Исследование математической модели колебательного движения груза по заданным силам
Понятие математических моделей, их классификация и свойства, применение числовых методов в создании. Метод Рунге-Кутта в решении систем дифференциальных уравнений. Система Mathcad. Аппроксимация и ее главные функции. Алгоритмический анализ задачи.
| Рубрика | Математика |
| Вид | курсовая работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 19.09.2013 |
| Размер файла | 1,0 M |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
РАСЧЕТНО-ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Исследование математической модели колебательного движения груза по заданным силам
Введение
математический аппроксимация mathcad числовой
В настоящее время одной из самых мощных и эффективных систем математического направления является система MathCAD. Она рассчитана на широкий круг пользователей. Благодаря системе MathCAD можно выполнять расчеты как в символьном аналитическом, так и в численном виде. Система имеет прекрасные средства графики и удобный математико-ориентированный интерфейс. Система позволяет создавать программы представляющие собой выражения, состоящие из програмных конструкций, подобных конструкциям языков программирования. Программные выражения позволяют успешно решать в системе те задачи, которые невозможно вычислить с помощью имеющихся встроенных функций. Систему MathCAD можно назвать самой современной, универсальной и массовой математической системой.
Вид документа в системе ничем не отличается от вида научной статьи. Благодаря системе MathCAD появилась возможность использовать богатый набор шрифтов, прекрасную графику и современный многоканальный интерфейс, эффективные средства цветного оформления документации, использование всех инструментов Windows, создание звукового сопровождения и анимационных (движущихся) графиков.
Важное значение имеют встроенные в систему электронные книги, содержащие справки (математические формулы), иллюстрации и примеры применения системы по ряду разделов математики, теоретической механики, физики, ТММ, электротехники.
MathCAD также является мощной математической системой САПР, которая позволяет готовить на высоком уровне любые относящиеся к науке и технике материалы: книги, научные отчеты, статьи, курсовые и дипломные работы, документы и многое другое.
Все в мире программирования основано на взаимодействии «Человек-ЭВМ» и осуществляется при помощи языков программирования. Однако в последнее время появились и стандартные средства, которые значительно облегчают работу разработчика. Одним из таких пакетов является система MathCAD. Этот программный продукт дает широкие возможности для разработки программ для решения инженерных задач. Расчетные модели, созданные в пакете, отличаются простотой и наглядностью.
Интегрированная система MathCAD предназначена для решения различного рода вычислительных задач, алгоритмы которых описываются в общепринятых математических терминах и обозначениях.
1. Математическое моделирование технических объектов
1.1 Понятие математических моделей, их классификация и свойства
Моделирование представляет собой процесс замещения объекта исследования некоторой его моделью и проведение исследований на модели с целью получения необходимой информации об объекте. Модель - это физический или абстрактный образ моделируемого объекта, удобный для проведения исследований и позволяющий адекватно отображать интересующие исследователя физические свойства и характеристики объекта. Удобство проведения исследований может определяться различными факторами: легкостью и доступностью получения информации, сокращением сроков и уменьшением материальных затрат на исследование и др.
Различают моделирование предметное и абстрактное. При предметном моделировании строят физическую модель, которая соответствующим образом отображает основные физические свойства и характеристики моделируемого объекта. При этом модель может иметь иную физическую природу в сравнении с моделируемым объектом (например, электронная модель гидравлической или механической системы). Если модель и объект одной и той же физической природы, то моделирование называют физическим.
Физическое моделирование широко применялось до недавнего времени при создании сложных технических объектов. Обычно изготавливался макетный или опытный образец технического объекта, проводились испытания, в процессе которых определялись его выходные параметры и характеристики, оценивались надежность функционирования и степень выполнения технических требований, предъявляемых к объекту. Если вариант технической разработки оказывался неудачным, все повторялось сначала, т.е. осуществлялось повторное проектирование, изготовление опытного образца, испытания и т.д.
Физическое моделирование сложных технических систем сопряжено с большими временными и материальными затратами.
Абстрактное моделирование связано с построением абстрактной модели. Такая модель представляет собой математические соотношения, графы, схемы, диаграммы и т.п. Наиболее мощным и универсальным методом абстрактного моделирования является математическое моделирование. Оно широко используется как в научных исследованиях, так и при проектировании.
Математическое моделирование позволяет посредством математических символов и зависимостей составить описание функционирования технического объекта в окружающей внешней среде, определить выходные параметры и характеристики, получить оценку показателей эффективности и качества, осуществить поиск оптимальной структуры и параметров объекта. Применение математического моделирования при проектировании в большинстве случаев позволяет отказаться от физического моделирования, значительно сократить объемы испытаний и доводочных работ, обеспечить создание технических объектов с высокими показателями эффективности и качества. Одним из основных компонентов системы проектирования в этом случае становится математическая модель.
