Решение систем линейных уравнений
Фундаментальная система решений и общее решение однородной системы уравнения. Система n линейных уравнений с n неизвестными. Правило Крамера. Однородная система n линейных уравнений, с n неизвестными. Метод Гаусса. Матричный вид системы уравнений.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 06.08.2013 |
| Размер файла | 48,0 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Содержание
Задачи
1.Теоретическая часть
1.1 Основные понятия
1.2 Система n линейных уравнений с n неизвестными. Правило Крамера
1.3 Однородная система п линейных уравнений, с n неизвестными
1.4 Метод Гаусса
2. Практическая часть
2.1 Решить систему методом Гаусса
2.2 Найти фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы уравнения
Задачи
Решить систему методом Гаусса:
Найти фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы уравнения:
1. Теоретическая часть
1.1 Основные понятия
В общем случае система m линейных уравнений с n неизвестными имеет следующий вид:
|
a11x1 |
+ a12x2 |
+…+ |
a1nxn |
=b1, |
|
|
a21x1 |
+a22x2 |
+…+ |
a2nxn |
=b2, |
|
|
… |
… |
… |
… |
…, |
|
|
am1x1 |
+am2x2 |
+…+ |
amnxn |
=bm. |
В самом общем случае система линейных уравнений имеет следующий вид:
где x1, x2, …, xn - неизвестные, значения которых подлежат нахождению. Как видно из структуры системы (1), в общем случае число неизвестных не обязательно должно быть равно числу уравнений самой системы. Числа a11, a12, …, amn называются коэффициентами системы, а b1, b2, …, bm - её свободными членами. Для удобства коэффициенты системы aij (i=1, 2,..., m; j = 1, 2,...,n) и свободные члены bi (i=1, 2,...,m) снабжены индексами. Первый индекс коэффициентов aij соответствует номеру уравнения, а второй индекс - номеру неизвестной хi, при которой коэффициент поставлен. Индекс свободного члена bi соответствует номеру уравнения, в которое входит bi.
Дадим определения некоторых понятий, необходимых при изучении системы уравнений. Решением системы уравнений (1) называется всякая совокупность чисел a1, a2, an, которая будучи поставлена в систему (1) на место неизвестных x1, x2, …, xn, обращает все уравнения системы в тождества. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если не имеет решений. Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет одно единственное решение, и неопределенной, если она имеет по крайней мере два различных решения.
Две системы уравнений называются равносильными или эквивалентными, если они имеют одно и тоже множество решений.
1.2 Система n линейных уравнений с n неизвестными. Правило Крамера
Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными:
|
a11x1 |
+ a12x2 |
+…+ |
a1nxn |
=b1, |
|
|
a21x1 |
+a22x2 |
+…+ |
a2nxn |
=b2, |
|
|
… |
… |
… |
… |
…, |
|
|
am1x1 |
+am2x2 |
+…+ |
amnxn |
=bn. |
Рассмотрим случай, когда ? ? 0. Докажем, что в этом случае система (2) является определенной, т.е. имеет одно единственное решение. Как и ранее, через Aij будем обозначать алгебраическое дополнение элемента aij в определителе ?.
Умножим каждое уравнение системы (2) на алгебраические дополнения элементов i-го столбца определителя ?, т.е. первое уравнение умножим на A1j, второе - на A2j и т.д., наконец, последнее уравнение - на Anj, а затем все полученные уравнения системы сложим. В результате будем иметь
(a11x1 + a12x2 + …+ a1ixi + …+ a1nxn) A1i + (a21x1 + a22x2 + …+ a2ixi + …+ a2nxn) A2i + …+ (an1x1 + an2x2 + …+ anixi + …+ anxnn) Ani = b1A1i + b2A2i + …+ bnAni
или, сгруппировав члены относительно известных x1, x2, …, xn, получим
(a11A1i + a21A2i + …+ an1Ani) x1 + … + (a1iA1i + a2iA2i + …+ aniAni) xi + … + (a1nA1i + a2nA2i + …+ annAni) xn = b1A1i + b2A2i + …+ bnAni
Коэффициент при неизвестной хi равен определителю ?, а коэффициенты при всех других неизвестных равны нулю. Свободный член уравнения (3) отличается от коэффициента при х1 тем, что коэффициенты а1i, а2i, …, аni заменены свободными членами b1, b2, …, bn уравнения (2). Следовательно, выражение b1A1i + b2A2i + …+ bnAni есть определитель i-го порядка, отличающийся от определителя только i-м столбцом, который заменен столбцом свободных членов. Обозначив этот определитель ?xi, будем иметь
1.3 Однородная система п линейных уравнений, с n неизвестными
Линейное уравнение называется однородным, если его свободный член равен нулю. Система линейных уравнений называется однородной, если все входящие в нее уравнения являются линейными однородными уравнениями.
