Онтологический статус иррациональных чисел

Размещено на http://www.allbest.ru/

Онтологический статус иррациональных чисел

Актуальность рассматриваемой в данной статье темы объясняется тем обстоятельством, что онтологический статус математических объектов, к которым относятся математические гипотезы, понятия, теории, концепции обусловлен изменением в определенные промежутки времени таких факторов, как философско-мировоззренческие, гносеологические, методологические установки и логические критерии. Автор, определяет указанные выше факторы, претерпевающие изменения в процессе познавательной деятельности, в качестве идеалов и норм научного исследования в математике. Выявляя онтологический статус иррациональных чисел в контексте изменяющихся в различные промежутки времени идеалов и норм построения математического знания, мы опираемся не теорию Т. Куна, представленную в его труде «Структура научных революций» [9]. Выстраивая теорию научных революций, Т. Кун предложил систему понятий, среди которых важное место принадлежит понятию «парадигма» это признанные идеалы и нормы научного исследования, которые в течение определенного времени обуславливают методы постановки научных проблем и их решений.

Цель статьи исследование онтологического статуса иррациональных чисел в контексте идеалов и норм построения математического знания в четырёх парадигмах математической онтологии.

Объект исследования философско-мировоззренческие, гносеологические, методологические установки и логические критерии, детерминирующие основания математических проблем и особенности построения математического знания в рамках четырёх парадигм математической онтологии.

Предмет исследования онтологический статус иррациональных чисел в контексте идеалов и норм построения математического знания в четырёх парадигмах математической онтологии.

Основным методом исследования является метод историко-культурного детерминизма, который раскрывает обусловленность специфики в трактовке статуса математических объектов при изменении гносеологических традиций в исследуемых парадигмах математической онтологии.

Особенности развития и построения математического знания детерминируют характер вводимого нами, необходимого в процессе исследования, методологического понятия «парадигма математической онтологии». Математика, как правило, независима от денотата. Математические понятия феномены мышления. Большинство определений математических объектов это описания их построения. Математика выступает в качестве одной из форм теории познания. Следует отметить и то обстоятельство, что философия не обладает методом трансляции математических структур в собственные определения, она не тождественна математике. Категориальный аппарат, вырабатываемые идеалы и нормы научного исследования позволяют в философско-методологическом контексте анализировать основания постановки математических проблем и методы их решений. Исходя из этого, философ получает возможность анализа исходных посылок, на которых основана математика.

Автор, обращаясь к различным обоснованиям иррационального числа в истории математической мысли, развивавшейся в контексте различных идеалов и норм постановки математических проблем и методов их решений, не имеет в виду оправдать математику с помощью какой-либо определённой философской концепции. Основная задача нашего исследования в том, чтобы понять, каково отношение математической теории умозрительного построения и реальности, что стоит за математическим объектом и чему он обязан своим появлением.

Отметим, что в минувшем XX столетии в рамках философии математики вопрос математической непрерывности и соответственно, онтологического статуса иррационального числа не рассматривался. Приведём лишь некоторые труды историков математики, в которых иррациональные числа рассматривались авторами в контексте собственных исследований, указав, что приведенная нами библиография может быть значительно расширена. М.Д. Ахундов [1], А.В. Ахутин [2], И.Г. Башмакова [3], Н. Бурбаки [4], Г. Вилейнер [5], А. Даан-Дальмедико, Ж. Пейффер [6], Ф.А. Медведев [10], К.А. Рыбников [12], О.А. Сабо [13]. Обобщая мысли приведенных выше авторов, отметим, что проблема дедукции и дедуктивного принципа построения математического знания занимает одно из центральных мест в комплексе проблем, связанных с обоснованием непрерывности и иррациональных чисел. Таким образом, исследование онтологического статуса иррациональных чисел в контексте идеалов и норм построения математического знания в четырёх парадигмах математической онтологии по праву является нашей проблематикой.

Каждая, из четырёх рассматриваемых нами в качестве методологического регулятора исследования, парадигм математической онтологии соответствует временному интервалу, в котором, согласно выработанным гносеологическим традициям определялись основания постановки математических проблем и методы построения математического знания.