Математическая модель - это совокупность математических объектов и отношений между ними, адекватно отображающая физические свойства создаваемого технического объекта. В качестве математических объектов выступают числа, переменные, множества, векторы, матрицы и т.п. Процесс формирования математической модели и использования ее для анализа и синтеза называется математическим моделированием. В конструкторской практике под математическим моделированием обычно понимается процесс построения математической модели, а проведение исследований на модели в процессе проектирования называют вычислительным экспериментом. Такое деление удобно для проектировщиков и функционально вполне обосновано, поэтому в дальнейшем будем придерживаться этой терминологии.
Для осуществления вычислительного эксперимента на ЭВМ необходимо разработать алгоритм реализации математической модели.
Алгоритм - это предписание, определяющее последовательность выполнения операций вычислительного процесса. Алгоритм автоматизированного проектирования представляет собой совокупность предписаний, обеспечивающих выполнение операций и процедур проектирования, необходимых для получения проектного решения. Для наглядности алгоритмы чаще всего представляют в виде схем или графов, иногда дают их вербальное (словесное) описание. Алгоритм, записанный в форме, воспринимаемой вычислительной машиной, представляет собой программную модель. Процесс программирования называют программным моделированием.
Классификация математических моделей
Математические модели можно классифицировать по различным признакам. Если исходить из соотношений, которые выражают зависимости между состояниями и параметрами, то различают следующие модели:
детерминированные, когда при совместном рассмотрении этих соотношений состояние системы в заданный момент времени однозначно определяется через ее параметры, входную информацию и начальные условия;
стохастические, когда с помощью упомянутых соотношений можно определить распределения вероятностей для состояний системы, если заданы распределения вероятностей для начальных условий, ее параметров и входной информации.
По характеру изменения внутренних процессов выделяют непрерывные модели, в которых состояние изменяется в каждый момент времени моделирования;
дискретные модели, когда переходит из одного состояния в другое в фиксированные моменты времени, а на (непустых) интервалах между ними состояние не изменяется.
Если при классификации исходить из способа представления внутренних процессов для изучения, то модели разделяются на аналитические и имитационные.
Для аналитических моделей характерно, что процессы функционирования элементов записываются в виде некоторых математических схем (алгебраических, дифференциальных, конечно-разностных, предикатных и т.д.). Аналитическая модель может исследоваться одним из следующих способов: аналитическим, когда стремятся получить в общем, виде явные зависимости для искомых величин; численным, когда, не имея общего решения, удается найти частное решения или некоторые свойства общего решения, например, оценить устойчивость, периодичность, и т.п.
В имитационных моделях моделирующий алгоритм приближенно воспроизводит функционирование элементов во времени, причем элементарные явления, составляющие динамический процесс, имитируются с сохранением логической структуры и последовательности протекания во времени. Сущность этого метода моделирования обеспечивается реализацией на ЭВМ следующих видов алгоритмов: отображения динамики функционирования элементов, обеспечения взаимодействия элементов и объединения их в единый процесс; генерация случайных факторов с требующимися вероятностными характеристиками; статистической обработки и графической презентации результатов реализации имитационного эксперимента. Моделирующий алгоритм позволяет по исходным данным, содержащим сведения о начальном состоянии процесса и его параметрах, получать информацию о состоянии в произвольный момент времени.
Графическая (схемная) модель представляется в виде графов, эквивалентных схем, динамических моделей, диа грамм и т.п. Для использования графических моделей должно существовать правило однозначного соответствия условных изображений элементов графической и компонентов инвариантной математических моделей.
Рис. 1. Классификация видов моделирования систем
Математические модели и их свойства
На каждом уровне иерархии различают математические модели элементов и систем. Математические модели классифицируются:
- по форме представления: инвариантные (представляют собой систему уравнений вне связи с методом решения), алгоритмические (модели связаны с выбранным численным методом решения и его реализацией в виде алгоритма), аналитические (отображаются явными зависимостями переменных), графические (схемные);
- по характеру отображаемых свойств: функциональные (описывают процессы функционирования объектов), структурные (отображают только структуру и используются при решении задач структурного синтеза);
- по степени абстрагирования: модели микроуровня с распределенными параметрами, модели макроуровня с сосредоточенными параметрами, модели метауровня;
- по способу получения: теоретические, экспериментальные;
- по учету физических свойств: динамические, статические, непрерывные, дискретные, линейные, нелинейные;
- по способности прогнозировать результаты: детерминированные, вероятностные.
Модель считается адекватной, если отражает исследуемые свойства с приемлемой точностью, которая оценивается степенью совпадения предсказанного в процессе эксперимента на модели значений выходных параметров с истинными значениями.
При проектировании технических объектов используют множество видов математических моделей, в зависимости от уровня иерархии, степени декомпозиции системы, аспекта, стадии и этапа проектирования.
