Кратные интегралы

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования Российской Федерации

«Институт «ИНФО»

Контрольная работа

Кратные интегралы

Вариант № 5

Дать определение двойного интеграла

Понятие определенного интеграла рассмотрим для функции двух переменных , заданной и непрерывной в замкнутой области S, ограниченной линией С. Разобьем область S на n частей произвольным образом, названия которых и их площади обозначим , следовательно . Возьмем точку с координатами .

Тогда . Возьмем произведение и составим сумму по всем малым площадкам .

Определение 1. Сумма называется n-ной интегральной суммой, для функции по области S.

Определение 2. Двойным интегралом от функции по области S называется предел, к которому стремится n-ная интегральная сумма при неограниченном увеличении числа малых площадок и при условии, что каждая из этих площадок стягивается в точку.

Этот предел обозначается . Следовательно . Здесь называется знаком двойного интеграла, S - областью интегрирования, - подынтегральной функцией, ds - элементом площади. Поскольку в силу условия разбиения , следовательно .

Сформулировать теорему существования двойного интеграла

Теорема: Для всякой непрерывной в замкнутой области S функции двойной интеграл существует.

Поэтому считается, что функция непрерывна в области интегрирования S.

Сформулируйте свойства двойного интеграла

Поскольку понятие двойного интеграла, аналогично понятию определенного интеграла, двойной интеграл обладает теми же свойствами, что и определенный. Приведем эти свойства:

Свойства определенного интеграла:

· Постоянный множитель можно вынести за знак двойного интеграла .

· Двойной интеграл от суммы функций равен сумме двойных интегралов от этих функций .

· Если в области интегрирования , то и .

· Если в области интегрирования m и M являются соответственно наибольшим и наименьшим значениями функции , то есть , то . Это свойство дает оценку двойного интеграла.

· Если область интегрирования , то .

Сформулируйте теорему о среднем значении для двойного интеграла

· Теорема о среднем: Если функция непрерывна в замкнутой области S, то в области S существует, по крайней мере, одна точка , в которой значение функции . Это значение называется средним интегральным значением функции в области S.

Как вычисляется двойной интеграл

· в декартовых координатах: При вычислении двойного интеграла в декартовых координатах осуществляется переход от двойного интеграла к двукратному путем последовательного вычисления двух определенных интегралов, при этом:

1) если контур области S встречается со всякой пересекающей его вертикальной прямой не более чем в двух точках (К, Е на рис), то область S задается неравенствами . Здесь - крайние абсциссы области, - функции, выражающие ординаты нижней и верхней граничных линий .

В этой случае двойной интеграл вычисляется по формуле

.

2) если контур области S встречается не более чем в двух точках со всякой пересекающей его горизонтальной прямой не более чем в двух точках, имеем аналогично (см. рис):

.

3) если контур области не подходит ни под первый, ни под второй случай, то область S разбивают на несколько частей S₁, S₂, S₃,… так чтобы в каждой области можно было применить одну из двух предыдущих формул.

· при вычислении двойного интеграла в полярных координатах координатными линиями являются лучи и окружности . Учитывая, что при переходе от декартовых координат к полярным применяются формулы , получаем выражение для двойного интеграла: . Выражение называется элементом площади в полярных координатах.

Дайте определение тройного интеграла

Ответ:

Пусть функция задана в трехмерной области V, ограниченной замкнутой поверхностью . Проведем следующие действия:

· разобьем область V на n ;

· в каждом элементе выберем произвольную точку и вычислим значение функции в этой точке ;

· составим произведение и образуем сумму этих произведений .

Определение 1. Сумма называется n-ной интегральной суммой, образованной для функции по области V.

Определение 2. тройным интегралом от функции по области V называется предел, к которому стремится n-ная интегральная сумма , при неограниченном увеличении числа элементов разбиения и условии стягивания каждого из этих элементов в точку.
Этот предел обозначается и не зависит от способа разбиения области V на элементы и выбора точек . Таким образом .

