Последовательность чисел
Обзор видов множества. Характеристика геометрического содержания предела числовой последовательности. Арифметические действия над основными свойствами сходящихся математических постоянств имеющих предел. Обоснование условий сходимости числового ряда.
| Рубрика | Математика |
| Вид | лекция |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 29.09.2013 |
| Размер файла | 89,1 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Лекция
Последовательность чисел
1. Ограниченные и неограниченные множества
Пусть X - числовое множество.
Определение 1. Множество X ограниченно снизу тогда и только тогда:
В). Множество X ограниченно сверху тогда и только тогда, когда:
С). Множество X ограниченно тогда и только тогда, когда X ограниченно сверху и снизу:
Очевидно, что любое ограниченное сверху (снизу) множество имеет бесконечно много верхних (нижних граней). Естественно возникает вопрос о существовании наименьшей из верхних граней ограниченного сверху множества и наибольшей из нижних граней ограниченного снизу множества.
Определение 2.
А). Число M называется точной верхней гранью, если оно является наименьшим из всех верхних граней.
Б). Число m называется точной нижней гранью, если оно является наибольшим из всех нижних граней.
Пример 1.
Для множества:
- указать точную верхнюю и точную нижнюю грани.
Ответ:
Теорема 1.
Любое непустое ограниченное сверху (снизу) числовое множество имеет точную верхнюю (нижнюю) грань.
Доказательство:
Пусть X - непустое множество, ограниченное сверху. Тогда существует множество Y чисел, ограничивающих множество Х сверху.
Из определения следует:
Причем:
Тогда т. к.:
- верхняя грань наименьшая из верхних граней, следовательно:
Случай существования точной нижней грани рассматривается аналогично.
2. Предел числовой последовательности
Пусть каждому по некоторому закону поставлено в соответствие действительное число xn. Тогда говорят, что определена последовательность чисел x1, x2, xn или {xn}.
Число xn - элемент последовательности.
Пример 2.
Если xn = const, то последовательность называется постоянной.
Последовательность {xn} ограничена, если:
Определение 3. Число а называется пределом числовой последовательности {xn}, если для любого положительного числа е существует номер N такой, что при всех n>N выполняется неравенство:
Обозначение:
Или:
Последовательность, имеющая предел называется сходящейся, не имеющая его - расходящейся.
Пример 3.
Определить предел последовательности:
Ответ:
Геометрический смысл предела числовой последовательности. Число a - предел последовательности xn, если в любую окрестность числа а, начиная с некоторого номера попадают все члены последовательности .
Пример 4.
Показать, что последовательность:
- не имеет предела. Действительно, пусть а - предел xn.
Выберем интервал:
- с длиной .
Расстояние между -1 и 1 равно 2 и, следовательно, они оба не могут попадать в этот интервал.
Основные свойства сходящихся последовательностей.
Теорема 2.
Если последовательность {xn} имеет предел, то он единственный.
Доказательство:
Пусть {xn} имеет два предела a и b. Накроем их интервалами:
Т. к.:
a = lim xn
То все элементы {xn} начиная с некоторого номера лежат в (c,d) и значит это противоречит тому, что b - предел.
Теорема 3.
Если последовательность {xn} сходится, то она ограничена.
Доказательство:
Пусть:
Зададим .
Тогда:
:
Известно, что:
Поэтому:
<1
Пусть:
Тогда очевидно, что:
2. Арифметические действия над последовательностями
Замечание 1.
Пусть:
Тогда:
- бесконечно малая последовательность.
Действительно:
Это значит, что любой элемент последовательности {xn}, имеющей пределом число , можно представить в виде:
(1)
Замечание 2.
Произведение бесконечно малой последовательности на число есть бесконечно малая последовательность.
Замечание 3.
Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность.
Замечание 4.
Так как:
Теорема 4.
Если существуют конечные пределы последовательностей и , то справедливы равенства:
(2)
(3)
(4).
Доказательство:
Идея доказательства построена на неравенстве:
Тогда согласно равенству (1):
- бесконечно малая последовательность (согласно 1);
- бесконечно малая последовательность;
3. Монотонные последовательности
Определение 4.
1) Последовательность {xn} называется возрастающей, если:
2) Последовательность {xn} называется неубывающей, если:
3) Последовательность {xn} называется убывающей, если:
множество геометрический числовой
4) Последовательность {xn} называется невозрастающей, если:
Все такие последовательности объединяются общим названием - монотонные последовательности.
Пример 5.
Определить виды последовательностей:
Отметим, что монотонные последовательности ограничены, по крайней мере, с одной стороны.
Теорема 5. Если монотонная последовательность ограничена с обеих сторон, т. е., просто ограничена, то она сходится.
Замечание 5.
Из теорем 3 и 5 следует, что ограниченность монотонной последовательности является необходимым и достаточным условием сходимости.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
История развития теории пределов. Сущность и виды числовой последовательности, методика вычисления и определение свойств ее предела. Доказательство теоремы Штольца. Практическое применение предела последовательности в экономике, геометрии и физике.
курсовая работа [407,2 K], добавлен 16.12.2013Члены последовательности и их изображение на числовой оси. Виды последовательностей (ограниченная, возрастающая, убывающая, сходящаяся, расходящаяся), их практические примеры. Определение и геометрический смысл предела числовой последовательности.
