Производная и дифференциал функции

Размещено на http://www.allbest.ru/

МОСКОВСКИЙ ЭКОНОМИКО-ФИНАНСОВЫЙ ИНСТИТУТ

Курсовая работа

на тему: "Производная и дифференциал функции"

специальность: "Бухгалтерский учёт, анализ и аудит"

учебная дисциплина: "Математика"

Студентка

Маленьких Наталья Валерьевна

Астрахань 2008 г.

План

Введение

1. Задача, приводящая к понятию производной

2. Определение производной

3. Зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функции

4. Схема вычисления производной

5. Основные правила дифференцирования

6. Производная сложной и обратной функций

7. Производные основных элементарных функций

8. Понятие производных высших порядков

9. Использование понятия производной в экономике

10. Понятие дифференциала функции

11. Применение дифференциала в приближенных вычислениях

12. Понятие о дифференциалах высших порядков

Список использованной литературы

Введение

Математика (счет) и Родная речь (чтение и письмо) являются основными науками необходимыми человеку для получения любой профессии. Однако если каждый народ имеет свой алфавит и свою грамоту, то в математике полная солидарность: фактически для выполнения любых расчетов от человека требуется знаний десяти цифр, шести арифметических операций и двух операций высшего порядка.

Одним из важнейших событий в истории математики стало рождение математического анализа. Дифференциальное и интегральное исчисление привели к скачку в развитии многих областей науки и техники. В своей работе я попыталась исследовать и связать причинно-следственную часть возникновения понятия производная, её использование и применение. Кроме этого я попыталась преломить данную тему в свете современных инновационных и информационных технологий. При исследовании мне пришлось вернуться к понятиям градусной меры угла, тригонометрической функции тангенс, уравнении прямой и угловом коэффициенте. Оказалось что все эти понятия взаимосвязаны между собой. В процессе работы мне пришлось заняться исследование графических процессов экономического характера, сделать соответствующие выводы. Параллельно мною велась работа с математическим пакетом MathCAD, делалось сравнение, обращалось внимание на преимущества и недостатки теории и практики.

О градусной мере угла: Наличие 10 пальцев на руках повлияло на общее употребление десятеричной системы исчисления. Эталоны длины, веса и т.п. имеют многоступенчатую кратность числу 10 (1 метр = 10 дециметров = 100 сантиметров = 1000 миллиметров; 1 тонна = 10 центнеров = 1000 килограмм). производная дифференциал функция вычисление

Изменение агрегатных состояний воды (твердое - жидкое, жидкое - газообразное) легли в основу измерения температуры в (от льда при 0⁰ до пара в 100⁰). Однако прямой угол общепризнано имеет градусную меру 90⁰, а не 100⁰. В школе я не смогла получить ответ на это несоответствии. Однако отгадка оказалась проста и банальна настолько, что до сих пор не ясно почему об этом практически не знают. Обращение Земли (а именно на этой планете мы живем) вокруг Солнца происходит за 365,25 суток/оборот.

Рис 1.

Для математических расчётов данное дробное число 365,25 - неудобно (это в жизни раз в четыре года 0,25 дает високосный год и 29 февраля, а на практике нет желания связываться с дробями). Но… находящееся рядом число 360 - просто уникально, поскольку оно делится нацело на все числа первого десятка, кроме семёрки - бессменной гости пословиц и поговорок (семь раз отрежь…, семеро одного не ждут, семь пятниц на неделе, семь пядей во лбу и. т. д).

Живя на другой планете, мы, возможно имели бы совсем иную градусную меру прямого угла (Табл. 1).

Табл. 1.

Планета	Год (суток)	Окружность	Развернутый угол	Прямой угол
Венера	225
Земля	365
Марс	687

Градусная мера угла не является совершенной, поэтому, более грамотно, использовать радианную меру угла, в определении которой лежит связь длины окружности данного радиуса, с самим радиусом, составляя отношение .

О тригонометрических функциях: Тригонометрическими (trigonon - треугольник, metrio - измерять) называются функции образованные отношением любых двух сторон прямоугольного треугольника. Их шесть синус, косеканс, косинус, секанс, тангенс, котангенс. Последние две (хотя, наверное, только тангенс) в дифференцировании заняли значительное место.

