Поверхности и линии в пространстве
Определение поверхности первого порядка. Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору. Математическое изображение ориентации объектов в пространстве: уравнение линии, взаимное расположение плоскостей и двух прямых, векторное равенство прямой.
| Рубрика | Математика |
| Вид | лекция |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 29.09.2013 |
| Размер файла | 60,5 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Лекция
Поверхности и линии в пространстве
1. Уравнение линии в пространстве
Определение 14.1. Уравнением поверхности (в фиксированной системе координат) называется такое уравнение с тремя переменными , которому удовлетворяют координаты любой точки данной поверхности и только они.
Здесь - некоторая зависимость между переменными.
Пример 14.1.
- уравнение сферы ().
Определение 14.2. Линию в пространстве можно рассматривать как пересечение двух поверхностей, поэтому она определяется двумя уравнениями:
.
Пример 14.2.
.
Линия, как пересечение поверхностей, определяет окружность, лежащую в плоскости ().
2. Общее уравнение плоскости
2.1 Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору
Дано: , - нормальный вектор, .
Написать уравнение плоскости.
Выберем произвольную точку ,
тогда , , т.е.
. (14.1)
- уравнение плоскости.
2.2 Общее уравнение плоскости
Из уравнения (14.1) с помощью элементарных преобразований получим:
, или
. (14.2)
- общее уравнение плоскости.
Очевидно, что общее уравнение плоскости является алгебраическим уравнением первого порядка относительно трех переменных и определяет поверхность первого порядка.
Проведем исследование (положение плоскости в частных случаях).
А). , .
Т.к. координаты точки - удовлетворяют данному уравнению, плоскость проходит через начало координат.
Б) , , ,
значит , следовательно .
Аналогично, если , ; , .
В) При , .
Плоскость проходит через ось .
Аналогично, при - плоскость проходит через ось ;
при - плоскость проходит через ось .
Г) , .
Данное уравнение определяет плоскость, параллельную , т.к. , , . Аналогично,
, ; , .
Д) , ().
Аналогично, , (); , ().
2.3 Уравнение плоскости в отрезках
, , .
. (14.3)
- уравнение плоскости в отрезках.
2.4 Уравнение плоскости по трем точкам
Пусть .
Выберем произвольную точку . Тогда,
,
,
.
Т.к. векторы лежат в одной плоскости, они компланарны, следовательно их смешанное произведение равно нулю:
. (14.4)
- уравнение плоскости по трем точкам.
2.5 Нормальное уравнение плоскости
Нормальное уравнение плоскости строиться по аналогии с нормальным уравнением прямой и имеет вид:
. (14.5)
3. Взаимное расположение плоскостей в пространстве
Размещено на http://www.allbest.ru/
Пусть - нормальный вектор для плоскости .
Утверждение 14.1. Вектор параллелен плоскости , заданный уравнением (14.2) тогда и только тогда, когда:
. (14.6)
Утверждение 14.2. Плоскость , заданная уравнением и плоскость , заданная уравнением параллельны тогда и только тогда, когда:
. (14.7)
Доказательство. Действительно, , если и коллинеарны, т.е.
, , , т.е. .
Верно и обратное.
Утверждение 14.3. Плоскости и совпадают тогда и только тогда, когда:
. (14.8)
Утверждение 14.4. Плоскости и пересекаются тогда и только тогда, когда и неколлинеарны, причем угол между ними равен углу между нормальными векторами.
Утверждение 14.5. Пусть плоскости и пересекаются по прямой, тогда плоскость проходит через эту прямую, причем ее уравнение имеет вид:
, (14.9)
где одновременно.
4. Уравнение прямой в пространстве
Поскольку пересекающиеся плоскости пересекаются по прямой, то:
(14.10), причем
. (14.11)
Система уравнений (14.10) с условием (14.11) называется общим уравнением прямой в пространстве. Данная система линейных неоднородных уравнений совместна и имеет общее решение следующего вида:
, (14.12)
где - частное решение (14.10), - фундаментальная система решений соответствующей системы линейных однородных уравнений.
Геометрически (14.12) означает: Пусть точка . Любая точка получается прибавлением к радиус-вектору точки некоторого вектора, коллинеарного - направляющего вектора прямой. поверхность плоскость линия пространство
Уравнение (14.12) можно переписать в виде
, или
, (14.13)
- векторно-параметрическое уравнение прямой или
. (14.14)
- параметрические уравнения прямой в пространстве.
Исключая параметр , получим:
. (14.15)
- канонические уравнения прямой в пространстве.
Здесь равенства (14.15) следует воспринимать как пропорцию.
Пример 14.3. Пусть прямая задана каноническими уравнениями:
(*).
Тогда уравнения (*) равносильны системе:
, .
Если необходимо написать уравнение прямой, проходящей через две точки и , то
- направляющий вектор, тогда:
. (14.16)
- уравнение , проходящей через 2 точки.
Утверждение 14.6. Если прямая , задана как пересечение двух плоскостей системой (14.10), то вектор:
. (14.17)
- является направляющим вектором , т.е. .
5. Взаимное расположение двух прямых в пространстве
Пусть ; .
и либо пересекаются, либо параллельны (в частном случае совпадают), либо скрещиваются.
.
В случае если или пересекаются, существует плоскость, которой прямые принадлежат. Поэтому выполняется условие:
. (14.18)
Утверждение 14.7. Прямые и скрещиваются тогда и только тогда, когда:
. (14.19)
1) Если прямые пересекаются, то может решаться задача нахождения угла между прямыми. В этом случае угол определяется углом между направляющими векторами.
2) Если прямые параллельны, то возникает задача нахождения расстояния между ними:
Плоскость, содержащая параллельные прямые, имеет вектор нормали:
, .
