Исследование разомкнутой и замкнутой функции

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Определить передаточную функцию разомкнутой системы с коррекцией в цепи обратной связи и построить её логарифмические частотные характеристики:

Передаточная функция разомкнутой системы:

Приведем к каноническому виду, используя команду zpk в пакете Матлаб:



Находим ЛАЧХ и ФЧХ системы, используя пакет MATLAB:

>> num=[1. 875,46. 25,250];

>> den=[2.5e - 005,0. 001,1. 008,16. 26,1,0];

>> w=logspace (-3,3);

>> [gam, fi]=bode (num, den, w);

>> semilogx (w, 20*log10 (gam));

>> grid

>> title ('L(w)')

>> semilogx (w, fi)

>> grid

>> title('fi')

>> title('fhase')

Рис. 1



Рис. 2

Дать заключение об устойчивости замкнутой системы, определить запасы устойчивости:

Разомкнутая система не имеет корней с положительной вещественной частью, поэтому по критерию Найквиста, для асимптотической устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы ЛФЧХ разомкнутой системы в области частот, где ЛАЧХ положительна, принимала значение -180? четное число раз или не принимала этого значения, следовательно, данная система устойчива, т.к. ЛФЧХ не принимала значение ни разу в области частот, где ЛАЧХ положительна.

Используя функцию

>>u=w/(1+wh)

>>[g f wg wf]=margin(u)

в пакете Matlab определим:

- запас устойчивости по фазе f и соответствующая частота wf:

f= 37.6265, wf = 2.9608

- запас устойчивости по амплитуде g и соответствующая частота wg:

g = 10.8944

20*lg(g) =20*lg (10.8944)=20,7441, wg = 206.9531

Запас устойчивости по фазе определяется на частоте, при которой ЛАЧХ принимает значение 0.

Запас устойчивости по амплитуде определяется на частоте, при которой ФЧХ принимает значение -180?.

Построим ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы, используя Матлаб (bode(u)):

Рис. 3

2. Оценить показатели качества замкнутой системы, определив нули и полюса передаточной функции:

Определим передаточную функцию замкнутой системы:

Найдем полюса и нули передаточной функции с использованием команд pole, zero:

>>s=tf('s');

>>w=(250*(0.1*s+1))/(s*(0.75*s+1)*(0.000441*s^2+0.0105*s+1))

>>h=(0.14*s^2)/(0.26*s+1)

>>u=w/(1+w*h)

>>ui=1/((1/w)+h+1)

>>pole(ui)

>>zero(ui)

Полюса(знаменатель)

ans =

1.0e+002 *

-0.0836 + 2.0690i

-0.0836 - 2.0690i

-0.0970

-0.0091 + 0.0248i

-0.0091 - 0.0248i

Нули (числитель)

ans =

-10.0000

-3.8462

Показатели качества:

Степень устойчивости:

Время регулирования:

Степень колебательности:

Колебательность связана с корневым показателем запаса устойчивости с так называемым затуханием. Комплексно сопряженные корни дают в выражении для переходного процесса вида

Найдем затухание амплитуды синусоидального колебания за один период. При некотором времени эта амплитуда равна

Через один период



Затуханием за период называют величину

Подставляя значение амплитуды , получаем

3. Построить графики переходной функции и импульсной переходной функции определить показатели качества переходного процесса (для оценки времени регулирования принять ?=3%):

Передаточная функция замкнутой системы:

Построим графики переходных функций во временных осях, используя пакет Matlab и команды step(sys) и impulse(sys).

Код программы:

>>t=0:0.02:7

>>s=tf('s');

>>w=(250*(0.1*s+1))/(s*(0.75*s+1)*(0.000441*s^2+0.0105*s+1))

>>h=(0.14*s^2)/(0.26*s+1)

>>u=w/(1+w*h)

>>ui=1/((1/w)+h+1)

>>step (ui, t)

>>impulse (ui, t)

Показатели качества переходного процесса:

Апериодическая функция - т.к. 1 максимум.

- время, когда впервые достигается

-время достижения максимума.

-время регулирования.

3%

Перерегулирование:

Частота колебаний:

n - число колебаний за время регулирования =2.

Импульсная переходная функция

Рис. 4

Переходная функция

Рис. 5

4. Найти аналитическое выражение импульсной переходной функции. Выделить составляющую найденной функции, соответствующую доминирующим полюсам, сравнить графики функции и указанной её составляющей

Передаточная функция замкнутой системы:

С помощью программы Матлаб найдем полюса и вычеты для импульсной функции системы. При использовании команды:

>>[R, P, K]=residue (num, den),

где результатом выполнения этой команды будут векторы-столбцы вычетов R и полюсов Р.