На любом уровне иерархии объект проектирования представляют в виде некоторой системы, состоящей из элементов. В этой связи различают математические модели элементов и систем.
В общем случае уравнения математической модели связывают физические величины, которые характеризуют состояние объекта и не относятся к перечисленным выше выходным, внутренним и внешним параметрам. Такими величинами являются: скорости и силы - в механических системах; расходы и давления - в гидравлических и пневматических системах; температуры и тепловые потоки - в тепловых системах; токи и напряжения - в электрических системах.
Величины, характеризующие состояние технического объекта в процессе его функционирования, называют фазовыми переменными (фазовыми координатами). Вектор фазовых переменных задает точку в пространстве, называемом фазовым пространством. Фазовое пространство, в отличие от геометрического, многомерное. Его размерность определяется количеством используемых фазовых координат.
Обычно в уравнениях математической модели фигурируют не все фазовые переменные, а только часть из них, достаточная для однозначной идентификации состояния объекта. Такие фазовые переменные называют базисными координатами. Через базисные координаты могут быть вычислены значения и всех остальных фазовых переменных.
К математическим моделям предъявляются требования адекватности, экономичности, универсальности. Эти требования противоречивы, поэтому обычно для проектирования каждого объекта используют свою оригинальную модель.
Математические модели технических объектов, используемые при проектировании, предназначены для анализа процессов функционирования объектов и оценки их выходных параметров. Они должны отображать физические свойства объектов, существенные для решения конкретных задач проектирования. При этом математическая модель должна быть как можно проще, но в то же время обеспечивать адекватное описание анализируемого процесса.
Аналитическая модель представляет собой явные зависимости иcкомых переменных от заданных величин (обычно зависимости выходных параметров объекта от внутренних и внешних параметров). Такие модели получают на основе физических законов, либо в результате прямого интегрирования исходных дифференциальных уравнений, используя табличные интегралы. К ним относятся также регрессионные модели, получаемые на основе результатов эксперимента.
Графическая (схемная) модель представляется в виде графов, эквивалентных схем, динамических моделей, диаграмм и т.п. Для использования графических моделей должно существовать правило однозначного соответствия условных изображений элементов графической и компонентов инвариантной математических моделей.
Структурные модели отображают только структуру объектов и используются при решении задач структурного синтеза. Параметрами структурных моделей являются признаки функциональных или конструктивных элементов, из которых состоит технический объект и по которым один вариант структуры объекта отличается от другого. Эти параметры называют морфологическими переменными. Структурные модели имеют форму таблиц, матриц и графов. Наиболее перспективно применение древовидных графов типа И-ИЛИ-дерева. Они позволяют аккумулировать накопленный опыт, используя описания всех существующих аналогов, известных из патентной литературы, и гипотетических объектов. Такие модели наиболее широко используют на метауровне при выборе технического решения.
Функциональные модели описывают процессы функционирования технических объектов и имеют форму систем уравнений.
Теоретические модели получают на основе описания физических процессов функционирования объекта, а экспериментальные - на основе изучения поведения объекта во внешней среде, рассматривая его как кибернетический «черный ящик». Эксперименты при этом могут быть физические (на техническом объекте или его физической модели) или вычислительные (на теоретической математической модели).
При построении теоретических моделей используют физический и формальный подходы.
Физический подход сводится к непосредственному применению физических законов для описания объектов, например, законов Ньютона, Гука, Кирхгофа, Фурье и др.
Формальный подход использует общие математические принципы и применяется при построении как теоретических, так и экспериментальных моделей.
Линейные модели содержат только линейные функции фазовых переменных и их производных. Характеристики многих элементов реальных технических объектов нелинейные. Математические модели таких объектов включают нелинейные функции фазовых переменных и (или) их производных и относятся к нелинейным.
1.2 Применение числовых методов в математическом моделировании. Применение метода Рунге-Кутта к решению систем дифференциальных уравнений
С помощью математического моделирования решение научно - технической задачи сводится к решению математической задачи, являющейся ее моделью. Для решения математических задач используются следующие основные группы методов: графические, аналитические и численные.
Графические методы в ряде случаев позволяют оценить порядок искомой величины. Основная идея этих методов состоит в том, что решение находится путём геометрических построений. Например: для нахождения корней уравнения f(x)=0 строится график функции y=f(x), точки пересечения которого с осью абсцисс и будут искомыми корнями.
При использовании аналитических методов решение задачи удаётся выразить с помощью формул. В частности, если математическая задача состоит в решении простейших алгебраических уравнений, дифференциальных уравнений и т.д., то использование известных из курса математики приёмов сразу приводит к цели. К сожалению, на практике это слишком редкие случаи.
Главным инструментом для решения сложных математических задач являются численные методы, позволяющие свести решение задачи к выполнению конечного числа арифметических действий над числами; при этом результаты получаются в виде числовых значений. Многие численные методы разработаны давно, однако при вычислении вручную они могли использоваться лишь для решения не слишком трудоёмких задач.
