Действия с матрицами
Линейные операции с матрицами: сложение и умножение. Замена элементов матрицы на соответствующие алгебраические дополнения с последующим транспонированием. Разложение определителя по его столбцу. Элементы главной диагонали. Поэлементное сложение данных.
| Рубрика | Математика |
| Вид | лекция |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 29.09.2013 |
| Размер файла | 66,1 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Лекция
Действия с матрицами
Определение 1
Две матрицы одинакового порядка называются равными, если равны все их соответствующие элементы.
Замечание 1. Две неравные квадратные матрицы одинакового размера могут иметь одинаковые определители.
матрица алгебраический транспонирование
; .
Определение 2
А) Суммой матриц одинакового размера и называется матрица , полученная поэлементным сложением данных матриц.
Б) Произведением матрицы на число называется матрица , полученная умножением всех элементов матрицы на число .
Замечание 2. Сложение матриц и умножение матрицы на число называются линейными операциями с матрицами.
Замечание 3. В отличие от матриц, в определителе не все его элементы, а элементы только одной строки (столбца) умножаются на число .
Суммы матриц разного порядка не рассматриваются.
Примеры
1) , ;
.
2) , ;
.
Свойства линейных операций с матрицами
Пусть А, В, С - матрицы одинакового размера, - числа
1. - переместительное свойство сложения матриц (коммутативность);
2. - сочетательное свойство сложения матриц (ассоциативность);
3. - ассоциативность умножения матрицы на число;
4. - распределительное свойство умножения матрицы на число относительно суммы чисел (дистрибутивность);
5. - дистрибутивность умножения матрицы на число относительно суммы матриц.
Докажем свойства (3) и (5) (остальные доказываются по аналогии).
Доказательства.
3. Пусть и , тогда
.
Здесь использовались: определение 2(б), свойство умножения матрицы на число.
5. Пусть и . Тогда
Благодаря этим свойствам при выполнении многих операций с матрицами можно обращаться как с обычными числами.
Определение 3
Произведением матрицы на матрицу называется матрица с элементами:
, , (2.1),
( - сумма произведений элементов -ой строки первой матрицы на соответствующие по порядку элементы -го столбца второй матрицы).
Замечание 4:
А) Согласно этому определению, умножать можно только такие две матрицы, когда число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй. Произведение имеет столько строк, сколько первая матрица, и столько столбцов, сколько вторая.
В противном случае произведение не определено.
Б) Произведение матриц не является линейной операцией.
С) Операция умножения матриц некоммутативна.
Обозначение: .
Примеры
1) Пусть
.
2) Пусть , . Показать, что .
Свойства умножения матриц
Пусть, размеры матриц таковы, что произведения матриц имеют смысл.
1) - ассоциативность умножения;
2) - дистрибутивность умножения матриц относительно суммы матриц;
Определение 4.
Квадратная матрица называется единичной матрицей.
Очевидно, что det Е=1.
Свойство единичной матрицы
, (2.2)
(2.2)
для матрицы размера (равенство (2.2))
или размера (равенство (2.2))
и единичной матрицы размера .
Определение 5
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей.
.
Очевидно, что , .
Понятие обратной матрицы
Определение 6
Квадратная матрица называется обратной по отношению к матрице , если выполняется равенство
,
где - единичная матрица.
Определение 7
Квадратная матрица называется невырожденной, или неособенной, если . Если , то матрица называется вырожденной (особенной).
Теорема 1
Всякая невырожденная матрица имеет обратную матрицу, определяемую формулой:
(2.3)
Замечание 5.
В равенстве (2.3) матрица
получена из матрицы
заменой ее элементов на соответствующие алгебраические дополнения и последующим транспонированием. Такая матрица называется присоединенной (союзной) матрицей для матрицы.
Таким образом,
.
Доказательство.
По определению 2.6 .
.
Но здесь - есть разложение определителя по его первому столбцу, потому является значением . Таковы же все элементы главной диагонали. Так, - есть разложение определителя по -тому столбцу. Значит, все элементы главной диагонали равны .
Все элементы вне главной диагонали представляют собой суммы произведений элементов какого-либо столбца определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другого столбца и потому равны нулю.
Значит, .
Пример
Для матрицы найти обратную матрицу.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Линейные операции над матрицами. Умножение и вычисление произведения матриц. Приведение матрицы к ступенчатому виду и вычисление ранга матрицы. Вычисление обратной матрицы и определителя матрицы, а также решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
учебное пособие [658,4 K], добавлен 26.01.2009Понятие матрицы, его источники и развитие в математической науке, основные элементы и их взаимодействие. Описание действий с матрицами: сложение, вычитание, умножение между собой и на число, транспортирование. Свойства транспортированных матриц.
контрольная работа [92,9 K], добавлен 02.06.2010Основные операции над матрицами и их свойства. Произведение матриц или перемножение матриц. Блочные матрицы. Понятие определителя. Панель инструментов Матрицы. Транспонирование. Умножение. Определитель квадратной матрицы. Модуль вектора.