Для определения тригонометрических функций необходимо рассмотреть прямоугольный треугольник и один из его острых углов. Выбор острого угла влияет на то, какой из двух катетов окажется противолежащим, а какой прилежащим.

,

.

Третья функция связывает отношением только катеты:

.

Значения тригонометрических функций приведены в таблице Брадиса, некоторые значения необходимо помнить. Для таких значений этап заполнения таблицы происходит в три этапа.

Запись "половинок" для синуса и косинуса

	00	300	450	600	900

Запись чисел от 0 до 4 в числителе дробей для синуса (и наоборот от 4 до 0 для косинуса) с последующей расстановкой в числителях дробей арифметических корней:

	00	300	450	600	900				00	300	450	600	900

Аналогична методика заполнения для тангенса

	00	300	450	600	900
						(Табл. 2)

Примечание: для косеканса, секанса и котангенса у полученных дробей достаточно поменять числитель со знаменателем.

О построение прямой и угловом коэффициенте: Функция линейная функция, графиком которой является прямая линия.

Изобразить график прямой можно без вычислений. Две точки графика определяют два числа

1. Число b - свободный член (местоположение первой точки на оси OY).

2. Число k - угловой коэффициент, который для удобства представляют в виде дроби (относительно первой точки задает ступенчатость).

Так, например для прямой:

или ,

первая точка располагается на , а затем возрастает ступенчато .

Рис 2.

Свойства данного графика основаны на значении углового коэффициента. Его возрастание на если , убывание если , параллельность двух прямых , перпендикулярность двух прямых и т.п.

Ниже эти понятия связаны воедино.

1. Задача, приводящая к понятию производной

Основной задачей, приводящей к понятию производной, по праву считают задачу о движении тела по кривой. Исааку Ньютону и Готфриду Лейбницу удалось совершить переворот в математике. В основу задач на движение, лежит определение расстояния, и направления (угла). При решении данного типа задач, должна быть выбрана система отсчёта (декартовая система координат), а в ней задана градусная мера измерения углов (от 0 до 360 градусов) и длина (метр).

А) Движение прямолинейное, параллельное координатным осям.

Рис. 3

Вопрос: Куда двигаться?

Движение осуществляется в четырёх направлениях (Рис. 3) параллельно координатным осям (на север, на юг, на восток, на запад или +Y, -Y, +X, -X).

Вопрос: Сколько двигаться?

Модуль разности между конечной координатой и начальной , .

Б) Движение прямолинейное, не параллельное координатным осям.

Решение задачи основано на разложении движения по двум проекциям (на ось OX и ось OY ), что приводит к получению прямоугольного треугольника (Рис. 4).

Рис. 4

Вопрос: Куда двигаться?

Используя понятия тригонометрической функции (тангенса) мы без труда определим направление , откуда .

Вопрос: Сколько двигаться?

По теореме Пифагора: .

В). Криволинейное движение.

Рис. 5

Основной принцип исследования криволинейного движения (Рис. 5) предложенный Ньютоном и Лейбницем заключается в том, что любую кривую линию можно представить в виде множества прямолинейных отрезков (ломаной линии). В этом случае мы получаем большое количество прямолинейных отрезков наклоны (углы) к оси координат, которых и длины определяются по проекциям через тангенсы и теорему Пифагора.

Рассмотрим движение тела по кривой (Рис. 6). В окрестности исследуемой точки движение можно считать прямолинейным (поскольку всегда можно найти такую точку , которая образует прямолинейный отрезок от до ). На этом отрезке тело движется под углом к горизонтальной оси, причём тангенс этого угла определяется как

, или

,

причем максимально точное значение тангенс принимает при условии что участок .

Рис. 6

Таким образом, и пришли к определению понятия производная.

2. Определение производной

Определение: Производной функции в точке называется предел отношения приращения данной функции в этой точке к приращению аргумента, при условиях, что промежуток очень мал, () и предел существует.

. (Форм. 1)

Производная функции имеет несколько обозначений:

.

