Математический анализ - совокупность разделов математики, посвящённых исследованию функций и их обобщении методами дифференциального и интегрального исчисления (анализ бесконечно-малых). К анализу относят и функциональный анализ вместе с теорией интеграла Лебега, комплексный анализ (ТФКП), изучающий функции, заданные на комплексной плоскости, нестандартный анализ, изучающий бесконечно малые и бесконечно большие числа, а также вариационное исчисление.

Также к анализу относят:

1. дифференциальное и интегральное исчисления;

2. теорию рядов (функциональных, степенных и Фурье) и многомерных интегралов;

3. векторный анализ.

Использование математических методов в сфере управления - способствует ускорению проведения экономического анализа, более полному учету влияния факторов на результаты деятельности, повышению точности вычислений. Применение их требует:

системного подхода к изучению заданного объекта, учета взаимосвязей и отношений с другими объектами;

разработки математических моделей, отражающих количественные показатели системной деятельности работников организации, процессов, происходящих в предприятиях;

совершенствования системы информационного обеспечения управления предприятием с использованием электронно-вычислительной техники.

Решение задач экономического анализа математическими методами допустимо, в случае, когда они сформулированы математически. Все это приводит к разработке математических моделей.

На практике для решения экономических задач используют различные методы.

Признаки классификации носят условный характер. К примеру, в сетевом планировании и управлении используются множество математических методов, а в смысл слова "исследование операций" некоторые авторы вкладывают различное содержание.

Методы элементарной математики применяются в традиционных экономических расчетах при обосновании потребностей в ресурсах, разработке плана, проектов и многое другое.

Классические методы математического анализа применяются самостоятельно и в рамках других методов.

Статистические методы - применяются для исследования массовых повторяющихся явлений. Используются при возможности представления изменения анализируемых показателей как случайного процесса. Если связь между анализируемыми характеристиками стохастическая, то статистические и вероятностные методы будут практически единственным инструментом исследования. В экономическом анализе наиболее известны методы множественного и парного корреляционного анализа.

При исследовании одновременных статистических совокупностей применяются закон распределения, вариационный ряд, выборочный метод. Для многомерных статистических совокупностей используются корреляции, регрессии, дисперсионный, ковариационный, спектральный, компонентный, факторный виды анализа.

Экономические методы базируются на синтезе трех областей знаний: экономики, математики и статистики. Самый используемый метод анализа экономики "затраты - выпуск". Он включает матричные (балансовые) модели.

Методы математического программирования - используются при решении задач оптимизации производственно - хозяйственной деятельности. Методы дают возможность оценивать напряженность плановых заданий, дефицитность результатов, определять лимитирующие виды сырья, группы оборудования.

Под исследованием операций подразумевается разработки методов целенаправленных действий (операций), количественная оценка решений и выбор наилучшего из них. Цель исследования операций - сочетание структурных взаимосвязанных элементов системы, в наибольшей степени обеспечивающее лучший экономический показатель.

Теория игр характеризуется принятием оптимальных решений в условиях неопределенности или конфликта нескольких сторон, которые несут с собой различные интересы.

Основные математические методы, применяемые в экономическом анализе:

1. Классические методы математического анализа;

2. Методы математической статистики;

3. Эконометрические методы;

4. Методы математического программирования;

5. Методы исследования операций;

6. Методы экономической кибернетики;

7. Метод теории оптимальных процессов;

8. Эвристические методы;

9. Дифференциальное, интегральное, вариационное исчисление;

10. Методы изучения одномерных (многомерных) статистических совокупностей;

11. Производственные функции;

12. Методы "затраты-выпуск" (межотраслевой баланс);

13. Национальное счетоводство;

14. Линейное программирование;

15. Блочное программирование;

16. Динамическое программирование;

математический анализ управление экономический

17. Нелинейное программирование (целочисленное, квадратичное, параметрическое);

18. Методы решения линейных программ;

19. Управление запасами, износ и замена оборудования;

20. Теория игр, теория расписаний, теория массового обслуживания;

21. Методы сетевого планирования;

22. Системный анализ;

23. Методы имитации;

24. Методы моделирования;

25. Методы обучения, деловые игры;

26. Методы распознавания образов;

27. Математические методы, используемые в экономическом анализе;

28. Максимум Понтрягина для управления технико-экономическими процессами и ресурсами.

Теория массового обслуживания на основе теории вероятности подразумевает количественную оценку процессов массового обслуживания. Особенностью задач массового обслуживания является случайный характер изучаемых явлений. Количество требований на обслуживание и временные интервалы между их поступлениями несут случайный характер, однако в совокупности подчиняются статистическим закономерностям, количественное исследование которых является предмет теории массового обслуживания.

Экономическая кибернетика исследует экономические явления и процессы как сложные системы с точки зрения законов управления и движения в них информации. Методы моделирования и системного анализа наиболее разработаны именно в этой области.

Использование математических методов в экономическом анализе базируется на методологии экономико-математического моделирования хозяйственных процессов и научно обоснованной классификации методов и задач анализа. Все экономико-математические методы подразделяются на две группы: оптимизационные решения по заданному критерию и неоптимизационные (решения без критерия оптимальности).

