Кто хотя бы раз видел фракталы - удивительно красивые и таинственные геометрические объекты, тот надолго заболел этим интересным и захватывающим научным явлением. Фрактальные рисунки - вершина вдохновения мастера на пути к совершенному единству математики, информатики и искусства. Такими представляются фракталы, которые строят современные компьютеры.

До недавнего времени геометрические модели природных объектов изображались с помощью комбинаций простых фигур: прямых, треугольников, окружностей, сфер, многогранников. Правда, с помощью набора этих известных фигур трудно описать более сложные природные объекты: пористые материалы, формы облаков, кроны деревьев, др. Современная наука не может обойтись без новых компьютерных средств. Они выводят математику на чрезвычайно высокий уровень. Изучая фракталы, весьма трудно провести грань между математикой и информатикой - так тесно они переплелись в своём стремлении открыть уникальные модели, приближающие нас к пониманию некоторых природных процессов и явлений.

Тогда возникает проблема: можно ли в школьных языках программирования смоделировать фракталы, и если можно, то в каких целях и где это можно применить?

Гипотеза: если изучить закономерность построения фрактала, то его можно смоделировать на языке программирования PascalABC

Материал: научная литература по истории открытия фракталов, данные исследований Б. Мандельброта и Е. Федера, программное обеспечение.

Методы исследования: сравнительный анализ, синтез, моделирование.

фрактал фрактальная геометрия программирование

Цель: исследовать фракталы в природе и математике и составить программы моделирования сложных неевклидовых объектов, образы которых весьма похожи на природные.

Задачи:

Понятия "фрактал" и "фрактальная геометрия" возникли в 70-80-х годах прошлого века. Они прочно вошли в обиход математиков и программистов. Слово "фрактал" происходит от латинского fractus, что в переводе означает разбитый (поделённый на части). Оно было предложено американским математиком Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных самоподобных структур. По определению, данному Мандельбротом, "фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому". Свойство самоподобности отражает главную особенность природных объектов, когда отдельная клетка растения или животного несёт в себе полную информацию обо всём организме.

С математической точки зрения фрактал - это прежде всего множество дробной размерности. Всем, кто изучает геометрию, известно, что размерность отрезка равна 1, квадрата-2, куба и параллелепипеда-3. Дробная размерность-основное свойство фракталов.

Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Мандельброта "Фрактальная геометрия природы". В ней использованы научные результаты учёных, работавших в период 1875-1925 гг. в той же области. Среди них Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф. Только в наше время удалось объединить эти работы в единую систему.

Фрактальная геометрия - это революция в математике и математическом описании природы. Вот как об этом пишет сам первооткрыватель фрактальной геометрии Бенуа Мандельброт: "Почему геометрию часто называют холодной и сухой? Одна из причин заключается в её неспособности описать форму облака, горы, дерева или моря. Облака - это не сферы, горы - это не конусы, линии берега - это не окружности, и кора не является гладкой, и молния не распространяется по прямой… Природа демонстрирует нам не просто более высокую степень, а совсем другой уровень сложности. Число различных масштабов длин в структурах бесконечно".

Новая фигура - фрактал - может выступать моделью сложных природных систем, таких, как кроны деревьев, горные хребты, береговые линии, поверхность Луны, и т.д. Древовидные фракталы применяются для моделирования не только растений, но и бронхиального дерева, работы почек, кровеносной системы.

Если рассматривать фрактальные объекты в различном масштабе, то нетрудно обнаружить одни и те же основные элементы. Эти повторяющиеся закономерности определяют дробную (фрактальную) размерность необычной геометрической фигуры.

1.2 Классификация фракталов

Алгебраические фракталы

Это самая крупная группа фракталов. Они оправдывают своё название, так как строятся на основе алгебраических формул, иногда довольно простых.

Получают их с помощью нелинейных процессов в n-мерных пространствах. Известно, что нелинейные динамические системы обладают несколькими устойчивыми состояниями. Состояние, в котором окажется динамическая система после некоторого числа итераций, зависит от начальных условий. Поэтому каждое устойчивое состояние (аттрактор) обладает некоторой областью начальных состояний, при которых система обязательно перейдет в рассматриваемые конечные состояния. Таким образом, фазовое пространство разбивается на области притяжения аттракторов.

Самыми известными из них являются множества Мандельброта и Жюлиа, Бассейны Ньютона и т.д.

Стохастические фракталы

Фракталы, при построении которых случайным образом изменяются какие-либо параметры, называют стохастическими. Термин стохастичность происходит от греческого слова, обозначающего "предположение".

Стохастическим природным процессом является броуновское движение. С помощью компьютера такие процессы строить достаточно просто: надо просто задать последовательности случайных чисел и настроить соответствующий алгоритм. При этом получаются объекты, очень похожие на природные, - несимметричные деревья, изрезанные береговые линии и так далее. Двумерные стохастические фракталы используются при моделировании рельефа местности и поверхности моря, процесса электролиза.

