Построение гиперболы
Уравнения равносторонней и сопряженной гиперболы. Понятия эксцентриситета, директрисы эллипса и гиперболы. Формулы фокальных радиусов. Фокус параболы, ее функция и построение кривой. Теоремы и доказательства. Упрощение общего уравнения второй степени.
| Рубрика | Математика |
| Вид | лекция |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 29.09.2013 |
| Размер файла | 174,6 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Лекция
Построение гиперболы
При построении гиперболы необходимо построить прямоугольник со сторонами и и провести диагонали, которые и являются асимптотами (см. рис.). , - вершины гиперболы, - действительная полуось, - мнимая полуось, - центр гиперболы.
Если , то гипербола называется равносторонней, ее уравнение имеет вид:
. (13.1)
Уравнение,
. (13.2)
определяет гиперболу с действительной осью .
Гиперболы, определяемые уравнениями (12.10) и (13.2) называются сопряженными.
Если центр гипербол перенести в точку , то уравнение примет вид:
.
Замечание 1.
Уравнение определяет семейство прямых.
Можно выяснить при каких коэффициентах уравнение (12.3) будет определять гиперболу или семейство прямых.
По аналогии с эллипсом - при (*).
Определение 13.1. Эксцентриситетом гиперболы называется отношение ее фокусного расстояния к расстоянию между вершинами.
Если - действительная ось, то:
.
Так как для гиперболы , то:
, , тогда
,
. (13.3)
Следовательно, эксцентриситет гиперболы характеризует форму прямоугольника и форму самой гиперболы:
, . (13.4)
- формулы фокальных радиусов.
Директрисы эллипса и гиперболы. Определение 13.2. Директрисами эллипса (гиперболы) называются прямые, перпендикулярные большой оси эллипса (действительной оси гиперболы) и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии .
. (13.5)
А)
Т.к. ,
Б)
Размещено на http://www.allbest.ru/
Т.к.
Директрисы эллипса и гиперболы не имеют с кривыми общих точек.
Теорема 13.1. Отношение расстояния произвольной точки эллипса (гиперболы) до фокуса к расстоянию этой точки до соответствующей директрисы есть постоянная величина, равная эксцентриситету эллипса (гиперболы).
. (13.6)
Доказательство.
Рассмотрим левый фокус и левую директрису эллипса. Пусть эллипсу, тогда:
, ; .
Если гиперболе (левой ветви), то:
, ; .
Остальные случаи рассматриваются аналогично.
Парабола. Определение 13.3. Параболой называется геометрическое место точек, равноудаленных от прямой, называемой директрисой и точки, называемой фокусом.
Пусть дано: , : , .
Любая точка принадлежит параболе (), т.е. если
; , то
,
, (13.7)
- каноническое уравнение параболы ().
Здесь - параметр, - вершина параболы, симметрична относительно оси , ветви направлены вправо.
, (13.8)
- уравнение директрисы.
Замечание 2. Если фокус параболы расположен на оси , то уравнение будет иметь вид:
. (13.9)
Замечание 3.
- уравнение параболы с вершиной в точке .
Замечание 4. Частные случаи:
А) - пара параллельных прямых;
Б) - уравнение не определяет линию;
В) - пара совпадающих прямых.
Выясним, при каких коэффициентах уравнение (12.3) определяет параболу:
, , .
Возможно А=0 или С=0 т.е. . Таким образом: :
Пример 13.1. Определить вид кривой и построить ее:
.
, . ,
но т.к. , то ветви направлены влево.
Упрощение общего уравнения второй степени. Пусть кривая второго порядка задана уравнением:
.
Перейдем к новым координатам по формулам:
,
т.е. повернем плоскость на .
,
,
,
.
Угол поворота выберем так, чтобы , т.е.
,
или
. (13.9)
Если , , , .
Утверждение. Коэффициенты и одновременно в нуль не обращаются. гипербола эксцентриситет директриса парабола
Доказательство.
Пусть
вычтем из первого второе, получим:
,
, , .
.
Это возможно только в случае , что противоречит условию .
Пример 13.2.
Определить вид, параметры и расположение линии, заданной уравнением:
.
, .
По формулам (19):
для системы координат .
,
, , .
- уравнение эллипса. - перешли в систему ,
, .
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Общее уравнение кривой второго порядка. Составление уравнений эллипса, окружности, гиперболы и параболы. Эксцентриситет гиперболы. Фокус и директриса параболы. Преобразование общего уравнения к каноническому виду. Зависимость вида кривой от инвариантов.
презентация [301,4 K], добавлен 10.11.2014Математическое понятие кривой. Общее уравнение кривой второго порядка. Уравнения окружности, эллипса, гиперболы и параболы. Оси симметрии гиперболы. Исследование формы параболы. Кривые третьего и четвертого порядка. Анъези локон, декартов лист.
дипломная работа [877,9 K], добавлен 14.10.2011Общее понятие и признаки гиперболы. Асимптоты гиперболы как прямые, проходящие через начало координат и имеющие угловые коэффициенты. Общее понятие и формула эксцентриситета как отношения фокусного расстояния к длине действительной оси гиперболы.