Античность это, первая выделенная нами парадигма математической онтологии генезис философского осмысления сущности математических объектов и методов математического рассуждения, которое наиболее ярко представлено в трудах Платона и Аристотеля. В античности вырабатывались и систематизировались знания элементарной математики. Вершиной античного построения математики являются «Начала» Евклида. В этом труде, во-первых, собраны и подвергнуты окончательной логической переработке достижения в области геометрии; во-вторых, при доказательстве бесконечности ряда простых чисел и построении законченной теории делимости впервые заложены основы систематической теории чисел.

Вторая, рассмотренная автором парадигма математической онтологии переменных величин и математического естествознания XVXVIII столетий. В это время осуществлено начало математизации естествознания мысленного конструирования физического эксперимента. Эго период, в котором происходит значительное усиление взаимного влияния философии математики и естествознания, рассматривается нами как парадигма математической онтологии переменных величин и математического естествознания. Основания математического моделирования идея универсальности математического метода фундаментально осмыслены в трудах философов рационалистов P Декарта и Г.В. Лейбница. Образцом математического моделирования физического эксперимента являются «Математические начала натуральной философии» И. Ньютона. И. Кантом в результате анализа деятельности естествоиспытателей сформулировано, что в основе научного познания лежит деятельность по конструированию умопостигаемой сущности.

В нашем исследовании особое место отведено третьей, выделенной нами, парадигме математической онтологии нестандартной геометрии и теоретико-множественных построений XIX столетия. Начиная с XIX столетия, философскую составляющую стали считать чуждой «точному складу» науки. Эго отразилось и на математике. В этот период появляются новые идеалы и нормы математических исследований. Они сопряжены с внутренним развитием математических теорий. Независимо друг от друга, Н.И. Лобачевский, Я. Больяй, К.Ф. Гаусс, Б. Риман сконструировали «воображаемые» математические пространства. Они доказали, что такие пространства могут быть обоснованы с той же математической строгостью, что и евклидова геометрия. Теоретико-множественные построения Г. Кантора и, в дальнейшем, логицизм также являются методами постановки математических проблем и их решений.

Двадцатое столетие определено нами, исходя из предмета исследования в математике этого времени, как парадигма математической онтологии абстрактных формализованных систем. Двадцатое столетие время формализации и аксиоматизации математического знания, представленное попыткой обоснования континуум-гипотезы в теории множеств, построением конструктивной математики, созданием особого направления математического структурализма.

Необходимо подчеркнуть, что, начиная с античности, философское обоснование математики это попытки, прежде всего самих математиков выйти за грани собственной науки, соотнести её содержание, во-первых, с действительным миром, во-вторых, с другими продуктами человеческой мысли. Вехами на пути становления философского обоснования математического знания были кризисы в её основаниях. Именно они возвели указанную проблему философское обоснование математики, в ранг актуальной.

Первый кризис поразил уже античную математику в V столетии до нашей эры. Речь идёт о несоизмеримости отрезков. Две величины или длины считались соизмеримыми, если, обладали общей мерой величиной или длиной, которая укладывается на них целое число раз. В античности считалось, что все отрезки соизмеримы, но обнаружился парадокс. Оказалось, что некоторые длины несоизмеримы. Например, сторона и диагональ квадрата, катет и гипотенуза прямоугольного треугольника, также несоизмеримы длина окружности её диаметр, площади круга и квадрата, построенного на радиусе этого круга и др.

Сторона квадрата не укладывается целое число раз на его диагонали, образуется остаток. Ho, может быть, следует взять за единицу остаток и измерить диагональ им? Оказалось, что новый отрезок столь же не поместим ровным счетом на диагонали квадрата, как и прежний. В современной знаково-символической интерпретации гипотенузу можно выразить посредством катета через ранее неизвестную величину:

Указанную величину С назвали иррациональным числом выходящим за грань разумного рационального, каковым остались в античной математике целые и дробные величины.

В античности поводом к исследованию иррациональных чисел явилось представление о непрерывности величин, в простейшем случае непрерывности прямолинейного отрезка, которую следовало выразить в числах. Подчеркнём, что уже математики античности сделали попытки выстроить первые математические картины мира отразить сущность процессов природы, которым свойственна непрерывность. Открытие несоизмеримых отрезков явилось поворотным пунктом в развитии античной математики. Оно разрушило раннюю систему пифагорейцев и привело к созданию новых, обладающих значительной тонкостью и глубиной математических теорий.

