Математический анализ функций
Вычисление предела функции. Составление уравнения касательных, перпендикулярных прямой, проходящей через заданные точки, к графику функции. Нахождение неопределенного и определенного интегралов. Расчет площади криволинейной трапеции, ограниченной линиями.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 21.09.2013 |
| Размер файла | 861,1 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
3
Содержание
1. Найти предел
2. Составить уравнения касательных к графику функции
3. Исследовать функцию и построить ее график
4. Найти неопределенный интеграл
5. Вычислить определенный интеграл
6. Вычислить площадь фигуры
Список использованной литературы
1. Найти предел
Решение:
Ответ:
2. Составить уравнения касательных к графику функции
Составить уравнения касательных к графику функции , перпендикулярных прямой, проходящей через точки и .
Сделать чертеж.
Решение:
Составим уравнение прямой, проходящей через точки и .
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, имеет вид
Уравнение прямой, проходящей через точки и , имеет вид
Угловой коэффициент полученной прямой равен
Так как касательные перпендикулярны полученной прямой, то их угловые коэффициенты удовлетворяют соотношению
Из геометрического смысла производной имеем:
Получили абсциссы точек касания:
Найдем ординаты точек касания:
Получили координаты точек касания
Составим уравнения касательных:
где -точка касания.
В точке :
В точке :
Получили уравнения касательных:
Сделаем чертеж. (Рисунок 2.1)
Рисунок 2.1 - Графики функции и касательных
Ответ: , .
3. Исследовать функцию и построить ее график
Исследовать функцию и построить ее график.
Решение:
1) Областью существования функции служит вся числовая ось, т.е. интервал .
2) Так как областью существования является вся числовая прямая, то функция непрерывна и не имеет точек разрыва.
3) Найдем точки пересечения графика функции с осями координат.
С осью Ох:
Точек пересечения с осью Ох график функции не имеет.
С осью Оу:
Точка пересечения графика функции с осью Оу:
Других точек пересечения с осями график функции не имеет.
4) Исследуем функцию на экстремум.
а) Найдем первую производную:
б) Решая уравнение , получим:
в) Точка разбивает ось абсцисс на два интервала знакопостоянства производной:
Для нахождения знака производной в каждом интервале (пользуясь ее непрерывностью) определим знак производной в одной какой-либо точке каждого интервала:
Функция возрастает на интервале и убывает на интервале . Следовательно, точка является точкой максимума.
г) Найдем значение функции в точке максимума:
5) Установим четность или нечетность функции. Функция является четной, если выполняется равенство
в случае, если выполняется равенство
функция является нечетной. Если не выполняется ни одно из данных равенств, то функция не является ни четной, ни нечетной.
Как видим, и , следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.
6) Найдем асимптоты графика функции.
Вертикальных асимптот график функции не имеет, поскольку функция непрерывна на всей числовой прямой.
Для определения наклонной асимптоты воспользуемся формулами
Получаем:
- горизонтальная асимптота.
7) Построим график функции.
Рисунок 3.1 - График функции
4. Найти неопределенный интеграл
Найти неопределенный интеграл:
Решение:
Для нахождения данного неопределенного интеграла выделим в подынтегральной дроби целую часть:
Получаем
Тогда
Ответ:
5. Вычислить определенный интеграл
Вычислить определенный интеграл:
Решение:
Для нахождения данного определенного интеграла произведем замену переменной и пределов интегрирования:
Ответ:
6. Вычислить площадь фигуры
предел касательная интеграл трапеция
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
Решение:
Найдём точки пересечения линий и , решая систему уравнений
Фигура, площадь которой требуется найти, является криволинейной трапецией. Находим её площадь по формуле:
Рисунок 6.1 - Графики функций и
Ответ:
Список использованной литературы
1. Высшая математика для экономистов / Под ред. Н.Ш. Кремера. - М.: ЮНИТИ: Банки и биржи, 2003.
2. Кудрявцев В.А., Демидович В.П. Краткий курс высшей математики. - М.: Наука, 1985.
3. Практикум по высшей математике для экономистов / Под ред. Н.Ш. Кремера. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Вычисление первого и второго замечательных пределов, неопределенного и определенного интегралов, площади криволинейной трапеции, координат середин сторон треугольника с заданными вершинами. Определение критических точек и асимптот графика функции.
контрольная работа [138,8 K], добавлен 29.01.2010Вычисление производной функции. Угловой коэффициент прямой. Интервалы монотонности, точки экстремума и перегиба функции. Вычисление интегралов с помощью универсальной тригонометрической подстановки. Нахождение площади фигуры, ограниченной линиями.
контрольная работа [696,1 K], добавлен 05.01.2013Уравнение стороны треугольника и ее угловой коэффициент. Координаты точки пересечения медиан. Уравнение прямой, проходящей через точки. Область определения функции. Поиск производной и предела функции. Площадь фигуры, ограниченной заданными линиями.