Иногда в обозначении производной используется индекс, указывающий, по какой переменной взята производная, например . Нахождение производной функции называется дифференцированием этой функции.

Вывод: по существу, угловой коэффициент некоторой прямой (отрезка) , равный отношению или тангенсу угла объединены общим названием производной данной функции в данной точке. Значение производной в данной точке для данной функции равное 0,81 будет означать, что , a это значит, что построение углов можно осуществлять без транспортира (Рис. 7). Таблицы или калькулятор позволят определить градусную меру данного угла.

Все задачи на нахождение производной, так или иначе, связаны с задачами роста (спада) исследуемого закона. Например, производная объема произведенной продукции по времени есть производительность труда в момент .



Рис. 7

Поскольку процессы, как правило, изображены кривыми, существует понятие касательной к кривой в некоторой точке , которое принимает вид:

,

Рис. 8

Визуальное наблюдение графика (Рис. 8), подскажет нам о росте (убывания) процесса. Но когда перед нами только закон, написанный на сухом языке цифр, приходит на помощь дифференцирование. В результате дифференцирования (по значению и его знака Рис. 9) мы можем без труда исследовать любые процессы (без графика!!!). Умение исследовать любой процесс (закон, функцию) и есть основная наша с Вами цель.

Рис. 9

3. Зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функции

При выполнении операций высшего уровня (дифференцирования и интегрирования) особое внимание уделяют на вопрос непрерывности данной функции. Не всякая непрерывная функция может быть дифференцируема, причиной этого, в большинстве случаев, является определение тангенса (для углов он не существует). Однако если касательная к функции имеет тангенс (функция имеет производную), то сама функция является непрерывной. Этот факт формулируется в виде теоремы:

Теорема. Если функция дифференцируема в точке , то она в этой точке непрерывна.

По условию функция дифференцируема в точке , т.е. существует конечный предел:

, (Форм. 2)

где - постоянная величина, не зависящая от .

Тогда на основании теоремы о связи бесконечно малых с пределами функций можно записать:

, (Форм. 3)

где - бесконечно малая величина при или:

. (Форм. 4)

При на основании свойств бесконечно малых устанавливаем, что и, следовательно, функция в точке является непрерывной.

Обратная же теорема, как указано выше, неверна, т.е. если функция непрерывна в данной точке, то она не обязательно дифференцируема в этой точке. Например, функция в точке существует, но производную в этой точке нельзя определить.

Рис. 10

При коэффициент равен , а при коэффициент равен (Рис. 10). При условии , ни конечного, ни бесконечного предела у данной функции не существует (касательная отсутствует).

Таким образом, непрерывность функции - необходимое, но недостаточное условие дифференцируемости функции.

Вывод. Производная непрерывной функции не обязательно непрерывна. Если функция имеет непрерывную производную (угол) на некотором промежутке , то функция называется гладкой на этом промежутке. Если же производная функция допускает конечное число точек разрыва связанных с углом наклона касательной (причем первого рода), то такая функция на данном промежутке называется кусочно-гладкой.

4. Схема вычисления производной

Современные информационные технологии позволяют решать задачи на нахождение и приложение производной без особых проблем. Наиболее успешным считается продукт фирмы Math Soft Apps MathCAD. Очень удобный интерфейс, преемственность теории, встроенные операции и т. п. делают данный пакет "супер - современным" калькулятором.

Рассмотрим схему вычисления производной для степенной функции и тригонометрической :

Рис. 11

Вычисление производной происходит автоматически (вызов операции дифференцирования, записи дифференцируемой функции и переменной дифференцирования оказывается достаточно Рис. 11).

Схема вычисления производной данной функции в данной точке также не вызывает трудностей. Рассмотрим схему вычисления производной для степенной функции в точке и тригонометрической в точке (Рис. 12). Вся разница в том, что в первом случае (Рис. 11) вместо знака равенства используется стрелка с панели Evaluation, а во втором (Рис. 12) перед вычислением должно быть задано значение переменной.

Рис. 12

Полученные результаты полностью согласуются с формулами, которые в курсе высшей математики выводятся с помощью определения производной:

. (Форм. 5)

Рассмотрим, (на этих же задачах) по какой схеме проводятся вычисления в теории математического анализа

1). По определению производной (Форм. 5) для функции имеем:

, , таким образом:

.

