Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Линеаризация

1.1 Постройте линеаризованную модель для звена, которое описывается нелинейным дифференциальным уравнением

. (1)

В номинальном режиме установившееся значение .

Решение

Запишем уравнение установившегося состояния для звена [1]:

. (2)

Предположим, что в исследуемом динамическом процессе переменная y изменяется так, что ее отклонение от установившегося значения y⁰ остается все время достаточно малым.

Обозначим указанное отклонение через . Тогда в динамическом процессе

.

Разложим функцию, стоящую в левой части уравнения (1), в ряд по степеням указанных выше малых отклонений. Уравнение (1) примет вид

. (3)

Вычтя из уравнения (3) уравнение установившегося состояния (2), получим искомое линеаризованное уравнение динамики:

,

,

. (4)

1.2 Определите установившееся значение .

Решение

Определим из уравнения (2):

.

1.3 Постройте передаточную функцию линеаризованного звена. Как называется такое звено?

Решение

Перепишем уравнение (4), используя оператор p:

.

Передаточная функция звена:

.

Данное звено является апериодическим с k=0.72 и T=1.2.



1.4 Найдите импульсную характеристику (весовую функцию) этого звена

Решение

Поскольку весовую функцию можно найти с помощью теоремы разложения:

.

Полученная характеристика изображена на рисунке 1.

1.5. Решив полученное линейное дифференциальное уравнение, найдите переходный процесс на выходе линеаризованного звена при ступенчатом входном сигнале

Решение

Переходная функция звена удовлетворяет выражению

.

Определим константу С из начальных условий (t=0):

,

,

Тогда (рисунок 1).

Рисунок 1 - Весовая и переходная функции звена

2. Разомкнутые системы

2.1 Определите, какие простейшие звенья можно выделить в составе звена с передаточной функцией

Решение

Преобразуем искомую функцию:

.

Полученная система представляет собой параллельную цепочку звеньев, состоящую из последовательно соединенных апериодического и реально-дифференцирующего звеньев и апериодического звена второго порядка.

2.2 Чему равен коэффициент усиления этого звена в установившемся режиме?

Решение

В установившемся режиме при p=0 получим

.



2.3 Является ли звено устойчивым? Почему?

Решение

Запишем уравнение свободного движения для разомкнутой системы:

Оба корня характеристического уравнения меньше нуля, поэтому звено устойчиво.

2.4 Является ли звено минимально-фазовым?

Решение

Корни знаменателя передаточной функции принадлежат левой полуплоскости (), найдем корни числителя:

Корень числителя передаточной функции лежит в правой полуплоскости, поэтому звено не является минимально-фазовым.

2.5 Постройте асимптотическую ЛАФЧХ этого звена

линеаризованный уравнение звено дифференциальный

Решение

Ранее получили



а) Рассмотрим

ЛАЧХ определяется выражением

,

где .

Графически можно получить сложением графиков и , где

, а .

При этом , тогда и - точки, в которых графики меняют наклон.

Асимптотические ЛАЧХ показаны на рисунке 2.



Рисунок 2 - ЛАЧХ для

б) Рассмотрим

ЛАЧХ определяется выражением

,

где .

Графически можно получить сложением графиков и , где

, а .

При этом , тогда и - точки, в которых графики меняют наклон.

Асимптотические ЛАЧХ показаны на рисунке 3.



Рисунок 3 - ЛАЧХ для

Зададим ЛАЧХ исходного звена кусочно, поскольку оно представляет собой параллельное соединение звеньев с передаточными функциями

и .

При и , а при , то есть на промежутке ЛАЧХ L ведет себя, как , а на промежутке , как Для получения результата совместим при и при (рисунок 4).



Рисунок 4 - Результирующая ЛАЧХ

Реальная ЛАЧХ исходного звена показана на рисунке 5.

Рисунок 5 - Реальная ЛАЧХ

Построим ФЧХ звена, руководствуясь теми же принципами.

ФЧХ первого и второго звена равны соответственно

,

.

Получим результирующую ФЧХ совмещением графиков при и при (рисунок 6).

Рисунок 6 - ФЧХ

2.6 Какой наклон имеет ЛАЧХ на нулевой частоте? на больших частотах? почему?

