Интерполяция функций
Интерполяция как процесс нахождения многочлена не выше n-ой степени, ее содержание и предъявляемые требования, основные этапы и значение. Особенности интерполяционной формулы Лагранжа и Ньютона. Остаточный член интерполяции, методика его нахождения.
| Рубрика | Математика |
| Вид | лекция |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 08.09.2013 |
| Размер файла | 33,7 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Введение
Пусть на отрезке [a, b] заданы значения функции y = f(x) в точках ax0<x1<x2<…<xnb:
f(x0) = y0, f(x1) = y1, f(x2) = y2, …, f(xn) = yn
def: Интерполяция - нахождение многочлена не выше n-ой степени:
Pn(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + … + an-1x + an (1)
который в точках x0, x1, x2,…, xn принимает те же значения, что и данная функция, т.е. выполняются равенства:
Pn(xi) = f(xi) = yi, i = 0, 1, 2, …, n. (2)
Другими словами, интерполяция - нахождение многочлена вида (1), который на отрезке [a, b] являлся бы приближением для функции y = f(x).
Многочлен (1) называется интерполяционным многочленом, точки x0, x1, x2, …, xn. - узлами интерполяции
Интерполяция дает возможность находить приближенные значения функции f(x) в точках x, лежащих между узлами интерполяции, когда функция задана только в точках x0, x1, …, xn. А т.ж. когда функция задана формулой на всем отрезке [a, b], но вычисление ее значений по этой формуле очень трудоемко.
Покажем, что всегда существует и притом единственный интерполяционный многочлен (1), удовлетворяющий условиям (2). Для простоты возьмем n = 2, т.е. искомый многочлен:
P2(x) = a0x2 + a1x +a2 (3)
Подставляя в (3) вместо x числа x0, x1, x2 и учитывая, что в этих точках значения функции соответственно равны y0, y1, y2 получаем систему трех уравнений первой степени с тремя неизвестными a0, a1, a2:
Так как числа x0, x1, x2 различны, то определитель этой системы отличен от нуля:
Следовательно, решение данной системы существует и оно единственное, что и доказывает утверждение.
Геометрически это означает, что через три точки M0(x0; y0), M1(x1; y1), M2(x2; y2) проходит единственная линия, определяемая уравнением (3).
Таким образом, интерполяционный многочлен (1) всегда существует и единственен.
1. Интерполяционная формула Лагранжа
Рассмотрим вопрос об отыскании коэффициентов интерполяционного многочлена (1). Подставляя этот многочлен в систему (2), получаем систему n+1 уравнений первой степени с n+1 коэффициентами a0, a1, …, an:
Решая систему, находим коэффициенты и, подставляя их в (1) получаем искомый интерполяционный многочлен. Однако на практике этот способ связан с громоздкими вычислениями при решении системы.
Поэтому интерполяционный многочлен (1) будем искать в виде:
Pn(x) = a0(x-x1) (x-x2) … (x-xn) + a1(x-x0) (x-x2) … (x-xn) + … +
+ an(x-x0) (x-x1) … (x-xn-1). (4)
Полагая в (4) x = x0 и учитывая условия (2) получим:
y0 = a0(x0-x1) (x0-x2) … (x0-xn),
откуда
Полагая в (4) x = x1 получим:
y1 = a1(x1-x0) (x1-x2) … (x1-xn),
откуда
Аналогично найдем
…………………
Подставляя найденные значения коэффициентов в формулу (4), получаем искомый многочлен
(5)
Формула (5) называется интерполяционной формулой Лагранжа.
Пример. В результате эксперимента для функции f(x) получили таблицу:
|
x0 = 1 |
x1 = 3 |
x2 = 5 |
|
|
y0 = 2 |
y1 = 1 |
y2 = 8 |
Найти многочлен второй степени, приближенно выражающий функцию f(x).
Решение. По формуле (5) находим
2. Интерполяционная формула Ньютона
Рассмотрим частный случай, когда разность между узлами постоянна и равна h = xi-xi-1. Введем следующие обозначения:
Дy0=y1-y0, Дy1=y2-y1, Дy2=y3-y2,…,
Д2y0=Дy1-Дy0, Д2y1=Дy2-Дy1, Д2y2=Дy3-Дy2, …,
Д3y0=Д2y1-Д2y0, Д3y1=Д2y2-Д2y1, …,
………………………………………
Дny0=Дn-1y1-Дn-1y0, Дny1=Дn-1y2-Дn-1y1, …,
называемые разностями первого, второго, третьего, …, n-ого порядков.