. (14.20)
Замечание:
A) , т.е.
.
B) , т.е.
.
3) Если прямые скрещиваются, то расстояние между ними равно высоте параллелепипеда, построенного на векторах , т.е.
. (14.21)
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Метод координат. Основные задачи аналитической геометрии на прямой и на плоскости. Основные линии второго порядка. Алгебраическая и геометрическая интерпретация векторов. Уравнение поверхности и уравнение линии в пространстве. Общее уравнение плоскости.
учебное пособие [687,5 K], добавлен 04.05.2011Различные способы задания прямой на плоскости и в пространстве. Конструктивные задачи трехмерного пространства. Изображения фигур и их правильное восприятие и чтение. Использование в геометрии монографического и математического метода исследования.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 22.09.2014Перпендикулярные прямые в пространстве. Определение и признак прямой, перпендикулярной к плоскости. Теорема о перпендикулярности двух параллельных, двух перпендикулярных прямых к плоскости. Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью.
презентация [160,5 K], добавлен 20.11.2014Нахождение координат треугольника по заданным вершинам. Условия перпендикулярности, параллельности и совпадения прямых. Уравнение плоскости, проходящей через точку. Составление канонических уравнений прямой, кривой второго порядка и поверхности.
контрольная работа [259,7 K], добавлен 28.03.2014Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно заданному нормальному вектору. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Условия пересечения, параллельности или совпадения двух прямых, заданных общими уравнениями.
презентация [13,8 M], добавлен 19.12.2022Уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной заданному вектору, плоскости в отрезках, проходящей через три точки. Общее уравнение плоскости. Условие параллельности и перпендикулярности двух плоскостей. Расстояние от точки до плоскости.
презентация [106,9 K], добавлен 21.09.2013Уравнения линии на плоскости, их формы. Угол между прямыми, условия их параллельности и перпендикулярности. Расстояние от точки до прямой. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола, их уравнения и главные геометрические свойства.
лекция [160,8 K], добавлен 17.12.2010Перпендикулярные прямые в пространстве. Лемма о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой. Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости. Признаки перпендикулярности плоскостей. Построение перпендикуляра в многомерных пространствах.
презентация [1,6 M], добавлен 14.12.2012Правые и левые ориентации. Стороны прямой на плоскости и плоскости в пространстве. Деформации базисов и ориентации. Отношение одноименности отличных от нуля векторов прямой, деформируемости базисов. Задание направления движения по окружности в плоскости.
контрольная работа [448,0 K], добавлен 09.04.2016Способы определения плоскости. Прямые в пространстве, признаки их параллельности, пересечения, скрещивания. Принадлежность прямой плоскости, их параллельность и скрещивание. Перпендикулярность прямой и плоскости. Взаимодействие плоскостей в пространстве.
презентация [1,4 M], добавлен 13.04.2016Способы задания прямой на плоскости. Уравнение с угловым коэффициентом. Рассмотрение частных случаев. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении. Построение графика прямой, проходящей через две точки. Рассмотрение примера.
презентация [104,9 K], добавлен 21.09.2013Общее уравнение прямой, переходящей через определенную точку. Условия перпендикулярности прямых. Условие перпендикулярности плоскостей. Свойства медианы треугольника. Нахождение направляющих векторов прямых. Условие параллельности прямой и плоскости.
контрольная работа [87,1 K], добавлен 07.09.2010Уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно горизонтальной, фронтальной и профильной прямым. Угол в точке пересечения прямой с плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. Метод прямоугольного треугольника.
курсовая работа [647,0 K], добавлен 14.11.2014Возможные случаи ориентации прямой и плоскости для заданного уравнения. Условия их перпендикулярности и параллельности. Скалярное произведение перпендикулярных векторов. Координаты точки, лежащей на прямой. Угол между прямой и плоскостью, его определение.
презентация [65,2 K], добавлен 21.09.2013Понятие параллельности как отношения между прямыми. Случаи расположения прямой и плоскости. Признаки параллельности прямой и плоскости. Основные свойства двух прямых. Отсутствие общих точек у прямой и плоскости. Признаки параллельности плоскостей.
презентация [1,5 M], добавлен 14.10.2014Аксиомы стереометрии, простейшие следствия. Параллельность прямых и плоскостей. Перпендикулярность прямых, плоскостей. Декартовы координаты и векторы в пространстве. Доказательство того, что через две скрещивающиеся можно провести параллельные плоскости.
книга [4,2 M], добавлен 12.02.2009Теорема о проецировании прямого угла, возможные три случая такого проецирования. Главные линии плоскости: линии уровня и линии наибольшего наклона. Прямая, перпендикулярная к плоскости и ее проекции. Условие взаимной перпендикулярности двух плоскостей.
реферат [463,3 K], добавлен 17.10.2010Аналитическая геометрия. Декартова система координат, линии на плоскости и кривые второго порядка. Поверхности в трехмерном пространстве. Система n линейных уравнений с n неизвестными. Элементы математического анализа. Основные правила комбинаторики.
отчет по практике [1,1 M], добавлен 15.11.2014Уравнение прямой линии на плоскости, условия перпендикулярности плоскостей. Вычисления для векторов и их значение, нахождение скалярных произведений, обратная матрица к квадратной матрице и вычисление определителя, бесконечные системы и их признаки.
тест [526,3 K], добавлен 08.03.2012Понятие матрицы, эллипса, гиперболы и параболы. Системы уравнений с матрицами. Проекция вектора на ось и действия с векторами. Плоскость и прямые линии в пространстве, их взаимное расположение. Прямоугольная декартова система координат на плоскости.
контрольная работа [98,8 K], добавлен 30.11.2010