контрольная работа [94,9 K], добавлен 12.05.2012Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Вычисление площади ромба. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители. Нахождение производной функции и асимптот графика. Правила дифференцирования частного произведения и сложной функции.
контрольная работа [158,8 K], добавлен 24.04.2009Вычисление пределов функций. Нахождение производные заданных функций, решение неопределенных интегралов. Исследование функции и построение ее графика. Особенности вычисления площади фигуры, ограниченной линиями с использованием определенного интеграла.
контрольная работа [283,1 K], добавлен 01.03.2011Вычисление и исследование предела и производной функции, построение графиков. Вычисление неопределенных интегралов, площади фигуры, ограниченной графиками функций. Нахождение решения дифференциального уравнения и построение графиков частных решений.
контрольная работа [153,6 K], добавлен 19.01.2010Способы вычисления интегралов. Формулы и проверка неопределенного интеграла. Площадь криволинейной трапеции. Неопределенный, определенный и сложный интеграл. Основные применения интегралов. Геометрический смысл определенного и неопределенного интегралов.
презентация [1,2 M], добавлен 15.01.2014Вычисление предела функции, не используя правило Лопиталя. Нахождение производной функции и построение ее графика. Исследование неопределенных интегралов и выполнение проверки дифференцированием. Вычисление площади фигуры, ограниченной графиками функций.
контрольная работа [317,3 K], добавлен 25.03.2014Расчет неопределенных интегралов, проверка результатов дифференцированием. Вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница. Нахождение площади фигуры, ограниченной заданной параболой и прямой. Общее решение дифференциального уравнения.
контрольная работа [59,8 K], добавлен 05.03.2011Нахождение асимптот функции, локальных и глобальных экстремумов. Промежутки выпуклости и точки перегиба функции. Область определения функции и точки пересечения с осями. Нахождение определенного и неопределенного интегралов. Выполнение деления с остатком.
контрольная работа [312,9 K], добавлен 26.02.2012Определение определенного интеграла, его свойства. Длина дуги кривой. Площадь криволинейной трапеции. Площадь поверхности вращения. Площади фигур, ограниченных графиками функций, ограниченных линиями, заданными уравнениями. Вычисление объемов тел.
контрольная работа [842,6 K], добавлен 10.02.2017Методика и основные этапы нахождения параметров: площади криволинейной трапеции и сектора, длины дуги кривой, объема тел, площади поверхности тел вращения, работы переменной силы. Порядок и механизм вычисления интегралов с помощью пакета MathCAD.
контрольная работа [752,3 K], добавлен 21.11.2010Дифференциальное исчисление функции одной переменной: определение предела, асимптот функций и глобальных экстремумов функций. Нахождение промежутков выпуклости и точек перегиба функции. Примеры вычисления неопределенного интеграла, площади плоской фигуры.
задача [484,3 K], добавлен 02.10.2009Нахождение неопределенных интегралов (с проверкой дифференцированием). Разложение подынтегральных дробей на простейшие. Вычисление определенных интегралов, представление их в виде приближенного числа. Вычисление площади фигуры, ограниченной параболой.
контрольная работа [123,7 K], добавлен 14.01.2015Вычисление пределов функций, производных функций с построением графика. Вычисление определенных интегралов, площади фигуры, ограниченной графиками функций. Общее решение дифференциального уравнения, его частные решения. Исследование сходимости ряда.
контрольная работа [356,6 K], добавлен 17.07.2008Нахождение производных функций, построение графика функции с помощью методов дифференциального исчисления, нахождение точки пересечения с осями координат. Исследование функции на возрастание и убывание, нахождение интегралов, установка их расходимости.
контрольная работа [130,5 K], добавлен 09.04.2010Вычисление площадей плоских фигур. Нахождение определенного интеграла функции. Определение площади под кривой, площади фигуры, заключенной между кривыми. Вычисление объемов тел вращения. Предел интегральной суммы функции. Определение объема цилиндра.
презентация [159,1 K], добавлен 18.09.2013Условия существования предела в точке. Расчет производных функции, заданной параметрически. Нахождение точки экстремума, промежутков возрастания и убывания функций, выпуклости вверх и вниз. Уравнение наклонной асимптоты. Точка локального максимума.
курсовая работа [836,0 K], добавлен 09.12.2013Решение системы методом Гаусса. Составление расширенной матрицу системы. Вычисление производной сложной функции, определенного и неопределенного интегралов. Область определения функции. Приведение системы линейных уравнений к треугольному виду.
контрольная работа [68,9 K], добавлен 27.04.2014Нахождение произведения для заданных множеств. Вычисление предела функции с использованием основных теорем. Раскрытие неопределенности с использованием правила Лопиталя. Нахождение производной и вычисление неопределенного интеграла методом подстановки.
контрольная работа [260,0 K], добавлен 02.02.2011