По нашему убеждению, открытие несоизмеримости в античной математике сравнимо с открытием неевклидовой геометрии в XIX столетии или теории относительности в начале XX столетия. Открытие несоизмеримости означало, что целых чисел и их отношений недостаточно для выражения отношения любых двух отрезков, что с помощью одних лишь рациональных чисел невозможно построить метрическую геометрию.

Автор указывает на особо важный аспект: несоизмеримость стала причиной того, что в пифагорейской школе обратили пристальное внимание на соотношение между геометрией и арифметикой. Арифметика базировалась на понятии целого числа. Рациональные числа мыслились античными математиками как пары целых. Поиски выхода из кризиса определил три возможности:

1. Расширить понятие числа так, чтобы с помощью новых чисел стало возможным определять отношение двух любых отрезков.

2. Строить математику не на основе арифметики рациональных чисел, а на основе геометрии, определив непосредственно для геометрических величин все операции алгебры.

3. Отказаться от строгого логического построения учения о несоизмеримых величинах и перейти к нестрогому оперированию с иррациональными величинами, как это делалось в последствии в Индии и средневековой Европе.

Автор особо подчёркивает, что последнее было неприемлемо для греков. Этот путь означал отказ от основоположения дедуктивного построения математики. Первый же путь на столь ранней стадии развития представлял непреодолимые трудности. Уже первые попытки, которые были сделаны в конце V и начале IV столетий до н.э. завершились неудачей.

Античная математика пошла по пути построения алгебры на основе геометрии. На этой же основе развивалась и теория чисел. Это позволило обосновать лишь некоторые общие теоремы и правила алгебры. Ho в дальнейшем геометрическое обоснование теории чисел и алгебры мешало гармоничному развитию отдельных частей математики. Следует указать, что геометрическая алгебра основывалась на античной планиметрии геометрии циркуля и линейки. Она была приспособлена лишь для исследования тождеств, обе части которых являются квадратичными формами, и для решения квадратных уравнений. Этим ограничивалась возможность её приложений.

Несоизмеримость иррациональность вынуждает греческих философов и математиков задуматься над истоками алогичности и строить математику основаниях конструирования геометрических форм, которое рассматривается как реализация идей. Геометрические фигуры представляются репрезентантами идеального бытия в чувственно-наглядном бытии. В диалоге «Государство» Платон пишет: «Ho ведь когда они вдобавок пользуются чертежами и делают отсюда выводы, их мысль обращена не на чертёж, а на те фигуры, подобием которых он служит. Выводы они делают только для четырёхугольника самого по себе и его диагонали, а не той диагонали, которую они начертили» [11, с. 293]. Платон представляет математические предметы существующими в особом трансцендентном мире. Его попытка была первой в объяснении того, почему абстрактные сущности отличаются от эмпирических сущностей. Для Платона мир идей предшествовал миру вещей. Вещи изменяются и уничтожаются, идеи остаются неизменными, определёнными и совершенными. Чувственно воспринимаемые предметы лишь отблеск, несовершенное воплощение идей. Математические сущности занимали в учении Платона промежуточное положение между вещами и наиболее общими и совершенными идеями. Отсутствие абстрактных математических сущностей в эмпирическом мире объясняет, по мысли античного философа, их отличие от чувственно воспринимаемых вещей. Хотя математик, как показано в диалоге «Государство», и пользуется чертежами, но доказываемые им истины относятся к идеям, а не к фигурам.

Евклид, в «Началах», систематизировал важнейшие достижения в математике, выработанные к концу IV столетия до нашей эры. Он изложил систематизированное им математическое знание в свете идеалов и норм логической строгости, которые были приняты в Академии Платона. В «Началах», геометрический способ построения доказательств, приводит к созданию логически непротиворечивой дедуктивной теории. Десятая книга «Начал» посвящена Геометрическому обоснованию и классификации несоизмеримых величин иррациональных чисел. «И назовём квадрат на заданной прямой рациональным, и все площади с ним соизмеримые рациональными, несоизмеримые же с ним иррациональными, и линии, их квадрирующие иррациональными» [8, с. 101]. Евклидом иррациональные числа сконструированы как отношения отрезков прямых. Античным математиком применен конструктивный подход к обоснованию чисел, которые в современной математике именуются вещественными числами.