Частное решение:

в точке имеет вид , (см. Рис. 12).

2). Имея

для функции , получим:

Частное решение (см. Рис. 12): в точке имеет вид:

.

Вывод: вычисление производной основано на грамотном использовании определения производной:

,

умении вычислять пределы, а также использовать большое количество формул для преобразований. Так при решении второй задачи была использована формула для нахождения разности синусов:

.

Держать в голове такое количество математических формул, правил и свойств, считаю на сегодняшний день, не всегда целесообразно (особенно с учётом выбранной мной профессии). Современные информационные технологии дают большие преимущества в скорости решения задач и полученные ответы полностью согласуются с теорией. Это касается и функций, не дифференцируемых в данной точке. В качестве примера можно рассмотреть нахождение производной функции в точке (Рис. 10). В результате вычислений мы получаем неопределённость (Рис. 13):

Рис. 13

5. Основные правила дифференцирования

При выводе формулы дифференцирования любой функции мы с Вами должны использовать определение производной:

,

однако данное применение слишком громоздко и затруднительно (связано это, как правило с теорией пределов и свойствами математических выражений).

Сегодня для вычисления производных существуют специальные таблицы производных, выпущенные огромными экземплярами.

Дифференцирование тригонометрических функций даёт:

, , .

Дифференцирование обратных тригонометрических функций приведет к:

, ,

, .

Дифференцирование показательных и логарифмических функций:

, , , .

Но кроме этого от человека проводящего дифференцирования требуется знания и правил дифференцирования, поскольку знаний табличных формул очень часто бывает недостаточно, дело в том, что над функциями (в момент дифференцирования) могут быть в наложены алгебраические операции (сложение, вычитание, умножение, деление).

Рассмотрим каждое отдельно на примерах:

,

- дифференцирование алгебраической суммы функций

Пример:

.

Правило: дифференцирование алгебраической суммы выполняется над каждым слагаемым отдельно.

- дифференцирование произведения двух функций.

Пример:

.

- дифференцирование частного двух функций.

.

Сравним полученные результаты с полученными на компьютере (Рис. 14):

Рис. 14

Существует еще два правила,

- производная постоянной равна нулю (любая прямая имеет ) Для примера рассмотрим функцию (Рис. 15).

Рис. 15

Для , возрастание значения приращения функции к приращению аргумента идет одинаково (Рис. 16).

Прямая имеет угол или , значит производная аргумента равна в любой точке.

Рис. 16

6. Производная сложной и обратной функций

Пусть переменная есть функция от переменной , а переменная в свою очередь есть функция от независимой переменной , т.е. задана сложная функция .

Теорема. Если и - дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна производной данной функции по промежуточному аргументу и умноженной на производную самого промежуточного аргумента по независимой переменной т.е.

. (Форм. 6)

Дадим независимой переменной приращение . Тогда функции и соответственно получат приращение и .

Если , в силу дифференцируемости функции можно записать:

,

где - величина, не зависящая от .

На основании теоремы о связи бесконечно малых с пределами функций:

,

где - бесконечно малая при , откуда:

.

Это равенство будет справедливо и при , если полагать, что т.е. доопределить таким образом функцию при .

Разделив обе части равенства на , получим:

.

Так как по условию функция дифференцируема, то она непрерывна в точке , следовательно, при , и .

Поэтому, переходя к пределу при в равенстве, получим:

.(Форм. 7)

Замечание. Если ограничиться случаями, что при , , доказательство теоремы можно провести проще, исходя из очевидного равенства:

,

и переходя в нем к пределу при .

Правило дифференцирования сложной функции может быть записано и в других формах:

или .

С учетом полученного правила дифференцирования сложной функции для табличных функции можно записать:

,

и так далее.

Перейдем к рассмотрению производной обратной функции.

Пусть - дифференцируемая и строго монотонная функция на некотором промежутке . Если переменную рассматривать как аргумент, а переменную как функцию, то новая функция является обратной к данной и, как можно показать, непрерывной на соответствующем промежутке.