С помощью компьютерной программы можно построить какие-нибудь объекты живой природы, например, ветку дерева. Процесс конструирования этого геометрического фрактала задаётся более сложным правилом, нежели построение вышеописанных кривых.

Существует еще одна интересная классификация. Фракталы в этом случае классифицируются на два класса: рукотворные и природные. К рукотворным относятся те фракталы, которые были придуманы учеными, и он при любом масштабе обладают фрактальными свойствами. В действительности это не так, т.к. у дерева не бесконечное число ветвей, и берег имеет не бесконечную длину. Поэтому на природные фракталы накладывается ограничение на область существования. Вводится максимальный и минимальный размеры, при которых у объекта наблюдаются фрактальные свойства.

1.3 Применение фракталов

Наиболее изучены двухмерные процессы. Интерпретируя нелинейный итерационный процесс, как дискретную динамическую систему, можно пользоваться терминологией теории этих систем: фазовый портрет, установившийся процесс, аттрактор и т.д.

Известно, что нелинейные динамические системы обладают несколькими устойчивыми состояниями. То состояние, в котором оказалась динамическая система после некоторого числа итераций, зависит от ее начального состояния. Поэтому каждое устойчивое состояние (или как говорят - аттрактор) обладает некоторой областью начальных состояний, из которых система обязательно попадет в рассматриваемые конечные состояния. Таким образом, фазовое пространство системы разбивается на области притяжения аттракторов. Если фазовым является двухмерное пространство, то окрашивая области притяжения различными цветами, можно получить цветовой фазовый портрет этой системы (итерационного процесса). Меняя алгоритм выбора цвета, можно получить сложные фрактальные картины с причудливыми многоцветными узорами. Неожиданностью для математиков стала возможность с помощью примитивных алгоритмов порождать очень сложные нетривиальные структуры.

Рис 3. Множество Мандельброта.

В качестве примера рассмотрим множество Мандельброта (см. pис.3 и рис.4). Алгоритм его построения достаточно прост и основан на простом итеративном выражении:

Z [i+1] = Z [i] * Z [i] + C,

где Zi и C - комплексные переменные. Итерации выполняются для каждой стартовой точки C прямоугольной или квадратной области - подмножестве комплексной плоскости. Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока Z [i] не выйдет за пределы окружности радиуса 2, центр которой лежит в точке (0,0), (это означает, что аттрактор динамической системы находится в бесконечности), или после достаточно большого числа итераций (например, 200-500) Z [i] сойдется к какой-нибудь точке окружности. В зависимости от количества итераций, в течении которых Z [i] оставалась внутри окружности, можно установить цвет точки C (если Z [i] остается внутри окружности в течение достаточно большого количества итераций, итерационный процесс прекращается и эта точка растра окрашивается в черный цвет).

Рис 4. Участок границы множества Мандельброта, увеличенный в 200 pаз.

Вышеописанный алгоритм дает приближение к так называемому множеству Мандельброта. Множеству Мандельброта принадлежат точки, которые в течение бесконечного числа итераций не уходят в бесконечность (точки имеющие черный цвет). Точки принадлежащие границе множества (именно там возникает сложные структуры) уходят в бесконечность за конечное число итераций, а точки лежащие за пределами множества, уходят в бесконечность через

2.2 Моделирование фракталов на языке Паскаль АВС

Треугольник Серпинского

Program Sierp10;

Uses CRT, Graphabc;

Var

gd, gm: Integer;

l, x, y: Real;

Begin

While not Keypressed Do Begin

l: =2/3*pi*random (3);

x: =x/2+cos (l);

y: =y/2+sin (l);

PutPixel (220 + Round (x*100), 200 + Round (y*110), 14);

End;

Readkey;

End.

Стохастический фрактал

uses GraphABC;

const

n=255;

max=10;

var

x,y,x1,y1,cx,cy: real;

i, ix, iy: integer;

begin

SetWindowSize (600,600);

cx: =0.14;

cy: =+0.17;

for ix: =0 to WindowWidth-1 do

for iy: =0 to WindowHeight-1 do

begin

x: =0.005* (ix-200);

y: =0.005* (iy-150);

for i: =1 to n do

begin

x1: =x*x-y*y+cx;

y1: =x*y+1.4*y+cy;

if (x1>max) or (y1>max) then break;

x: =x1; y: =y1;

end;

if i>=n then SetPixel (ix, iy,clRed)

else SetPixel (ix, iy,RGB (255,255-i,255-i));

end; end.

Треугольники

uses Crt,

GraphABC;

var i,j: integer;

begin

SetWindowSize (800,600); {Установили окно размером 800 на 600 точек}

for j: =0 to WindowHeight-1 do

for i: =0 to WindowWidth-1 do

SetPixel (i,j,RGB (i+j, i-j, i+2*j)); {RGB - функция, в которой указывается

точные составляющие цвета - красный, зеленый и синий}

for i: =0 to WindowWidth-1 do

for j: =0 to WindowHeight-1 do

SetPixel (i,j,RGB (2*i+j, i-2*j, i+2*j)); {другой вариант закраски}

end.