Однородная система п линейных уравнений с п неизвестными имеет вид:
|
a11x1 |
+ a12x2 |
+…+ |
a1nxn |
=0, |
|
|
a21x1 |
+a22x2 |
+…+ |
a2nxn |
=0, |
|
|
… |
… |
… |
… |
…, |
|
|
am1x1 |
+am2x2 |
+…+ |
amnxn |
=0. |
Непосредственной проверкой убеждаемся в том, что однородная система линейных уравнений (4) имеет нулевое решение:
х1 = 0, х2 = 0,..., хn=0.
1.4 Метод Гаусса
Метод Гаусса -- метод последовательного исключения переменных -- заключается в том, что с помощью элементарных преобразований систем уравнение приводится к равносильной системе ступенчатого вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные. Элементарными преобразованиями строк матрицы являются: сложение строк матрицы, вычитание строк матрицы, сложение или вычитание строки, умноженной на произвольное число, не равное нулю.
Переход системы (1) к равносильной ей системе называется прямым ходом метода Гаусса, а нахождение переменных из последней системы -- обратным ходом.
Преобразования Гаусса удобно проводить, осуществляя преобразования не с самими уравнениями, а с матрицей их коэффициентов. Матрица
называется расширенной матрицей системы (1), так как в неё, кроме матрицы системы A, дополнительно включен столбец свободных членов.
2. Практическая часть
система уравнение крамер гаусс
2.1 Решить систему методом Гаусса
Приведем систему уравнений к матричному виду:
|
2 |
4 |
1 |
-2 |
-6 |
|
|
3 |
-1 |
-1 |
2 |
-12 |
|
|
6 |
-1 |
3 |
2 |
-13 |
|
|
1 |
2 |
-3 |
1 |
-12 |
Из 2, 3 и 4 строчки вычтем 1 строчку, умноженную на a21, a31,a41 и деленную на a11 соответственно:
|
2 |
4 |
1 |
-2 |
-6 |
|
|
0 |
-7 |
-2,5 |
5 |
-3 |
|
|
0 |
-13 |
0 |
8 |
5 |
|
|
0 |
0 |
-3,5 |
2 |
-9 |
|
Из 3 и 4 строчки вычтем 1 строчку, умноженную на a32, a42 и деленную на a21 соответственно:
|
2 |
4 |
1 |
-2 |
-6 |
|
|
0 |
-7 |
-3 |
5 |
-3 |
|
|
0 |
0 |
3,25 |
1,5 |
-14,5 |
|
|
0 |
0 |
0 |
-5 |
-30 |
Получили, что r(A|B)=r(A), следовательно, система имеет решения. Переписываем матрицу в систему уравнений:
2x1 + 4x2+ x3 -2х4= -6
-7x2 -3x3 + 5x4 = -3
3,25х3+1,5х4=-14,5
-5х4=-30
Отсюда следует, что х4=-30/(-5)=6. Далее находим х3, х3=(-14,5-1,5х4)/3,25=-7,23077. Таким же образом находим х2=(-3+3х3-5х4)/(-7)= 7,81319, х1=(-6-4х2-х3-2х4)/2=-21,011
Ответ: х1=-21,011
х2=7,81319
х3=-7,23077
х4=6
2.2 Найти фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы уравнения
Приведем систему уравнений в матричный вид:
|
1 |
1 |
2 |
-3 |
|
|
5 |
-1 |
-2 |
-3 |
|
|
3 |
1 |
0 |
-3 |
|
|
7 |
-1 |
-10 |
3 |
Из 2, 3, 4 строчки вычтем 1 строчку, умноженную на а21,а31,а41 и деленную на а11 соответственно:
|
1 |
1 |
2 |
-3 |
|
|
0 |
-6 |
-12 |
12 |
|
|
0 |
-2 |
-6 |
6 |
|
|
0 |
-8 |
-24 |
24 |
Поменяем местами 2 и 3 строчку местами:
|
1 |
1 |
2 |
-3 |
|
|
0 |
-2 |
-6 |
6 |
|
|
0 |
-6 |
-12 |
12 |
|
|
0 |
-8 |
-24 |
24 |