Дифференциальные уравнения, которые можно интегрировать известными методами, встречаются редко. Поэтому особое значение приобретают приближенные методы решения дифференциальных уравнений. Эти методы бывают аналитическими, когда решения получают в виде аналитического выражения, и числовыми, если решения получают в виде таблицы численные методы.
Пусть требуется найти численное решение дифференциального уравнения:
(1)
удовлетворяющее начальному условию y(x0)=y0.
Численное решение задачи состоит в построении таблицы приближенных значений y1, y2, … yn решения уравнения y(x) в точках x1, x2, … xn. Точки x1, x2, … xn - узлы сетки. Используем систему равноотстоящих узлов. Величина h=xn+1-xn - шаг сетки (h>0).
Рассмотрим решение дифференциальных уравнений одним из известных методов, а именно методом Рунге-Кутта.
Методом Рунге-Кутта в литературе обычно называют одношаговый метод четвертого порядка, относящийся к широкому классу методов типа Рунге-Кутта. Предположим, что в точке x известно y(x).
Обозначим
где y (x+h) надо вычислить. Представим разность в виде сумм «поправок» kj с коэффициентом Pj:
где
(2)
Коэффициенты Pj, получаются при сравнении разложения y и Ki по степеням h.
В случае
K1=hf (x, y);
K2=hf (x+h/2, y+K1/2); (3)
K3=hf (x+h/2, y+K2/2);
K4=hf (x+h, y+K3);
(4)
При x=x0 c помощью формул (2) - (4) находим
Аналогично получаем следующие приближения:
(i=1,2…) (5)
где yi=1/6 (K1(i)+2K2(i)+2K3(i)+K4(i)) (6)
K1(i)=hf(xi, yi);
K2(i)=hf(xi+h/2, yi+K1(i)/2); (7)
K3(i)=hf(xi+h/2, yi+K2(i)/2);
K4(i)=hf(xi+h, yi+K3(i));
Для уравнения f (x, y) верна следующая оценка погрешности метода Рунге-Кутта:
|y1-y(x1)|< (8)
где M и N-постоянные, такие, что в области |x-x0|<a, |y-y0|<b выполняются неравенства.
|f (x, y)|<MN/Mk-1(i+K<=3) (9)
|x-x0|N<1, aM<=b, h<=a
Аналогично метод Рунге-Кутта можно использовать при решении систем дифференциальных уравнений первого порядка.
Пусть дана система двух уравнений:
y|=f (x, y, z);
z|=q (x, y, z); (10)
с начальными условиями:
y(x0)=y0, z(x0)=z0
Определяем параллельно числа по формулам:
=1/6 (K1+2K2+2K3+K4) (11)
=1/6 (l1+2l2+2l3+l4)
где
K1=hf(xn, yn, zn);
K2=hf(xn+h/2, yn+K1/2, zn+l1/2);
K3=hf(xn+h/2, yn+K2/2, zn+l2/2); (12)
K4=hf(xn+h, yn+K3, zn+l3);
l1=hq(xn, yn, zn);
l2=hq(xn+h/2, yn+K1/2, zn+l1/2);
l3=hq(xn+h/2, yn+K2/2, zn+l2/2); (13)
l4=hq(xn+h, yn+K3, zn+l3);
находят
yn+1=yn+, zn+1=zn+ (14)
Метод Рунге-Кутта применяется также при решении обыкновенных дифференциальных уравнений и систем высших порядков.
1.3 Система Mathcad. Аппроксимация. Функции аппроксимации. Решение дифференциальных уравнений
Система Mathcad
MathCAD является интегрированной системой программирования, ориентированной на проведение математических и инженерно-технических расчетов.
Система MathCAD содержит текстовый редактор, вычислитель и графический процессор.
Текстовый редактор - служит для ввода и редактирования текстов. Тексты являются комментарии и входящие в них математические выражения не выполняются. Текст может состоять из слов, математических выражений и формул, спецзнаков. Отличительная черта системы - использование общепринятой в математике символики (деление, умножение, квадратный корень).
Вычислитель - обеспечивает вычисление по сложным математических формулам, имеет большой набор встроенных математических функций, позволяет вычислять ряды, суммы, произведения, определенный интеграл, производные, работать с комплексными числами, решать линейные и нелинейные уравнения, проводить минимизацию функции, выполнять векторные и матричные операции и т.д. Легко можно менять разрядность чисел и погрешность интеграционных методов.
Графический процессор - служит для создания графиков. Он сочетает простоту общения с пользователем с большими возможностями графических средств. Графика ориентирована на решение типичных математических задач. Возможно быстрое изменение размеров графиков, наложение их на текстовые надписи и перемещение их в любое место документа. MathCAD автоматически поддерживает работу с математическим процессором. Последний заметно повышает скорость расчетов и вывода графиков, что существенно в связи с тем, что MathCAD всегда работает в графическом режиме. Это связано с тем, что только в этом режиме можно формировать на экране специальные математические символы и одновременно применять их вместе с графиками и текстом. MathCAD поддерживает работу со многими типами принтеров, а так же с плоттерами.
