continuous Spectrum. // Q.J. Mech. and Appl. Math. 1993. V.46, Pt.2, P.255-274.
Хенл Х., Мауэ А., Вестпфаль К. Теория дифракции. М.: Мир, 1964.
Миттра Р, Ли С. Аналитические методы теории волноводов. М.: Мир, 1974.
Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т.4. М.: Мир, 1982.
акустический пластина определитель энергия
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Математическая постановка задачи для прямоугольной пластины. Исследование спектра частот при сложных граничных условиях с помощью асимптотического метода. Определение корреляционной функции прогиба пластины. Случайная нагрузка и методы ее описания.
курсовая работа [354,2 K], добавлен 13.11.2016Метод аналитического решения (в радикалах) алгебраического уравнения n-ой степени с возвратом к корням исходного уравнения. Собственные значения для нахождения функций от матриц. Устойчивость решений линейных дифференциальных и разностных уравнений.
научная работа [47,7 K], добавлен 05.05.2010Понятие собственных векторов и собственных значений, их свойства и характеристики, порядок нахождения собственных векторов оператора. Критерии определения независимости и ортогональности собственных векторов. Факторы и теоремы положительных матриц.
реферат [350,1 K], добавлен 22.04.2010Колебания как один из самых распространенных процессов в природе и технике, характеристика его разновидностей: механических, электромагнитных, химических, термодинамических. Математический и пружинный маятники. Примеры решения задач по данной теме.
презентация [458,8 K], добавлен 22.03.2011Математическая формулировка задачи, существующие численные методы и схемы алгоритмов. Интерполирование функции, заданной в узлах, методом Вандермонда. Среднеквадратичное приближение функции. Вычисление интеграла функций по составной формуле трапеций.
курсовая работа [3,4 M], добавлен 14.04.2009Метод Эйлера: сущность и основное содержание, принципы и направления практического применения, определение погрешности. Примеры решения задачи в Excel. Метод разложения решения в степенной ряд. Понятие и погрешность, решение с помощью метода Пикара.
контрольная работа [129,0 K], добавлен 13.03.2012Метод сеток (конечных разностей) - вид численного анализа. Расчет стержней и пластин на прочность, устойчивость и колебания. Формулы для приближенного вычисления производных от функций переменных, расчет упругих систем и разномерных краевых задач.
учебное пособие [4,2 M], добавлен 30.12.2011Условия разложения функций для тригонометрического ряда. Определение коэффициентов разложения с помощью ортогональности систем тригонометрических функций. Понятие периодического продолжения функции, заданной на отрезке. Ряд Фурье функции у=f(x).
презентация [30,4 K], добавлен 18.09.2013Основные этапы и принципы решения системы линейных уравнений с помощью метода Крамара, обратной матрицы. Разрешение матричного уравнения. Вычисление определителя. Расчет параметров пирамиды: длины ребра, площади грани, объема, а также уравнения грани.
контрольная работа [128,1 K], добавлен 06.09.2015Вычисление определителя с использованием правила треугольника и метода разложения по элементам ряда. Решение системы уравнений тремя способами: методом Гаусса, методом Кремера и матричным методом. Составление уравнения прямой и плоскости по формуле.
контрольная работа [194,5 K], добавлен 16.02.2015Численное решение уравнения методом Эйлера и Рунге-Кутта в Excel. Программа на языке Turbo Pascal. Блок-схема алгоритма. Метод Рунге-Кутта для дифференциального уравнения второго порядка. Модель типа "хищник-жертва" с учетом внутривидового взаимодействия.
курсовая работа [391,5 K], добавлен 01.03.2012Приближенные числа и действия над ними. Решение систем линейных алгебраических уравнений. Интерполирование и экстраполирование функций. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Отделение корня уравнения. Поиск погрешности результата.
контрольная работа [604,7 K], добавлен 18.10.2012Теория решения диофантовых уравнений. Однородные уравнения. Общие линейные уравнения. Единственности разложения натурального числа на простые множители. Решение каждой конкретной задачи в целых числах с помощью разных методов. Основные неизвестные х и у.
материалы конференции [554,8 K], добавлен 13.03.2009Дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной. Применение рекуррентного соотношения. Техника применения метода Эйлера для численного решения уравнения первого порядка. Численные методы, пригодные для решения задачи Коши.
реферат [183,1 K], добавлен 24.08.2015Особенности решения алгебраических, нелинейных, трансцендентных уравнений. Метод половинного деления (дихотомия). Метод касательных (Ньютона), метод секущих. Численные методы вычисления определённых интегралов. Решение различными методами прямоугольников.
курсовая работа [473,4 K], добавлен 15.02.2010Метод регуляризующего множителя для решения задачи Гильберта для аналитических функций в случае произвольной односвязной области. Постановка краевой задачи типа Гильберта в классе бианалитических функций, а также решение конкретных примеров задач.
дипломная работа [4,0 M], добавлен 20.05.2013Численные методы представляют собой набор алгоритмов, позволяющих получать приближенное (численное) решение математических задач. Два вида погрешностей, возникающих при решении задач. Нахождение нулей функции. Метод половинного деления. Метод хорд.
курс лекций [81,2 K], добавлен 06.03.2009Основные сведения, необходимые при решении задач на собственные значения. Итерационные методы. Определение собственных значений методами преобразований подобия. Определение собственных значений симметричной трехдиагональной матрицы.
реферат [42,9 K], добавлен 19.05.2006Условия возникновения и особенности вычисления функций Матье, характеристика дифференциального уравнения Матье. Алгоритм решения задачи и алгоритмы вычисления радиальных функций эллиптического цилиндра. Определение точности результатов вычисления.
научная работа [73,8 K], добавлен 02.05.2011Слабые асимптотики произведения функций Хевисайда. Решение задачи Коши методом прямого интегрирования. Оценка задачи со ступенчатой функцией в качестве начального условия. Предел на бесконечности, получаемый при неограниченном уменьшении малого параметра.
курсовая работа [1,9 M], добавлен 23.09.2016
