Системы нескольких случайных величин

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Системы электроснабжения состоят из большого количества взаимосвязанных технических устройств. При этом величины, характеризующие их работу, в общем случае представляют собой систему случайным образом протекающих процессов.

При решении типовых задач случайных процессов электроэнергетики результат, как правило, зависит не от одной, а от нескольких (двух и более) случайных величин.

Множество вероятностных задач электроэнергетики сводится к определению законов и функций распределения систем случайных величин, а также их числовых характеристик.

Рассмотрим решение задач системы нескольких случайных величин на примере системы двух случайных величин.

1. Системы нескольких случайных величин

1.1 Система двух случайных величин

Система двух случайных величин (двумерная случайная величина) - совокупность двух совместно рассматриваемых случайных величин (X, Y).

Систему двух случайных величин геометрически можно интерпретировать как случайную точку с координатами (X, Y) на плоскости либо как случайный вектор, направленный из начала координат в точку (X, Y).

Целесообразно различать системы дискретных и непрерывных случайных величин, составляющие которых дискретны и непрерывны соответственно.

Закон распределения вероятностей двумерной случайной величины - соответствие между возможными значениями и их вероятностями.

Закон распределения дискретной двумерной случайной величины обычно задают в виде таблицы с указанием пары чисел (x_i, y_j) и их вероятностей p(x_i, y_j), где i = 1, 2, …, n; j = 1, 2, …, m.

Закон распределения может быть задан аналитически, в виде функции распределения.

1.2 Функция распределения системы двух случайных величин

Функция распределения F (x, y) системы двух случайных величин (X, Y) - вероятность того, что для каждой пары чисел x и y случайная величина Х примет значение меньше, чем х, и при этом Y примет значение меньшее, чем y:

F (x, y) = Р (X < x, Y < y).

Геометрически функция распределения F (x, y) может интерпретироваться как вероятность того, что случайная точка (X, Y) попадет в бесконечный квадрант с правой вершиной (x, y).

Функция распределения F (x, y) системы двух случайных величин обладает следующими свойствами:

1 F (x, y) - неубывающая функция по аргументам x и y, то есть

F(x₂, y) ? F(x₁, y) при x₂ > x_1;

F (x, y₂) ? F (x, y₁) при y₂ > y_1.

2 Справедливо двойное неравенство:

0 ? F (x, y) ? 1.

3 Справедливы предельные соотношения:

F (x, -?) = 0;

F(-?, y) = 0;

F(-?, -?) = 0;

F(?, ?) = 1.

4 При x = ? функция распределения системы двух случайных величин становится функцией распределения составляющей Y:

F(?, y) = F₂ (y).

При y = ? функция распределения системы становится функцией распределения составляющей X:

F (x, ?) = F₁ (x).

Вероятность попадания случайной точки в прямоугольник, со сторонами, параллельными осям координат (x₁ < X < x_2, y₁ < Y < y₂), определяется как:

P (X, Y) = F(x₂, y₂) - F(x₁, y₂) - F(x₂, y₁) + F(x₁, y₁).

1.3 Плотность распределения вероятностей системы двух случайных величин

Непрерывную двумерную случайную величину можно задать, используя плотность распределения.

Плотность совместного распределения вероятностей f (x, y) непрерывной двумерной случайной величины (X, Y) - вторая частная производная от функции распределения:

f (x, y) = .

Функция распределения через плотность распределения определяется следующим образом:

F (x, y) = .

Двумерная плотность распределения вероятностей обладает следующими свойствами:

1 Двумерная плотность вероятности неотрицательна:

f (x, y) ? 0.

2 Двойной интеграл с бесконечными пределами от двумерной плотности вероятностей равен единице:

В частности, если все возможные значения (X, Y) принадлежат конечной области D, то

Плотности распределения отдельных составляющих, входящих в систему, выражаются через плотность совместного распределения системы следующим образом:

f₁(x) =

f₂(y) =

В случае если возможные значения каждой из составляющих принадлежат не бесконечному интервалу, то в качестве пределов интегрирования принимают соответствующие конечные значения.

2. Числовые характеристики системы случайных величин

Одним из средств для решения вероятностных задач является аппарат числовых характеристик, который позволяет находить характеристики интересующих случайных величин помимо их законов распределения.

Если X и Y - составляющие непрерывной двумерной случайной величины (X, Y), то математическое ожидание:

дискретный распределение непрерывный величина

m_x = M[X] =

m_y = M[Y] =

где f₁(x) и f₂(y) - плотности распределения составляющих.

Дисперсия:

D_x = D[X] = = ;

D_y = D[Y] = = .

Если известна двумерная плотность вероятности f (x, y), то математическое ожидание и дисперсия определяются следующим образом:

m_x = ;

m_y = ;

D_x = = ;

D_y = = .

Здесь двойные интегралы берутся по области возможных значений системы.

Начальным моментом порядка k+s системы случайных величин (X, Y) называется математическое ожидание произведения X^K и Y^S:

н_k,s = M [X^K Y^S ].

В частности,

н_1,0 = M [X ];

н_0,1 = M [Y ].

Центральным моментом порядка k+s системы (X, Y) называется математическое ожидание произведения отклонений k-й и s-й степеней:

м_k,s = M {(X - M[X])^K • (Y - M[Y])^S }.

В частности,

м_1,0 = M (X - M[X]) = 0;

м_0,1 = M (Y - M[Y]) = 0;

м_2,0 = M {(X - M[X])² } = D[X];

м_0,2 = M {(Y - M[Y])² } = D[Y].

Корреляционным моментом системы случайных величин (X, Y) называется центральный момент м_1,1 порядка 1+1:

k_xy = M {(X - M[X]) • (Y - M[Y]) }.

Для непрерывных случайных величин корреляционный момент определяется следующим образом:

k_xy = ,

или

k_xy = .

Коэффициентом корреляции случайных величин X и Y называется отношение корреляционного момента к произведению среднеквадратических отклонений (у) этих величин:

r_xy = .

Коэффициент корреляции является безразмерной величиной, причем

| r_xy | ? 1.

Коэффициент корреляции характеризует тесноту линейной зависимости между случайными величинами. Чем ближе абсолютная величина коэффициента корреляции к единице, тем связь сильнее, и наоборот, чем величина коэффициента корреляции ближе к нулю, тем связь слабее.

Коррелированными называют случайные величины, если их корреляционный момент (коэффициент корреляции) отличен от нуля.

Некоррелированными называют случайные величины, если их корреляционный момент (коэффициент корреляции) равен нулю.

Нормированной корреляционной матрицей системы n - случайных величин называется таблица, составленная из коэффициентов корреляции всех этих величин, взятых попарно.

Список использованных источников

1 Вентцель Е.С. Теория вероятностей. - М.: Академия, 2003. - 576 с.

2 Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высш. шк., 2000. - 479 с.

3 Сборник задач по математике: Теория вероятностей и математическая статистика / Под ред. А.В. Ефимова. - М.: Наука, 1990. - 368 с.

4 Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций /Под ред. А.А. Свешникова. - М.: Наука, 1980. - 656 с.

5 Волков Л.Т., Стасяк В.И. Математические задачи энергетики. Типовые задачи. - ЧПИ, 1984. - 87 с.

Размещено на Allbest.ru