Из 3, 4 строчки вычтем 2 строчку, умноженную на а32,а42 и деленную на а22 соответственно:
|
1 |
1 |
2 |
-3 |
|
|
0 |
-2 |
-6 |
6 |
|
|
0 |
0 |
6 |
-6 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
Из 3 строчки вычтем 2 строчку, умноженную на а33 и деленную на а2 соответственно:
Х1 Х2 Х3 Х4
|
1 |
1 |
2 |
-3 |
|
|
0 |
-2 |
-6 |
6 |
|
|
0 |
-2 |
0 |
0 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
Поменяем местами столбец Х2 и Х4
|
х1 |
х4 |
х3 |
х2 |
|
|
1 |
-3 |
2 |
1 |
|
|
0 |
6 |
-6 |
-2 |
|
|
0 |
0 |
0 |
-2 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
R=3<n (n=4 - количество векторов)
Переписываем матрицу в систему уравнений:
х1 -3х4+2х3+х2=0
6х4-6х3-2х2=0
-2х2=0
Пусть х2=c1, a x3=c2, тогда х2=0, следовательно система примет вид:
х1 -3х4+2с2+02=0
6х4-6с2+0=0
х4=6с2
х1-3*6с2+2с2=0
х1=16с2
Ответ:
Тогда х будет равен:
|
16с2 |
|
|
с1 |
|
|
с2 |
|
|
6с2 |
Е1=х(1,0), Е2=х(0,1), отсюда следуют следующие ответы:
|
0 |
16 |
||||
|
1 |
0 |
||||
|
Е1= |
0 |
Е2= |
1 |
||
|
0 |
6 |
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Решение систем уравнений методом Гаусса, с помощью формул Крамера. Построение пространства решений однородной системы трех линейных уравнений с четырьмя неизвестными с указанием базиса. Определение размерности пространства решений неоднородной системы.
контрольная работа [193,5 K], добавлен 28.03.2014Общий вид системы линейных уравнений и ее основные понятия. Правило Крамера и особенности его применения в системе уравнений. Метод Гаусса решения общей системы линейных уравнений. Использование критерия совместности общей системы линейных уравнений.
контрольная работа [35,1 K], добавлен 24.06.2009Основные понятия теории систем уравнений. Метод Гаусса — метод последовательного исключения переменных. Формулы Крамера. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы. Теорема Кронекер–Капелли. Совместность систем однородных уравнений.
лекция [24,2 K], добавлен 14.12.2010Основные понятия и теоремы систем линейных уравнений, характеристика методов их решения. Критерий совместности общей системы. Структура общих решений однородной и неоднородной систем. Матричный метод решения и обобщение. Методы Крамера и Гаусса.
курсовая работа [154,5 K], добавлен 13.11.2012Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гауса. Граф состояний марковской системы. Составление уравнений Колмогорова. Предельные вероятности состояний системы. Матричный метод, матрица треугольная, матрица квадратная и решение системы.
контрольная работа [84,5 K], добавлен 20.07.2010Характеристика уравнений с разделяющимися переменными. Сущность метода Бернулли и метода Лагранжа, задачи Коша. Решение линейных уравнений n-го порядка. Фундаментальная система решений - набор линейно независимых решений однородной системы уравнений.