Найдем интерполяционный многочлен n-ой степени, принимающий в точках x0, x1=x0+h, x2=x0+2h, …, xn=x0+nh соответственно значения y0, y1, y2, yn. Сначала найдем многочлен первой степени, принимающий в точках x0 и x1=x0+h значения y0 и y1. Подставляя в (5) вместо x1 число x0+h получаем:
.
Аналогично находим:
и вообще
(6)
или
Формула (6) определяет искомый многочлен и называется интерполяционной формулой Ньютона.
Задача интерполяции имеет единственное решение, поэтому формулы Лагранжа и Ньютона для данных значений xi и yi тождественны и отличаются лишь группировкой членов.
На практике формула Ньютона более удобна, т.к. при добавлении новых узлов интерполяции в формуле Лагранжа надо пересчитывать заново все коэффициенты, а в формуле Ньютона добавляются только новые слагаемые, а старые остаются без изменения.
3. Остаточный член интерполяции
интерполяция лагранж ньютон мнгочлен
Для оценки близости интерполяционного многочлена Pn(x) к функции f(x) необходимо исследовать разность
R(x) = f(x) - Pn(x),
называемую остаточным членом интерполяции.
Предположим, что на отрезке [a, b] существует (n+1) - я непрерывная производная f(n+1)(x). Тогда
R(n+1)(x) = f(n+1)(x), a ? x ? b (7)
т.к. Pn(n+1)(x) ? 0. Пусть x - любое фиксированное число, a ? x ? b, не совпадающее с узлами интерполяции, t - переменная величина, a ? t? b. Положим
щ(x) = (x-x0) (x-x1) (x-x2)… (x-xn)
и рассмотрим на отрезке [a, b] вспомогательную функцию
, a ? t ? b.
Функция F(x), очевидно, n+1 раз дифференцируема на отрезке [a, b], причем в силу (7) и того факта, что щ(n+1)(x) = (n+1)!, имеем
. (8)
Далее, функция F(t) обращается в нуль в n+2 точках: x0, x1, xn и x (x - фиксированное). Поэтому по теореме Ролля ее первая производная обращается в нуль, по крайней мере, в n+1 точке отрезка [a, b], вторая производная обращается в нуль, по крайней мере, в n точках этого отрезка и т.д. По индукции получаем, что (n+1) - я производная функции F(t) обращается, по крайней мере, один раз в нуль внутри отрезка [a, b]. Следовательно, существует точка о, a ? о ? b, такая, что
F(n+1)(о) = 0. (9)
Полагая в (8) t = о и используя (9), находим
,
откуда
, a ? x ? b, a< о<b. (10)
Равенство (10) определяет остаточный член интерполяции. Обозначая через k наибольшее значение функции | f(n+1)(x) | на отрезке [a, b], получаем формулу оценки остаточного члена для любого x [a, b]:
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Вычислительные методы линейной алгебры. Интерполяция функций. Интерполяционный многочлен Ньютона. Узлы интерполяции. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Интерполяция сплайнами. Коэффициенты кубических сплайнов.
лабораторная работа [70,5 K], добавлен 06.02.2004В вычислительной математике существенную роль играет интерполяция функций. Формула Лагранжа. Интерполирование по схеме Эйткена. Интерполяционные формулы Ньютона для равноотстоящих узлов. Формула Ньютона с разделенными разностями. Интерполяция сплайнами.
контрольная работа [131,6 K], добавлен 05.01.2011Построить интерполяционный многочлен Ньютона. Начертить график и отметить на нем узлы интерполяции. Построить интерполяционный многочлен Лагранжа. Выполнить интерполяцию сплайнами третьей степени.
лабораторная работа [70,8 K], добавлен 06.02.2004Непрерывная и точечная аппроксимация. Интерполяционные полиномы Лагранжа и Ньютона. Погрешность глобальной интерполяции, квадратичная зависимость. Метод наименьших квадратов. Подбор эмпирических формул. Кусочно-постоянная и кусочно-линейная интерполяции.
курсовая работа [434,5 K], добавлен 14.03.2014Задача нахождения экстремума: сущность и содержание, оптимизация. Решение методами квадратичной интерполяции и золотого сечения, их сравнительная характеристика, определение основных преимуществ и недостатков. Количество итераций и оценка точности.
