Теорема про три перпендикуляри

Размещено на http://www.allbest.ru/

Теорема про три перпендикуляри

многогранник скінченний теорема перпендикуляр



1.Перпендикулярність прямих і площин

Дві прямі називаються перпендикулярними, якщо вони перетинаються під прямим кутом.

Теорема 1. Якщо дві прямі, які перетинаються, паралельні відповідно двом іншим перпендикулярним прямим, то інші прямі теж перпендикулярні.

Теорема 2. Через будь-яку точку прямої у просторі можна провести безліч перпендикулярних до неї прямих (див. рисунок). (Усі прямі лежать у площині, яка перпендикулярна до даної прямої і перетинає її у даній точці.)

Рис.

Через будь-яку точку в просторі, що не належить даній прямій, можна провести пряму, перпендикулярну до даної, і тільки одну. Це буде та перпендикулярна до даної прямої пряма, яка лежить у площині, визначеній даними прямою й точкою:

Рис.

Зверніть увагу, що в просторі дві прямі, перпендикулярні до однієї і тієї самої прямої, не обов'язково паралельні між собою.



Рис.

Пряма, яка перетинає площину, називається перпендикулярною до цієї площини, якщо вона перпендикулярна до будь-якої прямої, що лежить у цій площині й проходить через точку перетину (див. рисунок).

Рис.

Теорема 3. Якщо пряма перпендикулярна до двох прямих, які лежать у площині й перетинаються, то вона перпендикулярна до даної площини (див. рисунок).

Рис.

Зверніть увагу: якщо пряма перпендикулярна до однієї прямої площини, то цього не досить для перпендикулярності прямої і площини.

На рисунку , але a не перпендикулярна до , зокрема a не перпендикулярна до с.



Рис.

Теорема 4. Через точку, яка не належить даній площині, можна провести пряму, перпендикулярну до даної площини, і тільки одну.

Теорема 5. Через дану точку площини можна провести одну, й тільки одну, перпендикулярну до неї пряму.

Теорема 6. Через дану точку прямої можна провести одну, й тільки одну, перпендикулярну до неї площину.

Теорема 7. Через точку, яка не лежить на прямій, можна провести одну, й тільки одну, площину, перпендикулярну до даної прямої.

Теорема 8. Якщо площина перпендикулярна до однієї з двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна й до другої.

На рисунку; ; .

Рис.

Теорема 9. Дві прямі, перпендикулярні до однієї й тієї самої площини, паралельні.



2.Паралельність прямих і площини

Дві прямі в просторі називаються паралельними, якщо вони лежать в одній площині й не перетинаються. Прямі, які не лежать в одній площині, називаються мимобіжними.

Зверніть увагу: «не лежать в одній площині» і «лежать у різних площинах» -- це різні твердження. Наприклад, паралельні прямі a і b лежать у різних площинах і (див. рисунок), але через них можна провести площину, яка міститиме a і b водночас.

Рис.

Для мимобіжних прямих (див. рисунок) не існує такої площини, у якій вони лежали б водночас.

Рис.

Можна довести, що всі прямі, які перетинають дві паралельні прямі, лежать в одній площині.

Теорема. Через точку, яка не лежить на даній прямій, можна провести пряму, паралельну даній, і тільки одну.



3.Подібність просторових фігур

Подібністю називається таке перетворення однієї фігуру в іншу, при якому відстані між точками змінюються в одне й те ж число разів. Це число є додатним і називається коефіцієнтом подібності. Фігури називаються подібними.

Перетворення подібності має такі властивості:

- прямі переходять у прямі;

- півпрямі переходять у півпрямі;

- відрізки переходять у відрізки;

- площини переходять у площини;

- паралельні прямі переходять у паралельні прямі;

- паралельні площини переходять у паралельні площини;

- кути між півпрямими зберігаються.

Найпростішим перетворенням подібності є гомотетія. Гомотетія у просторі переводить будь-яку площину, що не проходить через центр гомотетії, в паралельну площину або в себе, якщо коефіцієнт гомотетії дорівнює одиниці.

Зверніть увагу!

Дві фігури на площині називаються рівновеликими, якщо їх площі рівні. Дві фігури у просторі називаються рівновеликими, якщо їх об'єми рівні.

Дві фігури називаються рівноскладеними, якщо їх можна розбити на скінченну кількість відповідно рівних одна одній частин, при цьому різні частини кожної фігури не перекриваються, тобто не мають спільних внутрішніх точок.

Перетворення фігури F називається перетворенням подібності, якщо при цьому перетворенні відстані між точками змінюють себе в одну й ту саму кількість разів.

Як і на площині, перетворення подібності в просторі переводить прямі у прямі, півпрямі у півпрямі, відрізки у відрізки і зберігає кути між півпрямими. Перетворення подібності переводить площини у площини.

Аналогічно гомотетії на площині визначається гомотетія в просторі.

Гомотетія є перетворенням подібності.

Перетворення гомотетії у просторі переводить довільну площину, яка не проходить через центр гомотетії, у паралельну площину (або в себе, якщо).

Рис.

