Решение проблемы континуума (принцип непрерывности)

Размещено на http://www.allbest.ru

Решение проблемы континуума (принцип непрерывности)

М. А. Гайсин

Аннотация

В процессе решения математической проблемы континуума, автор пришел к выводу о необходимости ввода в числовую математику принципа непрерывности определенного в философии.

Математическая проблема континуума

Проблему континуума математики относят к числу главных проблем. Итак, проблемой континуума является вопрос существования промежуточной мощности между счетной мощностью и мощностью континуума. Континуум-гипотеза утверждает, что такой мощности нет. Математики доказали, что как существование такого множества, так и ее отсутствие не противоречат остальным аксиомам теории множеств. Тем самым пришли к выводу, что ни доказать, ни опровергнуть континуум-гипотезу невозможно. Автор же при решении проблемы, исходил из того, что если бы решении проблемы было в аксиоматике теории множеств, то она давно была бы решена. Поэтому автор направил свои усилия на анализ исходных принципов.

Анализ проблемы

При анализе исходных принципов, автор пришел к выводу, что в действительности, проблемой континуума является само понимание континуума в математике. Первая концепция континуума была представлена в виде неделимых моментов - мигов времени и неделимых точек пространства. Проблема континуума была поставлена Зеноном, выявившим парадоксы в этой концепции. Рассмотрим один из этих парадоксов, например третий. Зенон в парадоксе «Стрела» доказывает, что летящая стрела покоится. Здесь он исходит из понимания времени как суммы неделимых моментов «теперь», а пространства как суммы неделимых точек. Зенон считал, что в каждый момент времени стрела занимает место, равное своему объему, а значит, движение можно представить как сумму «продвинутостей» - состояний покоя, так как при действительном движении предмет должен занимать место большее, чем он сам. Таким образом, Зенон доказал, что атомистический континуум не позволяет движению ни существовать, ни быть мыслимым.

Аристотель, создавая свою физику, был вынужден доказать возможность мыслить движение без противоречий, т.е. решить парадоксы Зенона. Аристотель сделал это, углубив понимание природы континуума, вводом понятия непрерывности. По его утверждению, непрерывность - это когда у соприкасающихся друг к другу элементов, граница соприкосновения принадлежит как одному, так и другому соприкасающемуся элементу. Смежность же, это когда соприкасающиеся друг к другу элементы сохраняют свои границы. По Аристотелю, непрерывными могут быть части пространства, времени и движения. И непрерывное это то, что делится на части, всегда делимые. То есть, непрерывное не может состоять из неделимых частей. Аристотель разрешил парадоксы, которые возникли в физике, при допущении атомарности пространства и времени, показав возможность мыслить движение как непрерывный процесс, а не как сумму «продвинутостей». Автора восхитила глубина мысли Аристотеля, которая до сих пор полностью не осознана, и автор считает, что теория континуума Аристотеля, является фундаментом не только физики, но и математики, так как принцип непрерывности дан с соблюдением строгой математической логики.

Решение проблемы

А как же обстоят дела с пониманием природы континуума в современной математике? Посмотрим это на примере решения математической проблемы континуума, которая задана в категории актуальной бесконечности. Натуральный ряд в современной математике определяется как множество всех натуральных чисел. Это определение противоречит природе натурального ряда. Натуральный ряд является примером потенциально бесконечного множества по определению. Беспредельно возрастающий ряд натуральных чисел, сколько бы его не увеличивали, остается конечной величиной. А в категории потенциальной бесконечности мы не имеем права говорить о Натуральном ряде как о совокупности всех натуральных чисел, или как о бесконечном счетном множестве.

Разберем теперь, что такое мощность всех действительных чисел, так называемая континуальная мощность. Континуум в категории актуальной бесконечности определяется как бесконечное множество всех действительных чисел представленной в виде числовой прямой. Рассмотрим эту числовую прямую с учетом принципа непрерывности. Согласно этому принципу числовая прямая не может быть представлена в виде актуального бесконечного множества. Поэтому аналогом множества мощности континуума будет понятие возможности неограниченного деления числовой прямой в выбранной системе исчисления. А это понятие определено в категории потенциальной бесконечности.

Итак, понятие натурального ряда и понятие неограниченного деления числовой прямой в категории потенциальной бесконечности преобразуются в одно понятие - в понятие числа. Возможность неограниченного счета с возможностью неограниченного деления в выбранной системе исчисления для определения численных значений объектов математики сколь угодно больших со сколь угодной точностью есть определение числа в категории потенциальной бесконечности.

Отсюда видим, что вопрос о существование промежуточного множества определенного в категории актуальной бесконечности в категории потенциальной бесконечности теряет смысл. Но возникает вопрос: почему трансцендентные и иррациональные числа, определенные в категории актуальной бесконечности в категории потенциальной бесконечности не имеют места? Действительно, они в категории потенциальной бесконечности не являются числами, а являются объектами математики, которые могут быть вычислены с любой точностью, так как в категории потенциальной бесконечности числа по определению конструктивны. Следовательно, число вне числовой конструкции появиться не может.

Заключение

Хотя проблема континуума поставлена в категории актуальной бесконечности, тем не менее, автор нашел решение проблемы только в категории потенциальной бесконечности, так как изначально заданные бесконечности как актуальные, на самом деле оказались потенциальными. То есть актуальная бесконечность непредставима и соответственно автор пришел к выводу, что теория бесконечных множеств Кантора ошибочна. Так как доказательства Кантора также сделаны на основе потенциальной бесконечности. математический континуум непрерывность числовой

Автор также утверждает, что математика в принципе не может содержать парадоксы, так как является инструментом логики. А парадоксы в теории множеств возникли из-за неправомерного использования понятия актуальной бесконечности. Так как из предыдущего анализа и решения проблемы континуума видно, что актуальная бесконечность представима только не в проявленной форме, то есть как непрерывность.

Список литературы

1. П. П. Гайденко. «Понятие времени и проблема континуума.

Размещено на Allbest.ru