Теорема. Для дифференцируемой функции с производной, не равной нулю, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции, т.е.

.

По условию функция дифференцируема и .

Пусть - приращение независимой переменной , - соответствующее приращение обратной функции . Тогда справедливо равенство:

.

Переходя к пределу в этом равенстве при и учитывая, что в силу непрерывности обратной функции , получим:

, т.е. .

Данная формула имеет простой геометрический смысл. Если выражает тангенс угла наклона касательной к кривой к оси , то - тангенс угла наклона той же касательной к оси , причем:

, (если и - острые углы), или

, (если и - тупые углы).

Для таких углов:

или .

Этому равенству и равносильно условие:

.

Вывод: производная сложной функции:

, (Форм. 6)

наконец-то дает четкое и ясное определение производной, являющейся фундаментальной. Для обычных функций мы теряли производную аргумента равную единице.

7. Производные основных элементарных функций

Производные основных элементарных функций рассмотрены в главе Основные правила дифференцирования:

, , , , , , , , , , .

8. Понятие производных высших порядков

До сих пор мы рассматривали производную от функции , называемую производной первого порядка. Но производная может являться функцией, которая также может иметь производную. Производной -го порядка называется производная от производной -го порядка.

Обозначение производных: - второго порядка (или вторая производная), - третьего порядка (или третья производная).

Для обозначения производных более высокого порядка используются арабские цифры в скобках или римские, например, , и т.д.

Вторая производная имеет механический смысл: вторая производная пути по времени есть скорость изменения скорости или ускорение точки в момент .

9. Использование понятия производной в экономике

Установлено, что производительность труда есть производная объема произведенной продукции по времени. Рассмотрим еще одно понятие, иллюстрирующее экономический смысл производной.

Издержки производства будем рассматривать как функцию количества выпускаемой продукции . Пусть - прирост продукции, тогда - приращение издержек производства и - среднее приращение издержек производства на единицу продукции. Производная выражает предельные издержки производства и характеризует приближенно дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции.

Предельные издержки зависят от уровня производства (количества выпускаемой продукции) и определяются не постоянными производственными затратами, а лишь переменными (на сырье, топливо и т.п.). Аналогичным образом могут быть определены предельная выручка, предельный доход, предельный продукт, предельная полезность, предельная производительность и другие предельные величины.

Применение дифференциального исчисления к исследованию экономических объектов и процессов на основе анализа этих предельных величин получило название предельного анализа. Предельные величины характеризуют не состояние (как суммарная или средняя величины), а процесс, изменение экономического объекта. Таким образом, производная выступает как скорость изменения некоторого экономического объекта (процесса) по времени или относительного другого исследуемого фактора. Следует учесть, однако, что экономика не всегда позволяет использовать предельные величины в силу неделимости многих объектов экономических расчетов и прерывности (дискретности) экономических показателей во времени (например, годовых, квартальных, месячных и т.д.). Вместе с тем в ряде случаев можно отвлечься от дискретности показателей и эффективно использовать предельные величины.

Рассмотрим в качестве примера соотношения между средним и предельным доходом 1 в условиях монопольного и конкурентного рынков.

Суммарный доход (выручку) от реализации продукции можно определить как произведение цены единицы продукции на количество продукции , т.е.

.

В условиях монополии одна или несколько фирм полностью контролируют предложение определенной продукции, а следовательно, цены на них. При этом, как правило, с увеличением цены спрос на продукцию падает. Будем полагать, что это происходит по прямой, т.е. кривая спроса есть линейная убывающая функция

, где , .

Тогда суммарный доход от реализованной продукции составит:

.

В этом случае средний доход на единицу продукции:

,

а предельный доход, т.е. дополнительный доход от реализации единицы дополнительной продукции, составит:

.

Следовательно, в условиях монопольного рынка с ростом количества реализованной продукции предельный доход снижается, что приводит к уменьшению (с меньшей скоростью) среднего дохода.

В условиях совершенной конкуренции, когда число участников рынка велико, и каждая фирма не способна контролировать уровень цен, устойчивая продажа товаров возможна по преобладающей рыночной цене, например, . При этом суммарный доход составит:

и соответственно средний доход:

и предельный доход:

.