4.Многогранники

Многогранник -- це таке тіло, поверхня якого складається із скінченної кількості плоских многокутників. Многогранник називається опуклим, якщо він лежить по один бік від площини кожного з плоских многокутників на його поверхні. Спільна частина такої площини й поверхні опуклого многокутника називається гранню.

На рисунку нижче зліва зображений неопуклий многогранник; на рисунку справа -- опуклий.



Рис.

Грані опуклого многогранника є плоскими опуклими многокутниками. Сторони граней називаються ребрами многогранника, а вершини граней -- вершинами многогранника.

5.Призма

Призмою називається многогранник, який складається з двох плоских многокутників, що лежать у різних площинах і суміщаються паралельним перенесенням, та всіх відрізків, що сполучають відповідні точки цих многокутників (див. рисунок). Многокутники називаються основами призми, а відрізки, які сполучають відповідні вершини, -- бічними ребрами призми.

Рис.

Бічна поверхня призми складається з паралелограмів. Кожний із них має дві сторони, які є відповідними сторонами основи, а дві інші -- суміжними бічними ребрами. Основи призми рівні й лежать у паралельних площинах. Бічні ребра призми паралельні та рівні. Висотою призми називається відстань між площинами її основ.

Відрізок, який сполучає дві вершини призми, що не належать одній грані, називається діагоналлю призми. (На рисунку -- висота, і -- діагоналі.)

Діагональні перерізи -- це перерізи призми площинами, що проходять через два бічних ребра, які не належать одній грані (див. рисунки).

Рис.

Призма називається прямою, якщо її бічні ребра перпендикулярні до основ. У протилежному випадку призма називається похилою.

Бічні грані прямої призми -- прямокутники, висота прямої призми дорівнює бічному ребру, діагональні перерізи є прямокутниками.

Бічною поверхнею призми називається сума площ бічних граней. Повна поверхня призми дорівнює сумі бічної поверхні й площ основ.

Теорема 1. Бічна поверхня прямої призми дорівнює добутку периметра основи та висоти, тобто довжини бічного ребра.

Перпендикулярним перерізом призми будемо називати переріз площиною, перпендикулярною до бічного ребра призми (а це означає, що ця площина є перпендикулярною до всіх бічних ребер призми).

Теорема 2. Бічна поверхня похилої призми дорівнює добутку довжини бічного ребра і периметра перпендикулярного перерізу.

На рисунку -- перпендикулярний переріз.

Sб = H ? Pосн;

Sп = Sб + 2Sосн.



Sб = l ? Pпер;

Sп = Sб + 2Sосн.

Рис.

Очевидно, що ця теорема є правильною й у випадку прямої призми, бо тоді перпендикулярний переріз буде перерізом площиною, паралельною площинам основ призми.

Зверніть увагу: якщо деякий многокутник є перпендикулярним перерізом призми, то його внутрішні кути є лінійними кутами двогранних кутів між відповідними бічними гранями.

У випадку прямої призми лінійними кутами двогранних кутів між бічними гранями є безпосередньо кути основи.

Приклад

На рисунку -- пряма призма.

Рис.



лінійний Размещено на http://www.allbest.ru/

кут двогранного кута між гранями і .

Призма називається правильною, якщо:

* в основі її лежить правильний многокутник;

* призма є прямою.

6.Піраміда

Пірамідою називається многогранник, який складається з плоского многокутника -- основи піраміди, точки, яка не лежить у площині основи -- вершини піраміди, і всіх відрізків, що сполучають вершину піраміди з точками основи. Відрізки, що сполучають вершину піраміди з вершинами основи, називаються бічними ребрами.

Висота піраміди -- перпендикуляр, опущений із вершини піраміди на площину основи.

Піраміда називаєтьсяn-кутною, якщо її основою є n-кутник. Трикутна піраміда називається також тетраедром. Бічна грань піраміди -- трикутник. Однією з його вершин є вершина піраміди, а протилежною стороною -- сторона основи піраміди.

На рисунку SO -- висота піраміди. Тоді -- кут між бічним ребром і площиною основи (SO -- перпендикуляр, SА -- похила, OА -- проекція).

Рис.

З основи висоти піраміди (точки О) проведемо перпендикуляр на сторону основи (наприклад, АЕ). Основу цього перпендикуляра (точку F) з'єднаємо з вершиною піраміди (точкою S). За теоремою про три перпендикуляри: . (SO -- перпендикуляр, SP -- похила, OF -- проекція, за побудовою.) Отже, -- лінійний кут двогранного кута між площиною бічної грані ASEі площиною основи.

Для розв'язування задач про піраміду дуже важливо з'ясовувати, де розміщена основа її висоти.

1. Якщо виконується хоча б одна з таких умов:

* усі бічні ребра піраміди рівні;

* усі бічні ребра нахилені до площини основи під одним і тим самим кутом;

* усі бічні ребра утворюють однакові кути з висотою піраміди;

* усі бічні ребра рівновіддалені від основи висоти, -- то основою висоти піраміди є центр кола, описаного навколо основи піраміди.

Бічне ребро l, висота H і радіус R описаного навколо основи кола утворюють прямокутний трикутник:

Рис.