MathCAD - система универсальная, т.е. она может использоваться в любой области науки и техники, везде, где применяются математические методы. Запись команд в системе MathCAD на языке, очень близком к стандартному языку математических расчетов, упрощает постановку и решение задач.
Сегодня различные версии MathCAD являются математически ориентированными универсальными системами. Помимо собственно вычислений, как численных, так и аналитических, они позволяют с блеском решать сложные оформительские задачи, которые с трудом даются популярным текстовым редакторам или электронным таблицам.
С помощью MathCAD можно, например, готовить статьи, книги, диссертации, научные отчеты, дипломные и курсовые проекты не только с качественными текстами, но и с легко осуществляемым набором самых сложных математических формул, изысканным графическим представлением результатов вычислений и многочисленными «живыми» примерами. А применение библиотек и пакетов расширения обеспечивает профессиональную ориентацию MathCAD на любую область науки, техники и образования. [3]
Аппроксимация
Аппроксимацией называется нахождение такой функции f(x), которая была бы близка к заданной в соответствии с выбранным критерием. Задачей аппроксимации является нахождение функции f(x), проходящей через заданные узлы в соответствии с заданным критерием.
Аппроксимация заключается в том, что используя имеющуюся информацию по f(x) можно рассмотреть другую функцию ц(ч) близкую в некотором смысле к f(x), позволяющую выполнить над ней соответствующие операции и получить оценку погрешность такой замены.
Интерполяция (частный случай аппроксимации)
Если для табличной функции y=f(x), имеющей значение x0 f(x0) требуется построить аппроксимирующюю функцию (x) совпадающую в узлах с xi c заданной, то такой способ называется интерполяцией
При интерполяции, заданная функция f(x) очень часто аппроксимируется с помощью многочлена, имеющего общий вид
(x)=pn(x)=anxn+an-1xn-1+ … +a0
В данном многочлене необходимо найти коэффициенты an,an-1, …a0, так как задачей является интерполирование, то определение коэффициентов необходимо выполнить из условия равенства:
Pn(xi)=yi i=0,1,… n
Для определения коэффициентов применяют интерполяционные многочлены специального вида, к ним относится и полином Лагранжа Ln(x).
ij
В точках отличных от узлов интерполяции полином Лагранжа в общем случае не совпадает с заданной функцией.
Функции аппроксимации
Для осуществления сплайновой аппроксимации MathCAD предлагает четыре встроенные функции. Три из них служат для получения векторов вторых производных сплайн-функций при различном виде интерполяции:
Cspine (VX, VY) - возвращает вектор VS вторых производных при приближении в опорных точках к кубическому полиному;
pspline (VX, VY) - возвращает вектор \/S вторых производных при приближении к опорным точкам к параболической кривой;
Ispline (VX, VY) - возвращает вектор VS вторых производных при приближении к опорным точкам прямой.
Linterp (vs, vx, vy, х) - возвращает значение у(х) для заданных векторов VS, VХ, VУ и заданного значения х.
Таким образом, сплайн-аппроксимация проводится в два этапа. На первом с помощью одной из функций cspline, pspline или ispline отыскивается вектор вторых производных функции у(х), заданной векторами VХ и VУ ее значений (абсцисс и ординат). Затем на втором этапе для каждой искомой точки вычисляется значение у(х) с помощью функции interp. [5]
Решение дифференциальных уравнений
Для решения дифференциальных уравнений в MathCAD введен ряд функций. Остановимся на функциях, дающих решения для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, представленных в обычной форме Коши:
rkadapt (y, x1, x2, acc, n, F, k, s) - возвращает матрицу, содержащую таблицу значений решения задачи Коши на интервале от х1 до х2 для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, вычисленную методом Рунге-Кутта с переменным шагом и начальными условиями в векторе у (правые части системы записаны в векторе F, n - число шагов, k - максимальное число промежуточных точек решения, и s - минимально допустимый интервал между точками);
Rkadapt (y, x1, x2, n, F) - возвращает матрицу решений методом Рунге-Кутта с переменным шагом для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с начальным условием в векторе у, правые части которых записаны в символьном векторе F на интервале от х1 до х2 при фиксированном числе шагов n;
rkfixed (y, x1, x2, n, F) - возвращает матрицу решений методом Рунге-Кутта системы обыкновенных дифференциальных уравнений с начальным условием в векторе у, правые части которых записаны в символьном векторе F на интервале от х1 до х2 при фиксированном числе шагов n.