презентация [78,9 K], добавлен 21.09.2013Предел числовой последовательности. Сравнение бесконечно малых величин. Второй замечательный предел. Теорема Коши о сходимости числовой последовательности. Использование бинома Ньютона. Замена сомножителей на эквивалентные им более простые величины.
контрольная работа [152,1 K], добавлен 11.08.2009Вычисление математических последовательностей и определение числа, которое называется пределом последовательности. Методы расчетов предела функции. Произведение бесконечно малой функции и ограниченной функции. Определение предела последовательности.
контрольная работа [114,0 K], добавлен 17.12.2010Числовой ряд - бесконечная последовательность чисел, соединенных знаком сложения. Сумма n первых членов ряда. Функция натурального аргумента. Свойства сходящихся и расходящихся рядов. Понятие и формула расчета n-ного остатка. Поиск суммы исходного ряда.
презентация [123,7 K], добавлен 18.09.2013Понятие возрастающей числовой последовательности. Формула бинома Ньютона. Число положительных слагаемых. Определение ограниченности последовательности чисел. Предел монотонной и ограниченной последовательностей. Показательный рост или убывание.
презентация [87,1 K], добавлен 21.09.2013Изучение понятия числового ряда и его суммы. Особенности сходящихся и расходящихся рядов. Число e, как сумма ряда. Критерий Коши сходимости ряда. Алгебраические операции и сходимость. Ряды с неотрицательными членами. Интегральный признак Коши-Маклорена.
методичка [514,1 K], добавлен 26.06.2010Определение числового ряда, его основные свойства. Ряды геометрической прогрессии. Исследование на сходимость гармонического ряда. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Признак сходимости Лейбница.
лекция [137,2 K], добавлен 27.05.2010Определение и этапы доказательства теоремы Штольца, ее теоретическое и практическое значение в прикладной математике, применение. Понятие предела последовательности, характерные примеры вычисления пределов последовательности с подробным разбором решения.
курсовая работа [103,0 K], добавлен 28.02.2010Понятие и история формирования категории "последовательность", ее значение в современной математике. Свойства и аналитическое задание последовательности, роль в развитии других областей знания. Решение задач на вычисление пределов последовательностей.
презентация [665,0 K], добавлен 17.03.2017Предел последовательности, его графическое изображение. Основные свойства сходящихся последовательностей. Бесконечно большие и бесконечно малые функции, связь между функций, ее приделом и бесконечно малой функцией. Первый и второй замечательный предел.
контрольная работа [152,0 K], добавлен 14.05.2009Исследование сходимости числового ряда. Использование признака Даламбера. Исследование на сходимость знакочередующегося ряда. Сходимость рядов по признаку Лейбница. Определение области сходимости степенного ряда. Сходимость ряда на концах интервала.
контрольная работа [131,9 K], добавлен 14.12.2012Первое упоминание и использование числового ряда, его понятие и структура, этапы и направления дальнейшего исследования. Задачи, приводящие к понятию числового ряда и те, в которых он использовался. Признак Даламбера и Коши, Маклорена и сравнения.
курсовая работа [114,2 K], добавлен 01.10.2014Способы задания, предел и непрерывность функции. Свойства неопределенного интеграла. Понятие числового ряда и свойства сходящихся рядов. Порядок дифференциального уравнения. Случайные события и операции над ними. Классическое определение вероятности.
учебное пособие [532,5 K], добавлен 23.01.2014Основные понятия числового и знакопеременного ряда. Необходимые и достаточные признаки сходимости. Признак Лейбница. Исследование на абсолютную и условную сходимость ряда. Действия с суммой бесконечного числа слагаемых, расстановка скобок. Формула Эйлера.
курсовая работа [501,8 K], добавлен 12.06.2014Описание признака сходимости числовых рядов Даламбера, решение задач на исследование сходимости. Формулировка радикального признака сходимости Коши знакоположительного ряда в предельной форме. Доказательство знакочередующихся и знакопеременных рядов.
реферат [190,9 K], добавлен 06.12.2010Рассмотрение особенностей сравнения рядов. Характеристика признаков сходимости Даламбера. Критерий Коши как ряд утверждений в математическом анализе. Анализ геометрической интерпретации интегрального признака. Способы определения сумы числового ряда.
контрольная работа [214,6 K], добавлен 01.03.2013Фибоначчи Леонардо Пизанский — первый крупный математик средневековой Европы. Ряд чисел Фибоначчи - элементы числовой последовательности, в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Примеры ряда Фибоначчи в повседневной жизни.
доклад [25,5 K], добавлен 24.03.2012Классическая последовательность чисел Фибоначчи, определение основных понятий, схематическое изображение этой последовательности, ее свойства. Упорядочивание, вычисление элементов последовательности. Некоторые зависимости между мнимыми тройками.
реферат [82,2 K], добавлен 07.09.2009Определение предела функции в точке. Понятие односторонних пределов. Геометрический смысл предела функции при х, стремящемся в бесконечности. Основные теоремы о пределах. Вычисление пределов и раскрытие неопределенностей. Первый замечательный предел.
презентация [292,4 K], добавлен 14.11.2014