Таким образом, в условиях свободного конкурентного рынка в отличие от монопольного средний и предельный доходы совпадают.

Для исследования экономических процессов и решения других прикладных задач часто используется понятие эластичности функции.

Определение. Эластичностью функции называется предел отношения относительного приращения функции к относительному приращению переменной при :

.

Эластичность функции показывает приближенно, на сколько процентов изменится функция при изменении независимой переменной на 1 %.

Выясним геометрический смысл эластичности функции. По определению:

,

где - тангенс угла наклона касательной в точке . Учитывая, что из треугольника:

, ,

а из подобия треугольников и где:

, получим:

,

т.е. эластичность функции (по абсолютной величине) равна отношению расстояний по касательной от данной точки графика функции до точек ее пересечения с осями и . Если точки пересечения касательной к графику функции и находятся по одну сторону от точки , то эластичность положительна, если по разные стороны, то отрицательна.

Отметим свойства эластичности функции.

1. Эластичность функции равна произведению независимой переменной на темп изменения функции:

, т.е. .

2. Эластичность произведения (частного) двух функций равна сумме (разности) эластичностей этих функций:

,

3. Эластичности взаимообратных функций - взаимно обратные величины:

.

Эластичность функций применяется при анализе спроса и потребления. Например, эластичность спроса относительно цены (или дохода ) - коэффициент, определяемый по формуле:

и показывающий приближенно, на сколько процентов изменится спрос (объем потребления) при изменении цены (или дохода) на 1 %.

Если эластичность спроса (по абсолютной величине) , то спрос считают эластичным, если - неэластичным относительно цены (или дохода). Если , то говорят о спросе с единичной эластичностью.

Выясним, например, как влияет эластичность спроса относительно цены на суммарный доход при реализации продукции. Выше мы предполагали, что кривая спроса - линейная функция; теперь будем полагать, что - произвольная функция. Найдем предельный доход:

.

Учитывая, что в соответствии с формулой:

для эластичности взаимообратных функций эластичность спроса относительно цены обратна эластичности цены относительно спроса, т.е. , а также то, что , получим при произвольной кривой спроса:

.

Если спрос неэластичен, т.е. , то предельный доход отрицателен при любой цене; если спрос эластичен, т.е. , то предельный доход положителен. Таким образом, для неэластичного спроса изменения цены и предельного дохода происходят в одном направлении, а для эластичного спроса - в разных. Это означает, что с возрастанием цены для продукции эластичного спроса суммарный доход от реализации продукции увеличивается, а для товаров неэластичного спроса - уменьшается.

Пример: Зависимость между себестоимости единицы продукции (тыс. руб.) и выпускаемой продукции (млрд. руб.) выражается функцией . Найти эластичность себестоимости при выпуске продукции, равном 60 млн. руб.

Решение. эластичность себестоимости:

.

При получим , т.е. при выпуске продукции, равном 60 млн. руб., увеличение его на 1 % приведет к снижению себестоимости на 0,6 %.

10. Понятие дифференциала функции

Пусть функция определена на промежутке и дифференцируема в некоторой окрестности точки . Тогда существует конечная производная:

.

На основании теоремы о связи бесконечно малых величин с пределами функций можно записать:

,

где - бесконечно малая величина при , откуда:

Таким образом, приращение функции состоит из двух слагаемых:

1) линейного относительно ;

2) нелинейного (представляющего бесконечно малую более высокого порядка, чем поскольку:

.

Определение. Дифференциалом функции называется главная, линейная относительно часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной:

.

Попробуем найти и сравнить приращение и дифференциал функции , при .

Приращение функции ,	дифференциал

Различие между и составляет всего или .

Если найти дифференциал независимой переменной, то он будет равен приращению этой переменной . Поэтому формулу для дифференцирования функции можно записать в виде:

, откуда .

Теперь мы видим, что не просто символическое обозначение производной, а обычная дробь с числителем и знаменателем .

Геометрический смысл дифференциала. Возьмем на графике функции произвольную точку . Дадим аргументу приращение . Тогда функция получит приращение .