Окружности

uses Crt,

GraphABC;

var i,j: integer;

begin

SetWindowSize (800,600); {Установили окно размером 800 на 600 точек}

{ Круги - цветовые эффекты}

for j: =0 to WindowHeight-1 do

for i: =0 to WindowWidth-1 do

SetPixel (i,j,RGB (0,0, i*i+j*j));

end.

Кривая дракона

program dracon;

uses GraphABC;

var

x,y: integer;

dx,dy: integer;

turn: array [1.1000] of Boolean;

a,b,d,t: integer;

f: Boolean;

i: integer;

begin

SetWindowSize (790,500);

TextOut (5,5,'Кривая дракона');

f: =true;

for a: = 1 to 64 do

begin

turn [2*a-1]: =f;

f: =not f;

turn [2*a]: =turn [a];

end;

x: =200; dx: =0;

y: =140; dy: =-4;

b: =0;

d: =1;

f: =false;

MoveTo (x,y);

for a: =1 to 128 do

begin

for i: =1 to 127*4 do

begin

b: = b+d; x: =x+dx; y: =y+dy;

LineTo (x,y);

if f and not turn [b] or not f and turn [b] then

begin

t: =dy;

dy: =-dx;

end

else

begin

t: =-dy;

dy: =dx;

end;

dx: =t;

end;

b: =b+d; d: =-d;

f: =not f;

x: =x+dx; y: =y+dy;

LineTo (x,y);

if turn [a] then

begin

t: =dy;

dy: =-dx;

end

else

begin

t: =-dy;

dy: =dx;

end;

dx: =t;

end; end.

Ковер Серпинского

program Serp;

uses GraphABC;

var

a,b,x,y: integer;

N: integer;

procedure lrel (dx,dy: integer);

begin

x: =x+dx; y: =y+dy; LineTo (x,y);

end;

procedure BB (k: integer); forward;

procedure CC (k: integer); forward;

procedure DD (k: integer); forward;

procedure AA (k: integer);

begin

if k>0 then

begin

AA (k-1); lrel (a,b);

BB (k-1); lrel (a,0);

DD (k-1); lrel (a,-b);

AA (k-1);

end;

end;

procedure BB (k: integer);

begin

if k>0 then

begin

BB (k-1); lrel (-a,b);

CC (k-1); lrel (0,b);

AA (k-1); lrel (a,b);

BB (k-1);

end;

end;

procedure CC (k: integer);

begin

if k>0 then

begin

CC (k-1); lrel (-a,-b);

DD (k-1); lrel (-a,0);

BB (k-1); lrel (-a,b);

CC (k-1);

end;

end;

procedure DD (k: integer);

begin

if k>0 then

begin

DD (k-1); lrel (a,-b);

AA (k-1); lrel (0,-b);

CC (k-1); lrel (-a,-b);

DD (k-1);

end;

end;

begin

N: =6;

a: =3;

b: =a;

x: =10;

y: =10;

SetWindowSize (590,590);

MoveTo (x,y);

AA (N); lrel (a,b);

BB (N); lrel (-a,b);

CC (N); lrel (-a,-b);

DD (N); lrel (a,-b);

end.

Множество Мандельброта

Program M2;

Uses Graphabc, Crt;

Type

TComplex = Record

X: Real;

Y: Real;

End;

Const

iter = 50;

max = 16;

GetMaxY = 600;

GetMaxX = 800;

Var

z, t, c: TComplex;

x, y, n: Integer;

Cancel: Boolean;

gd, gm: Integer;

mx, my: Integer;

Begin

Cancel: = False;

Randomize;

Mx: = GetMaxX div 2;

My: = GetMaxY div 2;

For y: = - my to my do

For x: = - mx to mx do Begin

n: = 0;

C. X: = X * 0.005;

C. Y: = Y * 0.005;

z. X: = 0;

z. Y: = 0;

While (sqr (z. X) + sqr (z. Y) < max) and (n < iter) do Begin

t: = z;

Z. X: = sqr (t. X) - sqr (t. Y) + C. X;

Z. Y: = 2 * t. X * t. Y+ C. Y;

Inc (n);

If keypressed then cancel: = true;

End;

If n < iter then Begin

setPixel (mx + x,my + y,16 - (n mod 16));

End;

If cancel then exit;

End;

Readkey;

end.

Снежинка Коха

Var

gd, gm: Integer;

i, j: Integer;

x, y, l: Real;

a: Real;

n, m: Integer;

Begin

gd: =0;

x: =0;

y: =300;

l: =640/ (exp (p*ln (3)));

MoveTo (Round (x), Round (y));

For i: =0 to Round (exp (p*ln (4))) - 1 Do Begin

a: =0;

n: =i;

Repeat

m: =n mod 4;

n: =n div 4;

Case m of

0: a: =a+0;

1: a: =a-pi/3;

2: a: =a+pi/3;

3: a: =a+0;

End;

Until n<1;

x: =x + l*cos (a);

y: =y + l*sin (a);

LineTo (Round (x), Round (y));

End;

ReadKey;

End.

Заключение