Автор особо отмечает то обстоятельство, что Евклид не мыслил переменных величин. «Если для двух заданных неравных величин при постоянном попеременном вычитании меньшей из большей остающихся никогда не будет измерять своего предшествующего, то величины будут несоизмеримы» [8, с. 103]. Всякая величина для античного математика «актуальная» «кристаллизовавшаяся», не представляющая возможности рассмотрения её в качестве переменной. Ho на положении «Соизмеримыми величинами называются измеряемые одной и той же мерой, несоизмеримыми же для которых никакая общая мера не может быть образована» [8, с. 101], основывается метод исчерпывания, который в современной математике заменила теория пределов. Круг идей Ж. Jl. Даламбера сформировавших теорию пределов иной, нежели у Евклида. С точки зрения современной классической математики, величины, конструируемые Евклидом, обретают значения переменных, которые стремятся к нулю бесконечно малых величин не актуально, а потенциально, в возможности.

По убеждению автора, если интерпретировать из текста X книги «Начал» Евклида его представление об онтологическом статусе иррациональных чисел, то с уверенностью можно утверждать, что он мыслил их в платоновском контексте, как предпосылочные начала математического рассуждения. Для Платона познание не может ограничиться фиксацией лишь отвлечённых математических предположений, оно должно перейти к раскрытию онтологического начала всего сущего. Это означает, что необходимо перейти от формального или предпосылочнош начала к знанию, совпадающему с порождающим бытием идеей Блага. Лишь перейдя к беспредпосылочному началу, можно определить принципы частных наук. Осмысление беспредпосылочного начала задача диалектики. Беспредпосылочное начало, совпадающее с наивысшим благом, ни от чего не зависит, само себя определяет и находится за пределами бытия. Предельное начало есть тождество идеи и бытия, мышления и становления, формального и содержательного. Оно не возникает и не уничтожается, но служит истоком возникновения и движения всего сущего.

По мысли автора, пользуясь терминологией Платона, иррациональные числа, в геометрической трактовке их Евклидом являются формальным предпосылочным началом к знанию, совпадающему с порождающим бытием принципов частных наук, несмотря на то, что в этой области математики царствует чистая абстракция. Ho следует отметить и тот аспект, что предпосылочное начало геометрически конструируется античным математиком. Следовательно, в нашей интерпретации представлений Евклида об онтологическом статусе иррациональных чисел можно сделать вывод, это конструируемая предпосылка математического рассуждения о непрерывном континуальном.

Автор обращает внимание читателя на тот аспект, что греки отличали числа и величины, что отразилось в «Началах» Евклида. Греки не соединяли представление непрерывности с понятием о числе, но, пытаясь измерить, т.е. выразить числами, прямолинейные отрезки, убедились в невозможности выразить их при помощи целых чисел. Отметим также, что греки, не достигшие ясного представления об иррациональных числах, производили над непрерывными величинами те же арифметические операции, что и над целыми числами.

В XVII столетии начался новый период развития математики. Главным изменением в европейской математике была введенная Р. Декартом переменная величина в математику вошло понятие «движение». Благодаря выше сказанному стало развиваться дифференциальное и интегральное исчисление. В XVII столетии в математике на первый план выдвигается понятие «функция», играющее в дальнейшем такую же роль самостоятельного предмета изучения, как ранее понятия величины или числа. Изучение переменных величин и функциональных зависимостей приводит к основным понятиям математического анализа, вводящим в математику в явном виде идею бесконечного, к понятиям предела, производной, дифференциала и интеграла. Создаётся анализ бесконечно малых величин, в первую очередь в виде дифференциального и интегрального исчисления. Анализ бесконечно малых величин позволяет связывать конечные изменения переменных величин с их поведением в непосредственной близости отдельных принимаемых ими значений. Основные законы механики и физики записываются в форме дифференциальных уравнений. Задача интегрирования этих уравнений выдвигается в качестве одной из важнейших задач математики. Разыскание неизвестных функций, определённых другого рода условиями, составляет предмет вариационного исчисления. Таким образом, наряду с уравнениями, в которых неизвестными являются числа, появляются уравнения, в которых неизвестны и подлежат определению функции.

