Преобразование прямоугольных координат на плоскости. Кривые второго порядка
Формулы преобразований при повороте координатных осей. Простейшие уравнения точки, окружности и эллипса. Понятие эксцентриситета эллипса. Формулы фокальных радиусов. Мнимый эллипс, пара мнимых пересекающихся прямых. Каноническое уравнение гиперболы.
| Рубрика | Математика |
| Вид | лекция |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 29.09.2013 |
| Размер файла | 127,7 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Лекция
Преобразование прямоугольных координат на плоскости. Кривые второго порядка
А) При переходе от системы координат к новой , связь между старыми и новыми координатами некоторой точки плоскости определяется следующими формулами:
. (12.1)
Б) При повороте координатных осей на связь между старыми и новыми координатами выражается следующим образом:
c каждой из систем свяжем полярную систему координат:
,
,
. (12.2)
Замечание 1. Если поворот по часовой стрелке на , то в формуле:
, (12.2)
. (12.2')
Кривые второго порядка. Рассмотрим алгебраическое уравнение второй степени относительно и:
, (12.3)
где , , т.е. одновременно не равны .
Уравнение (12.3) определяет кривую второго порядка.
Окружность. Определение 12.1. Геометрическое место точек, равноудаленных от одной точки, называемый центром, называется окружностью.
В выберем произвольную точку , тогда если окружности, то:
, или
. (12.4)
Если , то:
, (12.4')
- каноническое (простейшее) уравнение окружности
Замечание 2. Если , то окружность стягивается в точку . Если в правой части уравнения (12.4) (), то уравнение определяет мнимую окружность. преобразование координатная эксцентриситет эллипс
Выясним, при каких условиях равенство (12.3) определяет окружность, мнимую окружность или точку.
Для этого преобразуем равенство (12.4):
.
. Заметим (*).
Чтобы уравнения (12.3) при условии (*) привести к каноническому виду (12.4), необходимо выделить полный квадрат относительно и .
Пример 12.1. Уравнение окружности:
,
привести к каноническому виду.
, , , .
Эллипс. Определение 12.2. Геометрическое место точек, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек и , называемых его фокусами, есть величина постоянная, и называется эллипсом.
Отметим на оси две точки: , т.е. (фокусное расстояние). Пусть - произвольная точка эллипса.
Фокальными радиусами () точки эллипса называются отрезки прямых, соединяющих эту точку с фокусами и :
, где . (12.5)
Выведем уравнение эллипса.
.
По определению (12.2) имеем:
- иррациональное уравнение.
,
,
,
,
,
,
т.к. , , т.е. ,
Введем обозначение:
. (12.5)
Тогда,
.
Поделим обе части на (), получим каноническое уравнение эллипса.
. (12.6)
Если точка не принадлежит эллипсу, то
.
А это значит, что координаты точки не удовлетворяют уравнению (12.6).
Проведем исследование полученного уравнения, для чего разрешим его относительно .
,
. (12.6')
Т.к. и в уравнение эллипса входят в четных степенях, то график функции симметричен как относительно , так и относительно . Т.о. исследование достаточно провести только для I четверти.
При , при . Если на промежутке , то на промежутке . Имеем дугу эллипса, .
Отрезок называется большой полуосью,
отрезок называется малой полуосью.
Замечание 3. Уравнение (12.6) можно рассматривать и в случае , тогда - большая полуось и фокусы эллипса лежат на оси .
Замечание 4. В случае, когда , уравнение (12.6) вырождается в окружность с центром в начале координат .
Определение 12.3. Отношение (фокусного расстояния к длине большой оси) называется эксцентриситетом эллипса и обозначается:
, (12.7)
т.к. , то .
Эксцентриситет характеризует форму эллипса (степень сжатия).
Так, если полуось фиксирована, то форма будет зависеть только от расстояния между фокусами. Если фокусы сближаются, то , т.к. . Если фокусы отодвигаются от начала координат, то эллипс сплющивается и когда фокусы совпадают с концами большой оси, эллипс вырождается в отрезок, для которого , т.к. .
Из формул для и , а также (12.6') можно получить формулы для фокальных радиусов:
. (12.8)
Если центр эллипса перенести в точку , то уравнение эллипса примет вид:
.
Замечание 5.
Уравнение определяет мнимый эллипс.
Уравнение - определяет точку.
Выясним, при каких коэффициентах алгебраическое уравнение (12.3) определяет эллипс, мнимый эллипс или пару мнимых пересекающихся прямых (точку).
,
,
.
Таким образом, (**).
Пример 12.2. Уравнение эллипса , привести к каноническому виду.
,
, .
Центр: , , , .
Гипербола. Определение 12.4. Геометрическое место точек, абсолютная величина разности каждой из которых до двух данных точек и , называемых его фокусами, есть величина постоянная, и называется гиперболой.
. (12.9)
Из или .
Равенство (12.9) можно переписать в виде:
,
,
,
,
, ,
. (12.10)
- каноническое уравнение гиперболы.
Если точка не принадлежит гиперболе, то
.
Это значит, что координаты точки не удовлетворяют уравнению (12.10).
Разрешим уравнение (12.10) относительно :
,
. (12.10')
По аналогии с эллипсом проведем исследование только для I четверти (симметрия относительно и ).
.
Значит в полосе между прямыми и нет ни одной точки гиперболы.
Покажем, что дуга гиперболы неограниченно приближается к прямой, определяемой уравнением при ее неограниченном удалении от начала координат. Т.е. .
Действительно,
.