В данной курсовой работе для решения дифференциального уравнения применена функция rkfixed (см. приложение) которая использует для поиска решения метод Рунге-Кутта четвертого порядка. В результате решения дифференциального уравнения первого порядка получается матрица, имеющая два столбца:
- первый столбец содержит значение точек, в которых ищется решение дифференциального уравнения;
- второй столбец содержит значения найденного решения в соответствующих точках.
Функция rkfixed (y, x1, x2, npoints, D) имеет следующие аргументы:
у - вектор начальных условий размерности n, где n - порядок дифференциального уравнения или число уравнений в системе дифференциальных уравнений, для уравнения первого порядка вектор начальных условий вырождается в одну точку;
х1, х2 - граничные точки интервала, на котором ищется решение дифференциальных уравнений;
npoints - число точек (не считая начальной точки), в которых ищется приближенное решение;
D (x, y) - функция, возвращающая значение в виде вектора из п элементов, содержащих первые производные неизвестных функций.
Решение дифференциального уравнения второго порядка
Основные отличия решения уравнений второго порядка в MathCAD от решения уравнения первого порядка состоят в следующем:
- вектор начальных условий состоит из двух элементов: значений функции и ее первой производной в начальной точке интервала;
- функция D (x, y) является вектором с двумя элементами:
- матрица, полученная в результате решения, содержит три столбца: первый столбец содержит значения х, второй - у(х), третий - у' (х).
Решение дифференциального уравнения n-го порядка
Методика решения дифференциальных уравнений более высокого порядка является развитием методики, примененной для решения уравнения второго порядка. Основные различия состоят в следующем:
- вектор начальных условий состоит из п элементов: значений функции и ее производных:
- функция D является вектором, содержащим п элементов:
- матрица, полученная в результате решения, содержит п столбцов: первый столбец содержит значения х, оставшиеся столбцы содержат значения .
2. Алгоритмический анализ задачи
2.1 Полная постановка задачи
В данном курсовом проекте была поставлена задача, в результате решения которой можно видеть при какой предельной частоте колебаний возмущающей силы f груз отклонится от положения равновесия не больше чем на расстояние 0,1
В задаче: два груза М1 и М2 массами m1 и m2 лежат на плоскости наклоненной с углом наклона a, опираясь на пружинку с коэффициентом жесткости C (рисунок 2.1)
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Рисунок 2.1
В начальный момент времени груз М2 убирают, одновременно с этим конец пружины В начинает совершать гармонические колебания под воздействием возмущающей силы S(t) заданной в виде кусочно-непрерывной функции (рисунок 2.2), параметры которой приведены в таблице 2.1
Рисунок 2.2
Таблица 2.1
|
t 1, c |
t 2, c |
t 3, c |
f, Гц |
S0 (t), H |
S1 (t), H |
S2 (t), H |
S3 (t), H |
|
|
5 |
6 |
8 |
0.4 |
0.03sin(2wt)*sin(3wt) |
0.02sin(8wt) |
0.03sin (3wt) |
0 |
где t1, t2, t3 - моменты времени изменения силы S(t). (t0=0)
Сопротивление движению груза М1 пропорционально скорости тела R(V)=-b[V], где b-коэффициент трения пропорциональный скорости движения груза, задан графически рисунок 2.3
Рисунок 2.3
Таблица 2.2 исходные данные к заданию
|
м1, кг |
м2, кг |
С, Н/м |
а, град |
х1, м |
|
|
6 |
10 |
800 |
45 |
0,1 |
1. Составить математическую модель колебательного движения М1 под воздействием возмущающей силы S(t);
2.В пакете MathCAD по полученной математической модели определить значения функций движения, скорости и ускорения груза;
3. Построить графики функций движения, скорости и ускорения тела;
4. Выполнить исследование влияния частоты колебаний f, возмущающей силы S(t) на движение груза и определить при какой предельной частоте груз отклонится от положения равновесия не больше чем на x1;
5. Для найденной частоты колебаний построить графики функций движения, скорости и ускорения груза.
2.2 Описание математической модели
Два груза M1 и M2 массами m1 и m2 лежат на гладкой плоскости наклоненной под углом б к горизонту опираясь на пружину, коэффициент жесткости которой C. В начальный момент времени груз M2 убирают, одновременно конец пружины В начинает движение вдоль наклонной плоскости по закону S. Найти уравнение движения груза M1.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Дифференциальное уравнение движения груза M1 имеет вид:
Рассматриваемое движение начинается в момент, когда деформация пружины является статической деформацией под действием грузов M1 и M2. При местоположении начала отсчета 0 начальная координата груза M1 равна
Общий вид уравнения движения груза М1 имеет вид:
3. Описание реализации зада чи в Mathcad
3.1Описание реализации базовой модели
Требуется составить математическую модель колебательного движения груза по заданны силам, а также по полученным данным определить значение функции перемещения, скорости, ускорения и траектории тела. Задав исходные данные, определяем возмущающую силу S(t), решая систему. Затем строим график S(t). Далее решаем систему b(x) и получаем график аппроксимации функции b(x). Решив систему дифференциальных уравнений D(t) и определив значение функций перемещения, скорости и ускорения тела, построим соответствующие графики. Зависимость S(t) задаем при помощи функции Addline. Аппроксимирующую функцию задаем с помощью interp (S, X, Y, x), где S - вектор вторых производных сплайна в опорных точках; x - рассчитываемая точка. Дифференциальные уравнения решаем с помощью функции rkfixed (y, x1, x2, p, D), где y - вектор начальных условий; x1 и x2 - границы интервала, на котором ищется решение дифференциального уравнения; p - число точек внутри интервала (x1, x2); D - вектор, состоящий из k элементов, который содержит первые производные искомой функции.