Предмет изучения геометрии также существенно расширяется с проникновением в геометрию идей движения и преобразования фигур. Геометрия начинает изучать движение и преобразование сами по себе. Отметим, что непосредственное развитие этих идей относится лишь к концу XVII, началу

XIX столетий. Гораздо раньше, с созданием в XVII столетии аналитической геометрии, принципиально изменилось отношение геометрии к остальной математике. Был найден универсальный способ перевода проблем геометрии на язык алгебры и анализа решения их алгебраическими методами. Вместе с тем, открылась обратная возможность изображения алгебраических описаний геометрически, например, при графическом изображении функциональных зависимостей.

В XVII веке в математике прочно укрепились комплексные числа, вклад в изучение которых внесли А. де Муавр и JI. Эйлер. В XIX столетии теория комплексных чисел стала чёткой, обоснованной, поэтому стало возможным классифицировать иррациональные числа на алгебраические конструируемые и трансцендентные. Доказательство существования трансцендентных чиселэто переосмысление работы Евклида по классификации иррациональных чисел. По этой теме в 1872 были опубликованы работы К.Ф. Вейерштрасса, P Дедекинда и Г. Кантора. К.Ф. Вейерштрасс и Г. Кантор обосновывали свои теории при помощи бесконечных рядов, в то время как P Дедекинд работал с дедекиндовым сечением множества вещественных чисел, разделяя все рациональные числа на два множества с определёнными характеристическими свойствами. Автор уточняет, что с иррациональными числами тесно связанны цепные дроби. Цепная дробь, представляющая данное число, бесконечна тогда и только тогда, когда число является иррациональным. Цепные дроби были впервые исследованы Катальди в 1613 году, затем снова привлекли к себе внимание JI. Эйлера, а позднее, в начале XIX столетия Ж. JI. Лагранжа. Также внёс значительный вклад в развитие теории цепных дробей П.Г. Дирихле. Ho цепные дроби являются самостоятельной темой исследования.

По мысли автора, P Дедекинд определил своё понятие «сечения» как семиотическое, не смотря на то, что понятие «знак» им в труде «Непрерывность и иррациональные числа» не употребляется. Коренным отличием семиотической реальности от реальности онтологической является то обстоятельство, что она от начала и до конца плод рассудочной деятельности человека. Нет ни одного знака, который бы не был результатом наших усилий по его конструированию, и разработке правил его использования. Даже естественные предметы только тогда обретают статус знака, когда мы мысленно наделяем их свойствами знака. Во всех остальных случаях они остаются вещью, которую мы можем использовать, но не в качестве знака, а как реалии этого мира. Лишь сознательное наделение таких объектов признаками знака делают их таковыми. Мы признаем за ними право репрезентировать нечто другое, а не только их самих. Семиотическая реальность создается из знаков разных видов и типов, отдельных либо объединенных в системы. Ho в математике, семиотическая реальность не менее реальна, чем онтологическая действительность.

С уверенностью можно утверждать о том, что Р. Дедекинд мыслил иррациональное число как предпосылку математического рассуждения о непрерывности числовой прямой. Кроме того, указанная предпосылка сама является алгебраической конструкцией. Таким образом, в нашей интерпретации, по P Дедекинду, иррациональное число обретает статус конструируемого предпосылочного начала математического рассуждения о непрерывности числовой прямой.

Обобщая выводы в отношении онтологического статуса рациональных чисел в античной парадигме математической онтологии и парадигме математической онтологии переменных величин и математического естествознания, автор считает вправе высказать общее суждение о статусе иррациональных чисел. В контексте изменяющихся идеалов и норм построения математического знания иррациональные числа обрели статус конструируемого предпосылочного начала математического рассуждения о непрерывности числовой прямой.

иррациональный число математический онтологический

Размещено на Allbest.ru