контрольная работа [355,9 K], добавлен 28.02.2011Выполнение действий над матрицами. Определение обратной матрицы. Решение матричных уравнений и системы уравнений матричным способом, используя алгебраические дополнения. Исследование и решение системы линейных уравнений методом Крамера и Гаусса.
контрольная работа [63,2 K], добавлен 24.10.2010Задачи вычислительной линейной алгебры. Математическое моделирование разнообразных процессов. Решение систем линейных алгебраических уравнений большой размерности. Метод обратной матрицы и метод Гаусса. Критерии совместности и определенности системы.
курсовая работа [220,0 K], добавлен 21.10.2011Теория определителей в трудах П. Лапласа, О. Коши и К. Якоби. Определители второго порядка и системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Определители третьего порядка и свойства определителей. Решение системы уравнений по правилу Крамера.
презентация [642,7 K], добавлен 31.10.2016Рассмотрение систем линейных алгебраических уравнений общего вида. Сущность теорем и их доказательство. Особенность трапецеидальной матрицы. Решение однородных и неоднородных линейных алгебраических уравнений, их отличия и применение метода Гаусса.
реферат [66,4 K], добавлен 14.08.2009Система линейных уравнений. Общее и частные решения системы линейных уравнений. Нахождение векторного произведения. Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду. Исследование функции на непрерывность. Тригонометрическая форма числа.
контрольная работа [128,9 K], добавлен 26.02.2012Методика проверки совместности системы уравнений и ее решение. Вычисление параметров однородной системы линейных алгебраических уравнений. Нахождение по координатам модуля, проекции вектора, скалярного произведения векторов. Составление уравнения прямой.
контрольная работа [104,2 K], добавлен 23.01.2012Решение системы линейных уравнений двумя способами: по формулам Крамера и методом Гаусса. Решение задачи на нахождение производных, пользуясь правилами и формулами дифференцирования. Исследование заданных функций методами дифференциального исчисления.
контрольная работа [161,0 K], добавлен 16.03.2010Нахождение проекции точки на прямую, проходящую через заданные точки. Изучение формул Крамера для решения систем линейных уравнений. Определение точки пересечения перпендикуляра и исходной прямой. Исследование и решение матричной системы методом Гаусса.
контрольная работа [98,6 K], добавлен 19.04.2015Способы решения системы уравнений с двумя переменными. Прямая как график линейного уравнения. Использование способов подстановки и сложения при решении систем линейных уравнений с двумя переменными. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.
реферат [532,7 K], добавлен 10.11.2009Решение системы линейных уравнений методами Крамера, Гаусса (посредством преобразований, не изменяющих множество решений системы), матричным (нахождением обратной матрицы). Вероятность оценки события. Определение предельных вероятностей состояний системы.
контрольная работа [69,7 K], добавлен 26.02.2012Примеры операций над матрицами. Ранг матрицы. Обратная матрица. Системы линейных уравнений. Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений, две его составляющие: прямой и обратный ходы. Решение системы по формулам Крамера. Построение параболы.
контрольная работа [33,2 K], добавлен 05.02.2009Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными, однородных, линейных уравнений первого порядка и уравнений допускающего понижение порядка. Введение функций в решение уравнений. Интегрирование заданных линейных неоднородных уравнений.
контрольная работа [92,7 K], добавлен 09.02.2012Понятие и сущность определителей второго порядка. Рассмотрение основ системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Изучение определителей n–ого порядка и методы их вычисления. Особенности системы из n линейных уравнений с n неизвестными.
презентация [316,5 K], добавлен 14.11.2014Понятие и специфические черты системы линейных алгебраических уравнений. Механизм и этапы решения системы линейных алгебраических уравнений. Сущность метода исключения Гаусса, примеры решения СЛАУ данным методом. Преимущества и недостатки метода Гаусса.
контрольная работа [397,2 K], добавлен 13.12.2010