В общем случае наклон ЛАЧХ определяется наличием в результирующем звене дифференцирующих, интегрирующих и позиционных звеньев.

Пусть звено состоит из r позиционных, m дифференцирующих и n интегрирующих звеньев, с результирующими амплитудами соответственно , , . Тогда ЛАЧХ исходного звена будет иметь вид:

.

На нулевой частоте входная и выходная величины позиционного (статического) звена связаны линейной зависимостью [1], поэтому при Тогда

,

то есть наклон составляет дБ/дек и определяется числом дифференцирующих и интегрирующих звеньев.

На больших частотах позиционное звено представляет собой многочлен

, который при стремится к .

Тогда , то

при ,

наклон равен дБ/дек, где u - степень числителя, v - степень знаменателя передаточной функции звена.

Для исходного звена наклон равен нулю при и -20 дБ/дек при .

2.7 Запишите модель этого звена в виде дифференциального уравнения

Решение

.



2.8 Запишите модель этого звена в пространстве состояний

Решение

Пусть , где .

соответствует уравнению , а - .

Введем переменные состояния и получим систему уравнений

Данная система записывается в форме модели в пространстве следующим образом

где - вектор состояния,

, , , - матричные коэффициенты.



2.9 Постройте переходную характеристику этого звена

Решение

Используя теорему разложения, вычислим переходную функцию звена

Рисунок 7 - Переходная характеристика звена



3. Замкнутые системы

Пусть объект управления имеет передаточную функцию W(s), регулятор - передаточную функцию K(s), а измерительная система - передаточную функцию H(s). Нарисуйте типовую блок-схему системы автоматического регулирования, обозначив задающий сигнал tg(t), сигнал управления u(t), регулируемый сигнал y(t), внешнее возмущение w(t), сигнал обратной связи f(t), сигнал ошибки e(t).

Рисунок 8 - Блок-схема системы автоматического регулирования

Предположив, что K(p)=const и H(p)=const, постройте передаточные функции (ПФ): G(p) от входа g(t) к выходу y(t); G_u(p) от входа g(t) к выходу u(t); G_e(p) от входа g(t) к выходу e(t); G_fe(p) от входа w(t) к выходу e(t).

Решение

Требуемые передаточные функции:

G(p) от входа g(t) к выходу y(t): ;

G_u(p) от входа g(t) к выходу u(t): ;

G_e(p) от входа g(t) к выходу e(t): ;

G_fe(p) от входа w(t) к выходу e(t): (исходную схему (рисунок 9) преобразуем в схему на рисунке 10).



Рисунок 9 - Исходная схема

Рисунок 10 - Схема с передаточной функцией Gfe(p)

Используя критерий Гурвица, определите, при каких значениях k и h замкнутая система устойчива.

Решение

Передаточная функция замкнутой системы: , тогда характеристическое уравнение заданной системы примет вид:

,

D(p) = 0 при ,

.

Получили уравнение второго порядка, где , , , тогда условие устойчивости системы по критерию Гурвица примет вид:



Получили систему неравенств коэффициентов k и h, удовлетворяющих условию устойчивости по критерию Гурвица. Найденные значения k и h лежат в заштрихованной области координатной плоскости (рисунок 11).

Рисунок 11 - Искомые значения k и h

Приняв 1h, выберите k так, чтобы запас устойчивости по амплитуде был не менее 6 дБ, а запас по фазе - не менее 30o (используйте ЛАФЧХ разомкнутой системы без регулятора).

Постройте переходный процесс на выходе при выбранном значении k .

Оцените время переходного процесса и перерегулирование, покажите их на графике. 3.7. Является ли замкнутая система астатической? Почему?

Используйте пропорционально-интегральный регулятор (ПИ-регулятор) с передаточной функцией при б=1. С помощью критерия Гурвица определите, какие ограничения должны быть наложены на k, чтобы система была устойчивой. Выберите коэффициент k, равный среднему арифметическому между минимальным и максимальным допустимыми значениями.

Постройте переходный процесс на выходе при выбранном регуляторе. Оцените время переходного процесса и перерегулирование, покажите их на графике.

Постройте амплитудную частотную характеристику полученной замкнутой системы и определите показатель колебательности M.

Размещено на Allbest.ru

...