3.2 Описание исследований
Задача состоит в том, чтобы исследовать влияние частоты колебаний f на максимальное перемещение груза и определить при каком значении f перемещение груза равно заданному. Решая дифференциальное уравнение, предварительно задав возмущающую силу и начальные условия, заметим, что при f =0.525 Гц перемещение груза равно заданному значению x1. Для данного значения частоты колебаний построили графики движения, скорости и ускорения.
В первом опыте значению f присвоили значение 0,1 Гц, получили x = 0,07, так как это значение меньше заданного, продолжили опыты. Во втором f = 0,2 получили x = =0,074; в третьем f = 0,3 получили x = 0,084; в четвертом f = 0,4 получили x = 0,092; в пятом f = 0,05 получили x = 0,097; в шестом f = 0,6 получили x = 0,189; в седьмом f = =, 051 получили x = 0,099; в восьмом f = 0,52 получили x = 0,099; в девятом f = 0,53 получили x = 0,101; в десятом f=0,525 получили х=0,1, так как это значение удовлетворяет условие задачи останавливаем исследования.
3.3 Вывод по результатам исследований
В курсовой работе исследовали математическую модель колебательного движения груза под воздействием возмущающей силы. В результате проведенных десяти опытов, цель которых заключалась в определении частоты колебания движения груза, получили значения колебания f = 0,525 Гц, также для этого значения f были построены графики зависимости движения груза, скорости и ускорения.
Заключение
Данным курсовым проектом я оканчиваю курс вычислительной техники и программирования. В ходе данной курсовой работы я закрепила свои знания в области вычислительной техники, математики и теоретической механики. Это связано с тем, что для создания программы необходимо было исследовать механизм с колебательным движением груза и произвести расчеты в среде MathCAD.
Построенная модель может быть использована для исследования процессов в механизме. Работа в среде MathCAD даёт значительное повышение точности в расчётах, облегчает процесс программирования при вычислении функций, даёт возможность создания опрятных, красочных, понятных любому пользователю документов.
Список используемой литературы
математический аппроксимация mathcad числовой
1. Корн Г., Корн T. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). - M.: Наука, 1978.
2. Токочаков В.И. Практическое пособие по теме «Решение систем алгебраических и дифференциальных уравнений в среде Mathcad для студентов всех специальностей дневного и заочного отделений. - Гомель: ГГТУ, 2000.
3. Mathcad 6.0 PLUS. Финансовые, инженерные и научные расчеты в среде Windows 95. - M.: Информационно-издательский дом «Филинъ», 1996.
4. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. - М., 1970 г.
5. Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в примерах и задачах, т. II (Динамика). - М., 1972 г.
6. Яблонский А.А. Курс теоретической механики, ч.II. - М., 1966 г.
7. Яблонский А.А. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике. - М., 1972 г.,
8. Краскевич В.Е., Зеленский К.Х. Численные методы в инженерных исследованиях. - Киев: 1986.
9. Останина А.М. Применение математических методов и ВМ. Мн.:1985.
10. Тарасик В.П. Математическое моделирование технических систем. - Мн.:1997.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Применение системы MathCAD при решении прикладных задач технического характера. Основные средства математического моделирования. Решение дифференциальных уравнений. Использование системы MathCad для реализации математических моделей электрических схем.
курсовая работа [489,1 K], добавлен 17.11.2016Численное решение уравнения методом Эйлера и Рунге-Кутта в Excel. Программа на языке Turbo Pascal. Блок-схема алгоритма. Метод Рунге-Кутта для дифференциального уравнения второго порядка. Модель типа "хищник-жертва" с учетом внутривидового взаимодействия.
курсовая работа [391,5 K], добавлен 01.03.2012Основные методы Рунге-Кутта: построение класса расчетных формул. Расчетная формула метода Эйлера. Получение различных методов Рунге-Кутта с погрешностью второго порядка малости при произвольном задавании параметров. Особенности повышения порядка точности.