реферат [109,2 K], добавлен 06.04.2003Размеры прямоугольной, квадратной, диагональной, скалярной матриц. Линейные операции над матрицами. Умножение строки на столбец (скалярное произведение). Транспонирование матрицы, ее элементы. Образование треугольной таблицы, состоящей из строк, столбцов.
презентация [1,4 M], добавлен 03.12.2016Применение матриц и их виды (равные, квадратные, диагональные, единичные, нулевые, вектор-строка, вектор-столбец). Примеры действий над матрицами (умножение на число, сложение, вычитание, умножение и транспонирование матриц) и свойства полученных матриц.
презентация [74,7 K], добавлен 21.09.2013Понятие равных матриц, их суммы и произведения. Нахождение элемента матрицы, свойства ее произведения. Расположение вне главной диагонали элементов квадратной матрицы. Понятие обратной матрицы, матричные уравнения. Теорема о базисном миноре, ранг матрицы.
реферат [105,3 K], добавлен 21.08.2009Понятие матрицы. Метод Гаусса. Виды матриц. Метод Крамера решения линейных систем. Действия над матрицами: сложение, умножение. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса. Элементарные пребразования систем. Математические перобразования.
лекция [45,4 K], добавлен 02.06.2008Сложение и умножение целых p-адических чисел, определяемое как почленное сложение и умножение последовательностей. Кольцо целых p-адических чисел, исследование свойств их деления. Объяснение данных чисел с помощью ввода новых математических объектов.
курсовая работа [345,5 K], добавлен 22.06.2015Возникновение теории вероятности как науки. Классическое определение вероятности. Частость наступления события. Операции над событиями. Сложение и умножение вероятности. Схема повторных независимых испытаний (система Бернулли). Формула полной вероятности.
реферат [175,1 K], добавлен 22.12.2013Примеры алгебраических групп матриц, классические матричные группы: общая, специальная, симплектическая и ортогональная. Компоненты алгебраической группы. Ранг матрицы, возвращение к уравнениям, совместимость. Линейные отображения, действия с матрицами.
курсовая работа [303,7 K], добавлен 22.09.2009Понятие матрицы и ее основные элементы. Пример нахождения ее ранга путем приведения к ступенчатому виду. Описание действий над матрицами. Разбор умножения их на примере. Особенности алгебраического дополнения. Алгоритм определения обратной матрицы.
презентация [617,0 K], добавлен 15.09.2014Понятие и типы матриц. Определители (детерминанты) квадратной матрицы и их свойства. Алгебраические действия над матрицами. Теоремы Лапласа и аннулирования. Понятие и свойства обратной матрицы, алгоритм ее построения. Единственность обратной матрицы.
курс лекций [336,5 K], добавлен 27.05.2010Определение алгебраического дополнения элемента определителя, матрицы, ее размера и видов. Неоднородная система линейных алгебраических уравнений. Решение системы уравнений методом Крамера. Скалярные и векторные величины, их примеры, разложение вектора.
контрольная работа [239,4 K], добавлен 19.06.2009Преобразование матрицы: умножение, приведение коэффициентов на главной диагонали матрицы к 1. Решение системы уравнений методом Крамера. Определители дополнительных матриц. Определение вероятности события (теория вероятности), математическая статистика.
контрольная работа [73,5 K], добавлен 21.10.2010Запись комплексного числа в алгебраической, тригонометрической и показательной формах. Изображение корней уравнения на комплексной плоскости. Умножение и сложение матриц. Вычисление определителя четвертого порядка. Проверка совместимости систем уравнений.
контрольная работа [444,4 K], добавлен 13.12.2012Расчет показателей матрицы, ее определителя по строке и столбцу. Решение системы уравнений методом Гаусса, по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы. Вычисление предела без использования правила Лопиталя. Частные производные второго порядка функции.
контрольная работа [95,0 K], добавлен 23.02.2012Определение, свойства, виды и историческое происхождение матриц. Расчет определителя третьего порядка. Правило Саррюса для треугольников. Алгоритм построения и единственность обратной матрицы. Исследование линейных отображений векторных пространств.
контрольная работа [308,2 K], добавлен 12.12.2013Выполнение действий над матрицами. Определение обратной матрицы. Решение матричных уравнений и системы уравнений матричным способом, используя алгебраические дополнения. Исследование и решение системы линейных уравнений методом Крамера и Гаусса.
контрольная работа [63,2 K], добавлен 24.10.2010Доказательство линейной независимости системы векторов пирамиды. Расчет длины ребра, угла между ребрами. Составление уравнения прямой и плоскости. Выполнение операций для матриц. Величина главного определителя. Поиск алгебраических дополнений матрицы.
контрольная работа [156,0 K], добавлен 20.03.2017Общие определения, связанные с понятием матрицы. Действия над матрицами. Определители 2-го и 3-го порядков, порядка n, порядок их вычисления и характерные свойства. Обратные матрицы и их ранг. Понятие и этапы элементарного преобразования матрицы.
лекция [30,2 K], добавлен 14.12.2010