Сформулируйте теорему существования тройного интеграла

Теорема о среднем: Если функция непрерывна в замкнутой области V, то в области V существует, по крайней мере, одна точка , в которой значение функции .

Доказательство: Если функция непрерывна в замкнутой области S, то этой области существуют величины m и M, являющиеся соответственно наибольшим и наименьшим значениями функции , то есть или . Следовательно, существует некоторое среднее значение функции . Отсюда следует, что среднее значение функции определится из выражения , откуда .

Пример 5.1. Построить область интегрирования .

Решение: Внутренний интеграл берется в пределах от до . Первая кривая парабола, с вершиной в начале координат и концы параболы направлены вверх. Вторая кривая окружность радиус которой равен и центр расположен в начале координат. Границы по у определяются внешними пределами . Построим область интегрирования, при условии, что . Область интегрирования (см. рисунок) заштрихована.

Пример 5.2. Вычислить

Решение:

.

Пример 5.3. Вычислить

Решение: Область интегрирования расположена между двух пересекающихся парабол (см. рисунок). Параболы пересекаются в точках .

Выберем порядок интегрирования сначала по х вдоль прямой от , затем по у от 0 до 1. В результате получаем:

.

Пример 5.4. Изменить порядок интегрирования

Решение: Зададим . Вначале построим область интегрирования. Она ограничена линиями , . Графиком функции является окружность с центром в начале координат. График функции - парабола. В заданном интервале, первое интегрирование производится по у.

При изменении порядка интегрирования, область интегрирования необходимо разбить на несколько областей: S₁ - расположена сверху между прямой и параболой ; S₂ - расположена внизу между прямой и окружностью ; S₂ - прямоугольная область расположена в центре, размером и две области, которые нужно вычесть из суммы первых трех областей, одна из которых лежит выше, а другая ниже оси абсцисс: S₄ - расположена между прямой , прямой ; S₅ - расположена между прямой , прямой (см. рисунок).

В результате получаем

,

при условии, что .

Пример 5.5. Перейдя к полярным координатам, вычислить

Решение: Область интегрирования расположена между окружностью радиусом равным 1 и окружностью радиусом 3 (кольцо) за исключением части кольца, расположенной между двумя линиями находящимися в первой четверти (см. рисунок), причем .

В полярных координатах . Следовательно

.

Пример 5.6. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями .

Решение: Границами фигуры являются две окружности радиусом 1 и 5 две прямые, одна их которых совпадает с осью х, а вторая проходит через начало координат под углом 60⁰ к оси х (см. рисунок).

Запишем уравнения окружностей в полярных координатах:

.

Следовательно, в полярных координатах получаем:

.

интеграл кратный теорема координата

Пример 5.7. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

Решение: Границами тела являются: координатная плоскость ; цилиндрическая поверхность , радиусом равным 1, центр которой сдвинут по оси у на 1, а ось проходит параллельно оси z; параболоид вращения , вершина которого расположена на оси z (z = 4), ось совпадает с осью z, а поверхность направлена вниз.

Объем тела, на нижней границе которого , определяется по формуле .

Сверху тело ограничено параболоидом , а областью интегрирования является окружность , лежащая на плоскости . Выберем порядок интегрирования сначала по х, а затем по у. Тело симметрично относительно плоскости zОу (см. рис. вид сверху). Запишем уравнение в полярных координатах:

.

Тогда получаем:

.

Для вычисления интегралов , воспользуемся табличными интегралами из «Справочника по высшей математике, М.Я. Выгодский».

.

Пример 5.8. Вычислить площадь поверхности цилиндра? (параболоида) , отсеченного плоскостями

Решение: Изобразим поверхность на виде спереди, а область интегрирования на виде сверху.

Далее получаем:

.

Выполним интегрирование вначале по х, а потом по у.

.

Пример 5.11. Вычислить .

Решение: Границами области интегрирования является плоскость и координатные поверхности (см. рисунок).

Для вычисления заданного интеграла положим

.

Тогда получаем:

.

Размещено на Allbest.ru