Основы интегрирования

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Дать определение первообразной функции и неопределенного интеграла. В чем состоит геометрический смысл неопределенного интеграла?

Определение 1.1. Функция , производная которой равна называется первообразной функции .

Отыскание по данной функции ее первообразной составляет основную задачу интегрального счисления.

Определение 1.2. Если функция одна из первообразных функции , то выражение +С, где С - постоянная, называется неопределенным интегралом, иными словами неопределенным интегралом называется однопараметрическое семейство первообразных данной функции. Таким образом .

Геометрический смысл интегрирования получим, если начертить график данной функции . Пусть дуга КL целиком лежит выше оси ОХ. Проведем две ординаты . Левую ординату будем считать неподвижной, а правую - подвижной. Площадь будет одной из первообразных для функции аргумента . Взяв вместо неподвижную ординату , получим другую первообразную - площадь . Эти две первообразные разнятся на постоянную величину .

2. Какой метод применяется при вычислении интегралов вида ?

Ответ: В этом случае применяется метод интегрирования по частям по формуле . При этом подынтегральное выражение разбивается на множители и преобразуется в случае так:

.

3. Сформулируйте теорему о разложении правильной рациональной дроби на сумму простейших дробей. В чем состоит метод неопределенных коэффициентов?

Ответ: Всякая правильная дробь разлагается на сумму простейших единственным образом.

В случае, когда знаменатель содержит множители первой степени и ни один из них не повторяется, применяется формула (3.1)

,

где постоянные А, В,…, L находятся по методу неопределенных коэффициентов следующим образом:

· Освобождаемся в равенстве (3.1) от знаменателя.

· Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х в правой и левой части. Получаем для неизвестных А, В,…, L систему уравнений первой степени.

· Решаем систему и находим коэффициенты А, В,…, L.

4. Указать прием при вычислении интегралов вида

Ответ: Неопределенный интеграл некоторой функции равен этой функции плюс С: . Из этой формулы следует, что если, например , то .

Такое преобразование подынтегрального выражения называется подведением (внесением) функций под знак дифференциала. Это преобразование - самый универсальный прием практического интегрирования.

5. Какое выражение называется интегральной суммой? Что называется определенным интегралом?

Ответ: Пусть на отрезке дана непрерывная функция .

Проделаем следующее:

· Отрезок разделим на n частей произвольным образом. Каждый отрезок назовем частичным. Обозначим точки деления отрезка , тогда длина частичного отрезка .

· На каждом частичном отрезке возьмем произвольную точку , т.е. .

· Вычислим значение функции в произвольно выбранной точке , умножим это значение на длину соответствующего частичного отрезка и составим сумму всех таких произведений, которую обозначим . Эта сумма называется интегральной суммой для функции на отрезке .

· Найдем предел интегральной суммы при условии, что число частичных отрезков неограниченно возрастает и каждый из них стягивается в точку. Обозначим через длину наибольшего из частичных отрезков.

Определение 5.1. Предел интегральной суммы при условии, что 0 (при этом n 0), если он существует и не зависит от способа деления отрезка , ни от способа выбора внутренних точек , называется определенным интегралом функции на отрезке и обозначается символом . Таким образом, .

6. Сформулировать теорему о среднем для определенного интеграла

Ответ: Пусть на отрезке дана непрерывная функция . Тогда на этом отрезке существует хотя бы одна точка , для которой .

Теорема 6.1. Определенный интеграл от непрерывной функции равен значению подынтегральной функции в некоторой внутренней точке, умноженному на длину отрезка интегрирования. Это значение называется средним интегральным значением функции на отрезке .

7. Привести формулу замены переменной в определенном интеграле

Ответ: Рассмотрим определенный интеграл , где непрерывная на отрезке функция. Перейдем от переменной х к переменной t, положив . Пусть . Предположим, кроме того, что

· Функция и ее производная непрерывны на отрезке .

· При изменении t от до значения функции не выходят за пределы отрезка .

При выполнении этих условий имеет место следующая формула замены переменной в определенном интеграле: .

8. В чем состоит геометрический смысл определенного интеграла? Свойства определенного интеграла

Ответ: Пусть на . Фигура, ограниченная отрезком , осью Ох, частью графика функции и двумя прямыми называется криволинейной трапецией.

Для нахождения ее площади поступим следующим образом.

· Отрезок разделим на n частей произвольным образом . В результате получим частичные отрезки .

· На каждом частичном отрезке возьмем произвольную точку , т.е. .

· С небольшой погрешностью можем принять, что на протяжении каждого частичного отрезка функции постоянна и равна ее значению в произвольно выбранной точке. фактически мы заменяем площадь элементарной криволинейной трапеции с основанием на площадь прямоугольника с тем же основанием и высотой . Тогда: .

· За точное значение площади примем предел этой интегральной суммы при . , т.е. .

Последнее равенство выражает геометрический смысл определенного интеграла. Следовательно, интеграл равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции , отрезком , осью Ох и двумя прямыми .

Свойства определенного интеграла:

· Постоянный множитель можно вынести за знак определенного интеграла .

· Определенный интеграл от суммы двух функций равен сумме определенных интегралов от слагаемых .

· Если в определенном интеграле поменять местами пределы интегрирования, то он изменит знак .

· Если отрезок интегрирования разбить на две части , то .

· Если на отрезке , то .

· Если на отрезке две функции удовлетворяют неравенству , то . Иными словами, неравенство можно почленно интегрировать.

9. Сформулировать теоремы о признаках сходимости несобственных интегралов

Ответ: Признаки сходимости несобственных интегралов основаны на следующих теоремах, основанных на сравнении несобственных интегралов:

Теорема 9.1. Пусть на промежутке функции непрерывны и удовлетворяют условиям . Тогда если интеграл сходится, то сходится и интеграл .

Теорема 9.2. Пусть на промежутке функции непрерывны и удовлетворяют условиям , а в точке х = b имеют разрыв. Тогда если интеграл сходится, то сходится и интеграл .

10. Дать определение длины дуги

интеграл дробь разложение переменная

Ответ: Пусть дана кривая L с начальной точкой А и конечной В.

Разделим ее на ряд элементарных дуг точками А₁, А₂,…, А_n-1. Положив А = А₀, В = А_n и соединив соседние точки отрезками, получим ломаную А₀А₁А₂…А_n-1А_n.

Определение 10.1. Длиной дуги плоской кривой L называется предел, к которому стремится периметр вписанной в эту дугу ломаной при условии, что число звеньев неограниченно возрастает и длина каждого из звеньев стремится к нулю.

Размещено на Allbest.ru