Линеаризация и метод наименьших квадратов
Метод наименьших квадратов: сущность и основное содержание, особенности использования в решении задачи нахождения одной результирующей прямой и анализе экспериментальных результатов на принадлежность нескольким прямым. Оценка эффективности метода.
| Рубрика | Математика |
| Вид | доклад |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 07.08.2013 |
| Размер файла | 35,5 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Линеаризация и метод наименьших квадратов
наименьший квадрат результирующий прямая
Метод наименьших квадратов настолько прочно вошел в жизнь экспериментатора, что альтернативные методы линеаризации почти не рассматриваются. Безусловно, если существует задача нахождения одной результирующей прямой, то искать замену традиционному методу наименьших квадратов не рационально. Решение более сложной задачи требует дополнительных шагов по усовершенствованию процесса расчетов. Приведем пример. Известно, что массив экспериментальных результатов может не принадлежать одной прямой. Более того, разные области массива могут принадлежать разным прямым. В этом случае применять метод наименьших квадратов в традиционном виде нельзя, так как его надо сочетать с процедурой исключения точек, не принадлежащих искомой прямой, что существенно усложняет расчеты.
Цель может быть достигнута более простым методом! Рассмотрим один из таких простых методов.
В основе метода лежит далеко не свежая идея о вычислении параметров прямой между всеми возможными парами экспериментальных точек. (Следует обратить внимание на то, что параметры вычисляются не только между соседними точками!) Выбирается, например, какая-либо точка, и вычисляются параметры прямых, которые можно провести между этой точкой и всеми остальными. Затем выбирается следующая точка и с ней проделывается та же операция. В итоге получается массив данных о параметрах прямых размером в n(n-1)/2 элементов, где n - число обрабатываемых экспериментальных точек. Если читатель думает, что автор статьи сейчас предложит просто усреднить полученные результаты, найдя их среднее арифметическое, то он глубоко ошибается! Вычисление среднего арифметического ничего нового не вносит в математическую обработку, так как предполагает, что все экспериментальные точки лежат на одной прямой. Прежде чем продолжить изложение материала, договоримся о том, что массивы найденных параметров прямых A и B следует преобразовать в один. Вновь образованный массив организуется умножением одного параметра прямой на другой, т.е. A*B. Необходимость этого шага будет ясна в дальнейшем.
Над новым массивом проведем 2 следующие операции. Во-первых, проведем сортировку массива по возрастанию значений элементов массива. Во-вторых, после сортировки вычислим разности между каждыми 2-мя соседними элементами массива. После этого следует рассмотреть функцию изменения разностей от абсолютного значения A*B. График этой функции F(A*B) будет иметь один или несколько ярко выраженных минимумов. Число этих экстремумов будет соответствовать числу прямых, которые можно провести через экспериментальные точки. Например, рис. а) свидетельствует о том, что массив данных допускает линеаризацию одной прямой. Среднее положение минимума функции F(A*B) относительно интервала рассматриваемых значений A*B свидетельствует о том, что систематических отклонений от прямой линии практически не существует. Рисунок б) говорит о том, что часть точек имеет систематическое отклонение от линейной закономерности, так как минимум функции смещен от середины отрезка значений A*B.
После того, как анализ функции проведен, наступает следующий важный этап расчетов - определение параметров линеаризующих прямых. Есть 2 способа. Первый способ состоит в том, что во время проведения сортировки и вычисления разностей запоминаются значения A и B. Из этого следует, что каждому значению вычисленных разностей соответствуют значения A и B. Тогда, зная значение A*B в минимуме нашей функции (см. рис. а)), можно найти значения A и B. Однако в выборе точек минимума следует быть осторожным, так как наименьшее значение A*B может быть случайным совпадением. Для того чтобы этого избежать, надо усреднить несколько значений в окрестности минимума. Развивая тему о случайности некоторых значений функции F(A*B), надо отдавать себе отчет в том, что на фоне минимума организованного большими группами точек, неизбежны экстремумы из малых групп, которые образованы случайными совпадениями. Для того чтобы их было меньше, автор и предложил ранее анализ массива из значений A*B, так как операции только со значениями A и B приводят к существенному увеличению числа случайных экстремумов.
Второй способ похож на первый, но вместо запоминания всех параметров A и B, запоминаются только порядковые номера точек. Таким образом, после выделения окрестности функции F(A*B), производится выделение групп "благонадежных" точек. Их линеаризация позволяет найти искомые значения A и B. Второй способ более выгоден для целей создания компьютерных программ, так как оперативная память экономится эффективнее.
Подведем итоги.
Во-первых, новый метод позволяет не только вычислять параметры прямой, но и анализировать экспериментальные результаты на принадлежность нескольким прямым, что для экспериментатора тоже важно. Во-вторых, возможна обработка результатов, которые не могут быть линеаризованы из-за трансцендентного характера аппроксимирующей функции, например, Y=B*lg(1+A*X). В этом случае гораздо легче вычислять параметры по 2-м точкам, чем заниматься выводом индивидуальных формул методом наименьших квадратов, вычисление по которым нужно проводить только методами вычислительной математики.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Вероятностное обоснование метода наименьших квадратов как наилучшей оценки. Прямая и обратная регрессии. Общая линейная модель. Многофакторные модели. Доверительные интервалы для оценок метода наименьших квадратов. Определение минимума невязки.
реферат [383,7 K], добавлен 19.08.2015Оценка неизвестных величин по результатам измерений, содержащим случайные ошибки, при помощи метода наименьших квадратов. Аппроксимация многочленами, обзор существующих методов аппроксимации. Математическая постановка задачи аппроксимации функции.