Проведем касательную к кривой в точке , которая образует угол с положительным направлением оси , т.е. . Из прямоугольного треугольника :

т.е. .

Таким образом, дифференциал функции есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции в данной точке, когда получает приращение .

Свойства дифференциала. Свойства дифференциала в основном аналогичны свойствам производной. Приведем их без доказательства:

.

.

.

.

.

Остановимся теперь на важном свойстве, которым обладает дифференциал функции, но не обладает ее производная. Рассматривая выше как функцию независимой переменной , мы получили, что . Рассмотрим функцию , где аргумент сам является функцией от , т.е. рассмотрим сложную функцию . Если и - дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции в соответствии с теоремой, приведенной ранее, равна .

Тогда дифференциал функции:

,

так как . Итак:

.

Последнее равенство означает, что формула дифференциала не изменяется, если вместо функции от независимой переменной рассматривать функцию от зависимой переменной . Это свойство дифференциала получило название инвариантности (т.е. неизменности) формы (или формулы) дифференциала.

Однако в содержании данных формул все же есть различие: в формуле:

дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной, т.е. , а в формуле дифференциал функции есть лишь линейная часть приращения этой функции и только при малых приходим к .

11. Применение дифференциала в приближенных вычислениях

Из изложенного выше следует, что:

,

т.е. приращение функции отличается от ее дифференциала на бесконечно малую величину более высокого порядка, чем . Поэтому при достаточно малых значениях получим или:

, откуда:

.

И чем меньше значение , тем точнее эта формула.

Это легло в основу приближенных вычислений (сейчас имея под рукой вычислительные средства, эта гениальная мысль практически изжила себя).

Например, как извлечь .

Решение: , то есть имеем , :



Окончательный ответ: .

Для сравнения ответ полученный на компьютере:

.

С помощью дифференциала может быть решена задача определения абсолютной и относительной погрешностей функции по заданной погрешности нахождения (измерения) аргумента.

Пусть необходимо вычислить значение данной функции при некотором значении аргумента , истинная величина которого неизвестна, а известно лишь его приближенное значение с абсолютной погрешностью . Если вместо истинного значения возьмем величину , то мы допустим ошибку, равную:

.

При этом относительная погрешность функции может быть вычислена (при достаточно малых ) по формуле:

, или ,

где - эластичность функции по абсолютной величине;

- относительная погрешность нахождения (измерения) аргумента .

Расход бензина (л) автомобиля на 100 км пути в зависимости от скорости (км/ч) описывается функцией . Оценить относительную погрешность вычисления расхода бензина при скорости км/ч, определенной с точностью до 5 %.

Решение. Найдем эластичность функции (по абсолютной величине):

.

и относительная погрешность .

Существенным недостатком применения дифференциала в приближенных вычислениях является невозможность вычисления значений функций с наперед заданной точностью. Этот недостаток был устранён лишь с использование рядов в приближенных вычислениях.

12. Понятие о дифференциалах высших порядков

Для дифференцируемой функции дифференциал функции есть функция от двух аргументов: и . Будем полагать, что дифференциал независимой переменной имеет произвольное, но фиксированное значение, не зависящее от . В этом случае есть некоторая функция , которая также может иметь дифференциал.

Определение: Дифференциалом второго порядка (вторым дифференциалом) функции называется дифференциал от дифференциала первого порядка этой функции:

или .

Дифференциалы более высших порядков (третьего, четвертого, …, - го определяются аналогично):

или .

Дифференциал второго (и вообще - го) порядка равен произведению производной второго ( - го) порядка на квадрат ( - ю степень) дифференциала независимой переменной.

.

В заключение отметим, что дифференциалы второго и более высоких порядков не обладают свойством инвариантности формы (или формулы) в отличие от дифференциала первого порядка.

Список использованной литературы

1. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов /Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман; Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: ЮНИТИ, 2003. - 471 с.

2. Роль информационных и инновационных технологий в повышении качества подготовки специалиста в образовательных услугах: Тез. докл. Науч. -практ. конф. - М: Издат-во ОГОУ ДПО АИПКП, 2007. - 244 с.

Размещено на Allbest.ru

...