По признаку получения точного решения все математические методы делятся на точные (по критерию или без него получают единственное решение) и приближенные (на основе стохастической информации).

К оптимальным точным относятся теории оптимальных процессов, некоторые методы математического программирования и методы исследования операций, к оптимизационным приближенным - часть методов математического программирования, исследования операций, экономической кибернетики, эвристические.

К неоптимизационным точным принадлежат методы элементарной математики и классические методы математического анализа, экономические методы, к неоптимизационным приближенным - метод статистических испытаний и другие методы математической статистики.

Особенно часто применяются математические модели очередей и управления запасами.

Теория массового обслуживания позволяет изучать системы, предназначенные для обслуживания массового потока требований случайного характера. Случайными могут быть как моменты появления требований, так и затраты времени на их обслуживание. Целью методов теории является отыскание разумной организации обслуживания, обеспечивающей заданное его качество, определение оптимальных (с точки зрения принятого критерия) норм дежурного обслуживания, надобность в котором возникает непланомерно, нерегулярно.

С использованием метода математического моделирования можно определить, например, оптимальное количество автоматически действующих машин, которое может обслуживаться одним рабочим или бригадой рабочих.

Типичным примером объектов теории массового обслуживания могут служить автоматические телефонные станции - АТС. На АТС случайным образом поступают "требования” - вызовы абонентов, а "обслуживание” состоит в соединении абонентов с другими абонентами, поддержание связи во время разговора и т.д. Задачи теории, сформулированные математически, обычно сводятся к изучению специального типа случайных процессов.

Исходя их данных вероятностных характеристик поступающего потока вызовов и продолжительности обслуживания и учитывая схему системы обслуживания, теория определяет соответствующие характеристики качества обслуживания (вероятность отказа, среднее время ожидания начала обслуживания).

Математическими моделями многочисленных задач технико-экономического содержания являются также задачи линейного программирования. Линейное программирование - это дисциплина, посвященная теории и методам решения задач об экстремумах линейных функций на множествах, задаваемых системами линейных равенств и неравенств.

Задача планирования работы предприятия

Для производства однородных изделий необходимо затратить различные производственные факторы - сырье, рабочую силу, станочный парк, топливо, транспорт. Обычно имеется несколько отработанных технологических способов производства, причем в этих способах затраты производственных факторов в единицу времени для выпуска изделий различны.

Количество израсходованных производственных факторов и количество изготовляемых изделий зависит от того, сколько времени предприятие будет работать по тому или иному технологическому способу.

Ставится задача рационального распределения времени работы предприятия по различным технологическим способам, то есть такого, при котором будет произведено максимальное количество изделий при заданных ограниченных затратах каждого производственного фактора.

На основе метода математического моделирования в операционных исследованиях решаются также многие важные задачи, требующие специфических методов решения. К их числу относятся:

1. Задача надежности изделий;

2. Задача замены оборудования;

3. Теория расписаний (так называемая теория календарного планирования);

4. Задача распределения ресурсов;

5. Задача ценообразования;

6. Теория сетевого планирования.

Задача надежности изделий

Надежность изделий определяется совокупностью показателей. Для каждого из типов изделий существуют рекомендации по выбору показателей надежности.

Для оценки изделий, которые могут находиться в двух возможных состояниях - работоспособном и отказовом, применяются следующие показатели: среднее время работы до возникновения отказа (наработка до первого отказа), наработка на отказ, интенсивность отказов, параметр потока отказов, среднее время восстановления работоспособного состояния, вероятность безотказной работы за время t, коэффициент готовности.

Задача распределения ресурсов

Вопрос распределения ресурсов является одним из основных в процессе управления производством. Для решения этого вопроса в операционных исследованиях пользуются построением линейной статистической модели.

Задача ценообразования

Для предприятия вопрос образования цены на продукцию играет немаловажную роль. От того, как проводится ценообразование на предприятии, зависит его прибыль. Кроме того, в существующих сейчас условиях рыночной экономики цена стала существенным фактором в конкурентной борьбе.

Теория сетевого планирования

Сетевое планирование и управление, является системой планирования управления разработкой крупных хозяйственных комплексов, конструкторской и технологической подготовкой производства новых видов товаров, строительством и реконструкцией, капитальным ремонтом основных фондов путем применения сетевых графиков.

Сущность сетевого планирования и управления состоит в составлении математической модели управляемого объекта в виде сетевого графика или модели находящейся в памяти компьютера, в которых отражается взаимосвязь и длительность определенного комплекса работ. Сетевой график после его оптимизации средствами прикладной математики и вычислительной техники используется для оперативного управления работами.

Решение экономических задач с помощью метода математического моделирования позволяет осуществлять эффективное управление как отдельными производственными процессами на уровне прогнозирования и планирования экономических ситуаций и принятия на основе этого управленческих решений, так и всей экономикой в целом. Следовательно, математическое моделирование как метод тесно соприкасается с теорией принятия решений в менеджменте.