курсовая работа [1,9 M], добавлен 12.02.2013Основные задачи регрессионного анализа в математической статистике. Вычисление дисперсии параметров уравнения регрессии и дисперсии прогнозирования эндогенной переменной. Установление зависимости между переменными. Применение метода наименьших квадратов.
презентация [100,3 K], добавлен 16.12.2014Изучение аппроксимации таблично заданной функции методом наименьших квадратов при помощи вычислительной системы Mathcad. Исходные данные и функция, вычисляющая матрицу коэффициентов систему уравнений. Выполнение вычислений для разных порядков полинома.
лабораторная работа [166,4 K], добавлен 13.04.2016Аппроксимация и теория приближений, применение метода наименьших квадратов для оценки характера приближения. Квадратичное приближение таблично заданной функции по дискретной норме Гаусса. Интегральное приближение функции, которая задана аналитически.
реферат [82,0 K], добавлен 05.09.2010Исследование вопросов построения эмпирических формул методом наименьших квадратов средствами пакета Microsoft Excel и решение данной задачи в MathCAD. Сравнительная характеристика используемых средств, оценка их эффективности и перспективы применения.
курсовая работа [471,3 K], добавлен 07.03.2015Исследование точности прогнозирования случайного процесса с использованием метода наименьших квадратов. Анализ расхождения между трендом и прогнозом, последующая оценка близости распределения расхождений наблюдений и распределения сгенерированного шума.
курсовая работа [1,0 M], добавлен 29.01.2010Неопределенный интеграл. Объем тела вращения. Эмпирическая формула. Сходимость ряда. Вычисление объема тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями. Исследование на условную сходимость по признаку Лейбница.
контрольная работа [25,8 K], добавлен 27.05.2004Особенности метода аппроксимации табулированных функций. Рассмотрение преимуществ работы в среде математической программы Mathcad. Метод наименьших квадратов как наиболее распространенный метод аппроксимации экспериментальных данных, сферы применения.
курсовая работа [1,2 M], добавлен 30.09.2012Числовые характеристики выборки. Статистический ряд и функция распределения. Понятие и графическое представление статистической совокупности. Метод наибольшего правдоподобия для нахождения плотности распределения. Применение метода наименьших квадратов.
контрольная работа [62,6 K], добавлен 20.02.2011Преобразование коэффициентов полиномов Чебышева. Функции, применяемые в численном анализе. Интерполяция многочленами, метод аппроксимации - сплайн-аппроксимация, ее отличия от полиномиальной аппроксимации Лагранжем и Ньютоном. Метод наименьших квадратов.
реферат [21,5 K], добавлен 27.01.2011Постановка задачи аппроксимации методом наименьших квадратов, выбор аппроксимирующей функции. Общая методика решения данной задачи. Рекомендации по выбору формы записи систем линейных алгебраических уравнений. Решение систем методом обратной матрицы.
курсовая работа [77,1 K], добавлен 02.06.2011Метод Гаусса, метод прогонки, нелинейное уравнение. Метод вращения Якоби. Интерполяционный многочлен Лагранжа и Ньютона. Метод наименьших квадратов, интерполяция сплайнами. Дифференцирование многочленами, метод Монте-Карло и Рунге-Кутты, краевая задача.
курсовая работа [4,8 M], добавлен 23.05.2013Расчеты с помощью метода наименьшего квадрата для определения мольной теплоёмкости. Составление с помощью метода программирования системы нелинейных уравнений. Получение в среде Mathcad уравнения, максимально приближенного к экспериментальным данным.
лабораторная работа [469,6 K], добавлен 17.06.2014Понятие интерполяционного многочлена Лагранжа как многочлена минимальной степени, порядок его построения. Решение и оценка остаточного члена. Нахождение приближающей функции в виде линейной функции, квадратного трехчлена и других элементарных функций.
курсовая работа [141,5 K], добавлен 23.07.2011Градиентные уравнения и уравнения в вариациях, функционалы метода наименьших квадратов. Численное решение градиентных уравнений: полиномиальные системы, метод рядов Тейлора и метод Рунге-Кутта. Числовые модели осциллирующих процессов в живой природе.
реферат [221,4 K], добавлен 10.08.2010Аппроксимация экспериментальных зависимостей методом наименьших квадратов. Правило Крамера. Графическое отображение точек экспериментальных данных. Аномалии и допустимые значения исходных данных. Листинг программы на С++. Результаты выполнения задания.
курсовая работа [166,7 K], добавлен 03.02.2011Закон больших чисел. Нахождение точечных оценок. Построение неизвестной дисперсии погрешности измерений. Выборочная функция распределения. Теорема Ляпунова и распределение Стьюдента. Вычисление доверительных интервалов. Построение интервальных оценок.
курсовая работа [4,3 M], добавлен 18.12.2011Прямолинейные, обратные и криволинейные связи. Статистическое моделирование связи методом корреляционного и регрессионного анализа. Метод наименьших квадратов. Оценка значимости коэффициентов регрессии. Проверка адекватности модели по критерию Фишера.
курсовая работа [232,7 K], добавлен 21.05.2015Интерполяция (частный случай аппроксимации). Аппроксимация функцией. Метод наименьших квадратов. Из курса математики известны 3 способа задания функциональных зависимостей: аналитический, графический, табличный.
реферат [70,4 K], добавлен 26.05.2006