Так как у нас комплексно-сопряженные полюса и вычеты, то такую пару слагаемых объединим:

Общая формула:

R =

-0.8810 + 0.0471i

-0.8810 - 0.0471i

-0.0371

0.8995 - 1.0847i

0.8995 + 1.0847i

P =

1.0e+002 *

-0.0873 + 2.0686i

-0.0873 - 2.0686i

-0.0970

-0.0091 + 0.0248i

-0.0091 - 0.0248i

1)

Где оригинал:

2)

Оригинал:

3)

Где оригинал:

.

Импульсная переходная функция:



Выделим составляющую найденной функции, соответствующую доминирующим полюсам:

И определим ее график:

Код программы:

>>T=0:0.001:7

>>y1=1.8*exp (-0.91*T).*cos (-2.48*T) - 2.17*exp (-0.91*T).*sin (-2.48*T)

>>ys=1.76*exp (-8.73*T).*cos (-206.86*T) - 0.094*exp (-8.73*T).*sin (-206.86*T) - 0.037*

*exp (-9.7*T)+1.8*exp (-0.91*T).*cos (-2.48*T) - 2.17*exp (-0.91*T).*sin (-2.48*T)

>>plot (T, ys, T, y1), grid

Рис. 6



Рис. 7

5. Построить логарифмическую амплитудно-частотную характеристику замкнутой системы, определить полосу пропускания системы, резонансную частоту, показатель колебательности

Передаточная функция замкнутой системы:

Построим логарифмическую амплитудно-частотную характеристику замкнутой системы, используя программу Матлаб:

>>s=tf('s');

>>w=(250*(0.1*s+1))/(s*(0.75*s+1)*(0.000441*s^2+0.0105*s+1))

>>h=(0.14*s^2)/(0.26*s+1)

>>u=w/(1+w*h)

>>ui=1/((1/w)+h+1)

>>bode(ui)

Показатель колебательности:

Резонансная частота:

.

Полоса пропускания:

.

.

Частота среза:

.

.

Время регулирования:



Рис. 9

6. Найти уравнения состояния и выхода замкнутой системы. Проверить свойства управляемости и наблюдаемости этих вариантов

А) Передаточная функция замкнутой системы:

Уравнение состояния и выхода имеют вид:

Составим систему для нахождения коэффициентов



Используя Матлаб:

>>A=[2906976.7 1058139.5 494418.6 43093 28.99 1;

1058139.5 494418.6 43093 28.99 1 0;

494418.6 43093 28.99 1 0 0;

43093 28.99 1 0 0 0;

28.99 1 0 0 0 0;

1 0 0 0 0 0]

>>B=[2906976.7; 1046511.6; 75581.4; 0; 0; 0]

>>C=inv(A)*B

Отсюда найденные коэффициенты:

Теперь составим уравнение состояния и выхода для нашей системы:

Б) Наблюдаемость и управляемость:

Для проверки свойств управляемости и наблюдаемости этих вариантов, воспользуемся пакетом Матлаб:

Код программы:

>>A1=[0 1 0 0 0;

0 0 1 0 0;

0 0 0 1 0;

0 0 0 0 1;

-2906976.7 -1058139.5 -494418.6 -43093 -28.99]

>>B1=[0; 0; 100000; - 1100000; - 3.2209e+009]

>>C1=[1 0 0 0 0]

>>K=[B1 A1*B1 A1^2*B1 A1^3*B1 A1^4*B1]

>>rank(K)

>>G=[C1; C1*A1; C1*A1^2; C1*A1^3; C1*A1^4]

>>rank(G)

K = 1.0e+018 *

0 0 0.0000 -0.0000 -0.0000

0 0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000

0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 0.0001

-0.0000 -0.0000 0.0000 0.0001 -0.0063

-0.0000 0.0000 0.0001 -0.0063 -5.7451

ans =

4

G = 1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 1

ans =

5

Если ранг K=n, то система вполне управляемая;

Если ранг G=n, то система вполне наблюдаемая.

Но у нас выполняется только второе условие, следовательно, наша система неуправляемая, но наблюдаемая.

Список используемой литературы

импульсный переходный замкнутый аналитический

1. В.А Бесекерский, Е.И. Попов. Теория систем автоматического управления. - Изд. 4-е, перераб. и доп. - СПб: Изд-во Профессия, 2003.

2. И.Л. Коробова, В.Н. Щерба. Применение преобразования Лапласа для решения инженерных задач: учебное пособие / Балт. гос. техн. ун-т. СПб., 2005.

3. И.Л. Коробова, Б.П. Родин. Теория автоматического управления: пособие к практическим занятиям / Балт. гос. техн. ун-т. СПб., 2008.

Размещено на Allbest.ru

...