презентация [79,0 K], добавлен 21.09.2013Нахождение уравнения гиперболы при заданном значении вещественной полуоси. Вычисление предела функции и ее производных. Составление уравнения нормали к кривой. Решение системы алгебраических уравнений методом Гаусса и при помощи формулы Крамера.
контрольная работа [871,9 K], добавлен 12.10.2014"Конические сечения" Аполлония. Вывод уравнения кривой для сечения прямоугольного конуса вращения. Вывод уравнения для параболы, для эллипса и гиперболы. Инвариантность конических сечений. Дальнейшее развитие теории конических сечений в трудах Аполлония.
реферат [174,6 K], добавлен 04.02.2010Задача на вычисление скалярного произведения векторов. Нахождение модуля векторного произведения. Проверка коллинеарности и ортогональности. Составление канонического уравнения эллипса, гиперболы, параболы. Нахождение косинуса угла между его нормалями.
контрольная работа [102,5 K], добавлен 04.12.2013Определение связи между полярными и прямоугольными координатами. Рассмотрение уравнений прямой, окружности, эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах. Представление в исследуемой системе координат спирали Архимеда. Построение графиков функций.
курсовая работа [1,2 M], добавлен 10.02.2012Исследование и подбор матрицы, удовлетворяющей условиям заданного уравнения. Разложение функции по формуле Тейлора в окрестности точки, расчет коэффициентов. Формирование уравнения гиперболы, имеющего заданные координаты фокусов. Расчет корней уравнения.
контрольная работа [113,2 K], добавлен 16.04.2016Понятие матрицы, эллипса, гиперболы и параболы. Системы уравнений с матрицами. Проекция вектора на ось и действия с векторами. Плоскость и прямые линии в пространстве, их взаимное расположение. Прямоугольная декартова система координат на плоскости.
контрольная работа [98,8 K], добавлен 30.11.2010Исследование доказательства теоремы Ферма в общем виде. Показано, что кроме уравнения второй степени уравнения Ферма не содержат других решений в целых числах. Предложено к рассмотрению 4 метода доказательства теоремы при целых x, y.
статья [20,8 K], добавлен 29.08.2004Область, ограниченная ветвью гиперболы, расположенной в первой четверти и прямой. Сведение двойных интегралом к повторному. Неоднородное дифференциальное уравнение. Сумма решений соответствующего однородного и любого частного решения уравнения.
контрольная работа [65,1 K], добавлен 05.12.2010Гипербола и ее свойства. Каноническая система координат. Понятие эксцентриситета, его зависимость от отношения мнимой и действительной полуосей. Уравнение директрис. Определение центра, оси, вершин, фокусов, эксцентриситета и асимптоты заданной гиперболы.
презентация [3,9 M], добавлен 02.06.2016Оригинальный метод доказательства теоремы Ферма. Использование бинома Ньютона для решения диофантового уравнения. Решение теоремы Ферма при нечетных показателях степени n, при целых положительных и натуральных числах. Преобразование уравнения Ферма.
статья [16,4 K], добавлен 17.10.2009Приведение уравнения к каноническому виду при помощи преобразований параллельного переноса и поворота координатных осей. Нахождение фокусов, директрис, эксцентриситета и асимптот кривой. Построение графика кривой в канонической и общей системах координат.
контрольная работа [133,5 K], добавлен 12.01.2011Общий интеграл дифференциального уравнения, приводящегося к однородному. Решение задачи Коши методами интегрирующего множителя и способом Бернулли. Построение интегральной кривой методом изоклин. Составление матрицы системы и применение теоремы Крамера.
курсовая работа [160,5 K], добавлен 23.12.2010Уравнения третьей степени и выше. Разложение левой части уравнения на множители, если правая часть равна нулю. Теорема Безу как один из методов, которые помогают решать уравнения высоких степеней. Определение и доказательство теоремы и следствия из нее.
научная работа [44,3 K], добавлен 25.02.2009Поиск общего интеграла дифференциального уравнения. Расстановка пределов интегрирования. Координаты вершины параболы. Объем тела, ограниченного поверхностями. Вычисление криволинейного интеграла. Полный дифференциал функции. Вычисление дуги цепной линии.
контрольная работа [298,1 K], добавлен 28.03.2014Основные свойства кривых второго порядка. Построение кривой в канонической и общей системах координат. Переход уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду. Исследование формы поверхности методом сечений и построение полученных сечений.
курсовая работа [166,1 K], добавлен 17.05.2011История квадратных уравнений: уравнения в Древнем Вавилоне и Индии. Формулы четного коэффициента при х. Квадратные уравнения частного характера. Теорема Виета для многочленов высших степеней. Исследование биквадратных уравнений. Сущность формулы Кордано.
реферат [75,8 K], добавлен 09.05.2009Исследование общего уравнения линии второго порядка и приведение его к простейшим (каноническим) формам. Инвариантность выражения АС-В2. Классификация линий второго порядка. Уравнения, определяющие эллипс и гиперболу. Директрисы кривых второго порядка.
курсовая работа [132,1 K], добавлен 14.10.2011