курсовая работа [779,5 K], добавлен 25.08.2014Понятие интерполяций функций и их роль в вычислительной математике. Рассмотрение метода интерполяции кубическими сплайнами, составление алгоритма и программного модуля. Описание тестовых примеров. Достоинства и недостатки метода сплайн-интерполяции.
курсовая работа [195,1 K], добавлен 08.06.2013Построение массива конечных разностей. Выполнение экстраполяции. Вычисление приближенной функции с помощью многочлена Лагранжа. Определение значения функции с помощью формул Ньютона. Квадратичная сплайн-интерполяция. Среднеквадратичная аппроксимация.
контрольная работа [1004,9 K], добавлен 01.12.2009Доказательство существования и единственности интерполяционного многочлена Лагранжа. Понятие лагранжевых коэффициентов. Способы задания наклонов интерполяционного кубического сплайна, его использование для аппроксимации функций на больших промежутках.
презентация [251,7 K], добавлен 29.10.2013Интерполяция с помощью полинома Ньютона исходных данных. Значение интерполяционного полинома в заданной точке. Уточнение значения корня на заданном интервале тремя итерациями и поиск погрешности вычисления. Методы треугольников, трапеций и Симпсона.
контрольная работа [225,2 K], добавлен 06.06.2011Осуществление интерполяции с помощью полинома Ньютона. Уточнение значения корня на заданном интервале тремя итерациями и нахождение погрешности вычисления. Применение методов Ньютона, Сампсона и Эйлера при решении задач. Вычисление производной функции.
контрольная работа [155,2 K], добавлен 02.06.2011Роль интерполяции функций, значения которой совпадают со значениями заданной функции в некотором числе точек. Интерполирование функции полиномами, непосредственно непрерывных функций на отрезке и в точке. Определение понятия погрешности интерполяции.
курсовая работа [157,4 K], добавлен 10.04.2011Методы численного дифференцирования. Вычисление производной, простейшими формулами. Численное дифференцирование, основанное на интерполяции алгебраическими многочленами. Аппроксимация многочленом Лагранжа. Дифференцирование, с использованием интерполяции.
курсовая работа [1,3 M], добавлен 15.02.2016Вычисление производной по ее определению, с помощью конечных разностей и на основе первой интерполяционной формулы Ньютона. Интерполяционные многочлены Лагранжа и их применение в численном дифференцировании. Метод Рунге-Кутта (четвертого порядка).
реферат [71,6 K], добавлен 06.03.2011Применение первой и второй интерполяционной формул Ньютона. Нахождение значений функции в точках, не являющимися табличными. Bспользование формулы Ньютона для не равностоящих точек. Нахождение значения функции с помощью интерполяционной схемы Эйткена.
лабораторная работа [481,0 K], добавлен 14.10.2013Правило нахождения производной произведения функций. Формулы нахождения производных для функций, заданных параметрически. Геометрический смысл производной. Приращение и дифференциал функции. Наибольшее и наименьшее значения на замкнутом множестве.
контрольная работа [75,5 K], добавлен 07.09.2010Вычисление приближенных величин и погрешностей. Решение алгебраических и трансцендентных уравнений, интерполяция функций и методы численного интегрирования. Применение метода наименьших квадратов к построению эмпирических функциональных зависимостей.
курсовая работа [378,5 K], добавлен 08.01.2013Метод решения задачи, при котором коэффициенты a[i], определяются непосредственным решением системы - метод неопределенных коэффициентов. Интерполяционная формула Ньютона и ее варианты. Построение интерполяционного многочлена Лагранжа по заданной функции.
лабораторная работа [147,4 K], добавлен 16.11.2015Понятие интерполяционного многочлена Лагранжа как многочлена минимальной степени, порядок его построения. Решение и оценка остаточного члена. Нахождение приближающей функции в виде линейной функции, квадратного трехчлена и других элементарных функций.
курсовая работа [141,5 K], добавлен 23.07.2011Определение погрешности вычислений при численном дифференцировании. Алгебраический порядок точности численного метода как наибольшей степени полинома. Основной и вспомогательный бланк для решения задачи Коши. Применение интерполяционной формулы Лагранжа.
реферат [1,4 M], добавлен 10.06.2012Изучение понятия, классификации, свойств математических моделей. Особенности работы с функциями, переменными, графикой, программированием (интерполяция, регрессия) в системе MathCad. Проведение алгоритмического анализа задачи и аппроксимация результатов.
курсовая работа [4,5 M], добавлен 15.02.2010