У цьому випадку бічну поверхню можна знайти за формулою , де l -- довжина бічного ребра, , ... -- плоскі кути при вершині.

2. Якщо виконується хоча б одна з таких умов:

* всі бічні грані нахилені до площини основи під одним і тим самим кутом;

* усі бічні грані мають однакові висоти;

* висоти бічних граней утворюють однакові кути з висотою піраміди;

* бічні грані рівновіддалені від основи висоти, -- то основа висоти лежить у центрі кола, вписаного в основу піраміди.

На рисунку -- прямокутний , -- радіус вписаного кола в ABCDEF;

Рис.

-- висота піраміди, SP -- висота бічної грані;

-- лінійний кут двогранного кута між бічною гранню й площиною основи;

О -- центр вписаного в основу кола, тобто точка перетину бісектрис ABCDEF.

У цьому випадку .

3. Якщо бічне ребро перпендикулярне до площини основи, то це ребро є висотою піраміди (див. рисунки).

Рис.

У цьому випадку і -- кути нахилу бічних ребер SВ і SС відповідно до площини основи. є лінійним кутом двогранного кута між бічними гранями SAC і SBA.



Рис.

4. Якщо бічна грань перпендикулярна до площини основи (див. рисунок), то висотою піраміди буде висота цієї грані (за теоремою «Якщо пряма, яка лежить в одній із двох перпендикулярних площин, перпендикулярна до прямої їх перетину, то вона пер­пендикулярна до другої площини»).

Рис.

5. Якщо дві бічні грані перпендикулярні до площини основи, то висотою піраміди є їх загальне бічне ребро.

7.Площадь ортогональной проекции многоугольника

Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению его площади на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.



Рис.

Пусть есть треугольник ABC и его проекция ABC1 на плоскость б. Проведем высоту CD треугольника ABC. По теореме о трех перпендикулярах отрезок C1D - высота треугольника ABC1. Угол CDC1 равен углу ц между плоскостью треугольника ABC и плоскостью проекции б.

Рис.

Следовательно, для треугольника теорема верна.

Пусть теперь есть многоугольник ABCD. Разобьем его на треугольники. Каждый треугольник, у которого нет стороны, параллельной плоскости проекции, разобьем на два треугольника с общей стороной, параллельной плоскости проекции. Получаем что для каждого треугольника Д и его проекции Д` в плоскости б верно равенство

Сложим все эти равенства почленно. Получим



Теорема доказана

8.Правильні многогранники

Опуклий многогранник називається правильним, якщо його грані є правильними многогранниками з однією й тією самою кількістю сторін, а в кожній вершині многогранника збігається одне й те ж саме число ребер.

Існує п'ять типів правильних опуклих многогранників: правильний тетраедр, куб, октаедр, додекаедр, ікосаедр.

1. У правильного тетраедра грані -- правильні трикутники; у кожній вершині збігається по три ребра. Тетраедр -- трикутна піраміда, усі ребра якої рівні.

2. У куба всі грані -- квадрати; у кожній вершині збігається по три ребра. Куб -- прямокутний паралелепіпед з однаковими ребрами.

3. В октаедра грані -- правильні трикутники. У кожній його вершині збігається по чотири ребра.

4. У додекаедра грані -- правильні п'ятикутники. У кожній його вершині збігається по три ребра.

5. В ікосаедра грані -- правильні трикутники. У кожній його вершині збігається по п'ять ребер.

На рисунках наведено приклади правильних многогранників із назвами.



Рис.

9.Загальна формула для об'ємів тіл обертання

Тілом обертання в найпростішому випадку називається таке тіло, яке площинами, перпендикулярними деякій прямій (осі обертання), перетинається по колам із центрами на цій прямій. Круговий циліндр, конус, куля є прикладами тіл обертання. Знайдемо формулу для обчислення об'єму тіла обертання.

Проведемо площину через вісь тіла й уведемо в цій площині декартові координати х, у, прийнявши вісь тіла за вісь х . Площина ху перетинає поверхню тіла по лінії, для якої вісь х є віссю симетрії. Нехай y = f(x) -- рівняння тієї частини цієї лінії, яка розташована над віссю х.

Рис.

Проведемо через точку (х,0) площину, яка перпендикулярна осі х, і позначимо через V(х) об'єм частини тіла, що лежить ліворуч від цієї площини; V(х) є функцією від х. Різниця V(x+h)-V(x) представляє собою об'єм прошарку тіла товщиною h, заключоного між двома площинами, які перпендикулярні осі х і проходять через точки з абсцисами х і x+h. Нехай М -- найбільше, а m -- найменше значення функції f (x) на відрізку [x, x+h]. Тоді розглянутий прошарок тіла містить циліндр із радіусом m і висотою h і міститься в циліндрі з радіусом M і тією же висотою h. Тому

При прагненні висоти h до нуля ліва й права частини останньої нерівності прагнуть до однієї й тієї же величини . Середня ж частина цієї нерівності при прагненні h до 0 прагне до похідної функції V (х). Виходить, .

По відомій формулі аналізу

Ця формула й дає об'єм частини тіла, заключної між паралельними площинами х = а й х = b.

Размещено на Allbest.ru

...