реферат [78,4 K], добавлен 18.04.2015Изучение методов Рунге-Кутты четвертого порядка с автоматическим выбором длины шага интегрирования для решения дифференциальных уравнений. Оценка погрешности и сходимость методов, оптимальный выбор шага. Листинг программы для ЭВМ, результаты, иллюстрации.
курсовая работа [2,9 M], добавлен 14.09.2010Особенности математических моделей и моделирования технического объекта. Применение численных математических методов в моделировании. Методика их применения в системе MathCAD. Описание решения задачи в Mathcad и Scilab, реализация базовой модели.
курсовая работа [378,5 K], добавлен 13.01.2016Практическое решение дифференциальных уравнений в системе MathCAD методами Рунге—Кутты четвертого порядка для решения уравнения первого порядка, Булирша — Штера - системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка и Odesolve и их графики.
лабораторная работа [380,9 K], добавлен 23.07.2012Определение и анализ многошаговых методов, основы их построения, устойчивость и сходимость. Постановка задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Адамса, значение квадратурных коэффициентов. Применение методов прогноза и коррекции.
контрольная работа [320,8 K], добавлен 13.03.2013Аналитическое и компьютерное исследования уравнения и модели Ван-дер-Поля. Сущность и особенности применения методов Эйлера и Рунге-Кутта 4 порядка. Сравнение точности метода Эйлера и Рунге-Кутта на одном графике, рисуя фазовые траектории из 1 точки.
курсовая работа [341,7 K], добавлен 06.10.2012Формирование системы их пяти уравнений по заданным параметрам, ее решение методом Гаусса с выбором главного элемента. Интерполяционный многочлен Ньютона. Численное интегрирование. Решение нелинейных уравнений. Метод Рунге-Кутта четвертого порядка.
контрольная работа [115,5 K], добавлен 27.05.2013Общая характеристика и особенности двух методов решения обычных дифференциальных уравнений – Эйлера первого порядка точности и Рунге-Кутта четвёртого порядка точности. Листинг программы для решения обычного дифференциального уравнения в Visual Basic.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 04.06.2010Теоретическое обоснование расчетных формул. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Метод Рунге-Кутта. Ломаная Эйлера. Построение схем различного порядка точности. Выбор шага. Апостериорная оценка погрешности. Правило Рунге.
курсовая работа [111,1 K], добавлен 13.11.2011Решение дифференциальных уравнений. Численный метод для заданной последовательности аргументов. Метод Эйлера относиться к численным методам, дающим решение в виде таблицы приближенных значений искомой функции. Применение шаговых методов решения Коши.
дипломная работа [1,2 M], добавлен 16.12.2008Моделирование как метод познания. Классификаций и характеристика моделей: вещественные, энергетические и информационные. Математическая модель "хищники-жертвы", ее сущность. Порядок проверки и корректировки модели. Решение уравнений методом Рунге-Кутта.
методичка [283,3 K], добавлен 30.04.2014Анализ методов решения систем дифференциальных уравнений, которыми можно описать поведение материальных точек в силовом поле, законы химической кинетики, уравнения электрических цепей. Этапы решения задачи Коши для системы дифференциальных уравнений.
курсовая работа [791,0 K], добавлен 12.06.2010Изучение понятия и методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Искомые функции непрерывного аргумента и замена их функциями дискретного аргумента. Разностное уравнение относительно сеточной функции - аппроксимация на сетке. Метод Эйлера.
презентация [107,6 K], добавлен 18.04.2013Дифференциальные уравнения как математический инструмент моделирования и анализа разнообразных явлений и процессов в науке и технике. Описание математических методов решения систем дифференциальных уравнений. Методы расчета токов на участках цепи.
курсовая работа [337,3 K], добавлен 19.09.2011Численное решение дифференциальных уравнений с помощью многошагового метода прогноза и коррекции Милна. Суммарная ошибка метода Милна. Применение метода Рунге-Кутта для нахождения первых значений начального отрезка. Абсолютная погрешность значения.
контрольная работа [694,0 K], добавлен 27.02.2013Виды дифференциальных уравнений: обыкновенные, с частными производными, стохастические. Классификация линейных уравнений второго порядка. Нахождение функции Грина, ее применение для решения неоднородных дифференциальных уравнений с граничными условиями.
курсовая работа [4,8 M], добавлен 29.04.2013Особенности метода аппроксимации табулированных функций. Рассмотрение преимуществ работы в среде математической программы Mathcad. Метод наименьших квадратов как наиболее распространенный метод аппроксимации экспериментальных данных, сферы применения.
курсовая работа [1,2 M], добавлен 30.09.2012Получение точного решения дифференциального уравнения вручную, операторным методом, приближенное решение с помощью рядов (до 5 элемента ряда) на заданном интервале, графическое решение. Относительная и абсолютная погрешность методов Эйлера и Рунге-Кутты.
курсовая работа [990,8 K], добавлен 17.07.2014