Гипербола и прямая общих точек не имеют, т.к. система их уравнений не имеет решений. Итак, асимптоты гиперболы:
. (12.11)
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Общее уравнение кривой второго порядка. Составление уравнений эллипса, окружности, гиперболы и параболы. Эксцентриситет гиперболы. Фокус и директриса параболы. Преобразование общего уравнения к каноническому виду. Зависимость вида кривой от инвариантов.
презентация [301,4 K], добавлен 10.11.2014Нормальное и каноническое уравнение окружности и эллипса. Понятие эксцентриситета как отношения фокусного расстояния к длине большой оси эллипса. Уравнение и координаты точки, принадлежащей эллипсу. Влияние отношение малой и большой полуосей на фигуру.
презентация [184,4 K], добавлен 21.09.2013Математическое понятие кривой. Общее уравнение кривой второго порядка. Уравнения окружности, эллипса, гиперболы и параболы. Оси симметрии гиперболы. Исследование формы параболы. Кривые третьего и четвертого порядка. Анъези локон, декартов лист.
дипломная работа [877,9 K], добавлен 14.10.2011Приведение уравнения к каноническому виду при помощи преобразований параллельного переноса и поворота координатных осей. Нахождение фокусов, директрис, эксцентриситета и асимптот кривой. Построение графика кривой в канонической и общей системах координат.
контрольная работа [133,5 K], добавлен 12.01.2011Вектор в декартовой системе координат как упорядоченная пара точек (начало вектора и его конец). Линейные операции с векторами. Базис на плоскости и в пространстве. Свойства скалярного произведения. Кривые второго порядка. Каноническое уравнение параболы.
учебное пособие [312,2 K], добавлен 09.03.2009Эллипс, гипербола, парабола как кривые второго порядка, применяемые в высшей математике. Понятие кривой второго порядка - линии на плоскости, которая в некоторой декартовой системе координат определяется уравнением. Теоремма Паскамля и теорема Брианшона.
реферат [202,6 K], добавлен 26.01.2011Исследование общего уравнения линии второго порядка и приведение его к простейшим (каноническим) формам. Инвариантность выражения АС-В2. Классификация линий второго порядка. Уравнения, определяющие эллипс и гиперболу. Директрисы кривых второго порядка.
курсовая работа [132,1 K], добавлен 14.10.2011Уравнения линии на плоскости, их формы. Угол между прямыми, условия их параллельности и перпендикулярности. Расстояние от точки до прямой. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола, их уравнения и главные геометрические свойства.
лекция [160,8 K], добавлен 17.12.2010Определение связи между полярными и прямоугольными координатами. Рассмотрение уравнений прямой, окружности, эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах. Представление в исследуемой системе координат спирали Архимеда. Построение графиков функций.
курсовая работа [1,2 M], добавлен 10.02.2012Гипербола и ее свойства. Каноническая система координат. Понятие эксцентриситета, его зависимость от отношения мнимой и действительной полуосей. Уравнение директрис. Определение центра, оси, вершин, фокусов, эксцентриситета и асимптоты заданной гиперболы.
презентация [3,9 M], добавлен 02.06.2016Нахождение координат треугольника по заданным вершинам. Условия перпендикулярности, параллельности и совпадения прямых. Уравнение плоскости, проходящей через точку. Составление канонических уравнений прямой, кривой второго порядка и поверхности.
контрольная работа [259,7 K], добавлен 28.03.2014Вычисление определителей матриц. Метод приведения матрицы к треугольному виду. Решение системы уравнений методами Крамера, Жордана-Гауса и матричным. Канонические уравнения для нахождения центра, вершины, полуоси, эксцентриситета, директрис эллипса.
контрольная работа [797,4 K], добавлен 18.11.2013Окружность множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки. Эллипс, множество точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух точек плоскости. Парабола, множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки плоскости.
реферат [197,7 K], добавлен 03.08.2010Уравнение для описания поверхности второго порядка в аффинной системе координат. Виды квадрики в прямоугольной системе координат: мнимый эллипсоид, гиперболоид, конус, параболоид, цилиндр, плоскости. Способы приведения квадрики к каноническому виду.
курсовая работа [4,5 M], добавлен 19.09.2012Общее уравнение кривой второго порядка, преобразование систем координат. Классификация кривых по инвариантам, исследование уравнения кривой второго порядка. Изучение и примеры исследования инвариант поворота и параллельного переноса систем координат.
курсовая работа [654,1 K], добавлен 28.09.2019Понятие матрицы, эллипса, гиперболы и параболы. Системы уравнений с матрицами. Проекция вектора на ось и действия с векторами. Плоскость и прямые линии в пространстве, их взаимное расположение. Прямоугольная декартова система координат на плоскости.
контрольная работа [98,8 K], добавлен 30.11.2010Линейные операторы, собственные значения. Общее понятие о квадратичных формах. Упрощение уравнений второго порядка на плоскости. Упрощение уравнений фигур в пространстве. Ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду.
курсовая работа [162,9 K], добавлен 13.11.2012Задача на вычисление скалярного произведения векторов. Нахождение модуля векторного произведения. Проверка коллинеарности и ортогональности. Составление канонического уравнения эллипса, гиперболы, параболы. Нахождение косинуса угла между его нормалями.
контрольная работа [102,5 K], добавлен 04.12.2013Векторы на плоскости и в пространстве. Обыкновенное дифференциальное уравнение. Необходимые формулы для решения задач о касательной. Метод наименьших квадратов. Необходимые определения и формулы для вычисления интегралов. Производные элементарных функций.
курс лекций [119,3 K], добавлен 21.04.2009Основные свойства кривых второго порядка. Построение кривой в канонической и общей системах координат. Переход уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду. Исследование формы поверхности методом сечений и построение полученных сечений.
курсовая работа [166,1 K], добавлен 17.05.2011
